2025新教材数学高考第一轮复习
3.3 函数的周期性和对称性
五年高考
考点1 函数的周期性
1.(2021全国甲文,12,5分,中)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f ( 1) 1,
− =
3 3
则f (5)= ( )
3
5 1 1 5
A.- B.− C. D.
3 3 3 3
2. (2016山东理,9,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,
f(-x)=-f(x);当x>1时, f( 1) ( 1),则f(6)= ( )
x+ =f x−
2 2 2
A.-2 B.-1 C.0 D.2
3.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则
22
∑❑f(k)= ( )
k=1
A.-3 B.-2 C.0 D.1
4.(2018 江 苏 ,9,5 分 , 中 ) 函 数 f(x) 满 足 f(x+4)=f(x)(x∈R), 且 在 区 间 (-2,2] 上 , f(x)=
πx
{cos ,0<x≤2,
2 则f(f(15))的值为 .
| 1|
x+ ,−2<x≤0,
2
5.(2016 江苏,11,5 分,中)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1)上, f(x)=
{x+a,−1≤x<0,
其中a∈R.若f ( 5) (9),则f(5a)的值是 .
|2 | − =f
−x ,0≤x<1, 2 2
5
考点2 函数的对称性
(2022 全国乙理,12,5 分,难)已知函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)+g(2-x)=5,g(x)-22
f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则∑❑f(k)= ( )
k=1
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
三年模拟
综合拔高练
3
1.(2024 届河北保定月考,7)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)= ,且 f(2)=-1,则
f(x)
f(100)= ( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
2.(2024 届重庆七校开学考,3)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,
f(x)=3x-1,则f(2 022)+f(2 023)=( )
A.-2 023 B.-1 C.1 D.32 022
3.(2023福建厦门一模,6)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2,则下列是周期函数的是
( )
A.y=f(x)-x B.y=f(x)+x
C.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x
4.(2024届福建连城一中月考,7)已知定义在R上的函数f(x)满足①f(x+2)=f(x),②f(x-2)为奇
函数,③当x∈[0,1)时,f(x 1 )−f(x 2 )>0(x 1 ≠x 2 )恒成立,则f ( − 15)、f(4)、 f (11)的大小关
x −x 2 2
1 2
系正确的是( )
A. f ( 15)>f(4)>f (11)
−
2 2
B. f ( 15) (11)>f(4)
− >f
2 2
C. f (11)>f(4)>f ( 15)
−
2 2
D. f(4)>f (11) ( 15)
>f −
2 25.(2024届辽宁名校联盟联考,4)若函数y=f(x),y=g(x)的定义域均为R,且都不恒为零,则(
)
A.若y=f(g(x))为周期函数,则y=g(x)为周期函数
B.若y=f(g(x))为偶函数,则y=g(x)为偶函数
C.若y=f(x),y=g(x)均为单调递增函数,则y=f(x)·g(x)为单调递增函数
D.若y=f(x),y=g(x)均为奇函数,则y=f(g(x))为奇函数
6.(2024届山东济南历城二中开学摸底检测,7)已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)的图象
关于点(1,0)对称,当x∈[0,1]时, f(x)=2-2x,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 022)的值为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
7.(多选)(2024届河北石家庄月考,12)已知函数y=xf(x)是R上的偶函数, f(x-1)+f(x+3)=0,当
x∈[-2,0]时, f(x)=2x-2-x+x,则 ( )
A. f(x)的图象关于直线x=2对称
B.4是f(x)的一个周期
C. f(x)在(0,2]上单调递增
D. f(2 023)<f (1)<f(0.50.2)
2
8.(多选)(2024 届山东部分学校开学摸底联考,10)已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有
f(x)=f(x+4)+f(2),若函数y=f(x+3)的图象关于直线x=-3对称,且∀x ,x ∈[0,2],当x ≠x 时,都有
1 2 1 2
(x -x )(f(x )-f(x ))>0,则下列结论正确的是 ( )
2 1 2 1
A. f(2)=0
B. f(x)是奇函数
C. f(x)是周期为4的周期函数
D. f(3)<f(-4)
9.(多选)(2023湖南师大附中5月模拟,10)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且
y=f(2-x)为偶函数,则下列说法一定正确的是 ( )
A.函数f(x)的周期为2
B.函数f(x)的图象关于(1,0)对称
C.函数f(x)为偶函数
D.函数f(x)的图象关于直线x=3对称
10.(多选)(2024届山东临沂开学摸底联考,12)已知f(x)是定义在R上的奇函数, f(1-2x)为偶
函数, f(1)=3,则 ( )
A.曲线y=f(x)关于直线x=1轴对称B. f(x)是以4为周期的周期函数
C. f(1)+f(2)+…+f(2 023)=0
D.曲线y=f(x)关于点(3,0)对称
3.3 函数的周期性和对称性
五年高考
考点1 函数的周期性
1.(2021全国甲文,12,5分,中)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f ( 1) 1,
− =
3 3
则f (5)= ( )
3
5 1 1 5
A.- B.− C. D.
3 3 3 3
答案 C
3. (2016山东理,9,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,
f(-x)=-f(x);当x>1时, f( 1) ( 1),则f(6)= ( )
x+ =f x−
2 2 2
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案 D3.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则
22
∑❑f(k)= ( )
k=1
A.-3 B.-2 C.0 D.1
答案 A
4.(2018 江 苏 ,9,5 分 , 中 ) 函 数 f(x) 满 足 f(x+4)=f(x)(x∈R), 且 在 区 间 (-2,2] 上 , f(x)=
πx
{cos ,0<x≤2,
2 则f(f(15))的值为 .
| 1|
x+ ,−2<x≤0,
2
√2
答案
2
5.(2016 江苏,11,5 分,中)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1)上, f(x)=
{x+a,−1≤x<0,
其中a∈R.若f ( 5) (9),则f(5a)的值是 .
|2 | − =f
−x ,0≤x<1, 2 2
5
2
答案 -
5
考点2 函数的对称性
(2022 全国乙理,12,5 分,难)已知函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)+g(2-x)=5,g(x)-
22
f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则∑❑f(k)= ( )
k=1
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
答案 D
三年模拟
综合拔高练
3
1.(2024 届河北保定月考,7)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)= ,且 f(2)=-1,则
f(x)
f(100)= ( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
答案 C2.(2024 届重庆七校开学考,3)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,
f(x)=3x-1,则f(2 022)+f(2 023)=( )
A.-2 023 B.-1 C.1 D.32 022
答案 B
3.(2023福建厦门一模,6)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2,则下列是周期函数的是
( )
A.y=f(x)-x B.y=f(x)+x
C.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x
答案 D
4.(2024届福建连城一中月考,7)已知定义在R上的函数f(x)满足①f(x+2)=f(x),②f(x-2)为奇
函数,③当x∈[0,1)时,f(x 1 )−f(x 2 )>0(x 1 ≠x 2 )恒成立,则f ( − 15)、f(4)、 f (11)的大小关
x −x 2 2
1 2
系正确的是( )
A. f ( 15)>f(4)>f (11)
−
2 2
B. f ( 15) (11)>f(4)
− >f
2 2
C. f (11)>f(4)>f ( 15)
−
2 2
D. f(4)>f (11) ( 15)
>f −
2 2
答案 A
5.(2024届辽宁名校联盟联考,4)若函数y=f(x),y=g(x)的定义域均为R,且都不恒为零,则(
)
A.若y=f(g(x))为周期函数,则y=g(x)为周期函数
B.若y=f(g(x))为偶函数,则y=g(x)为偶函数
C.若y=f(x),y=g(x)均为单调递增函数,则y=f(x)·g(x)为单调递增函数
D.若y=f(x),y=g(x)均为奇函数,则y=f(g(x))为奇函数
答案 D
6.(2024届山东济南历城二中开学摸底检测,7)已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)的图象关于点(1,0)对称,当x∈[0,1]时, f(x)=2-2x,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 022)的值为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
答案 C
7.(多选)(2024届河北石家庄月考,12)已知函数y=xf(x)是R上的偶函数, f(x-1)+f(x+3)=0,当
x∈[-2,0]时, f(x)=2x-2-x+x,则 ( )
A. f(x)的图象关于直线x=2对称
B.4是f(x)的一个周期
C. f(x)在(0,2]上单调递增
D. f(2 023)<f (1)<f(0.50.2)
2
答案 ACD
8.(多选)(2024 届山东部分学校开学摸底联考,10)已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有
f(x)=f(x+4)+f(2),若函数y=f(x+3)的图象关于直线x=-3对称,且∀x ,x ∈[0,2],当x ≠x 时,都有
1 2 1 2
(x -x )(f(x )-f(x ))>0,则下列结论正确的是 ( )
2 1 2 1
A. f(2)=0
B. f(x)是奇函数
C. f(x)是周期为4的周期函数
D. f(3)<f(-4)
答案 AC
9.(多选)(2023湖南师大附中5月模拟,10)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且
y=f(2-x)为偶函数,则下列说法一定正确的是 ( )
A.函数f(x)的周期为2
B.函数f(x)的图象关于(1,0)对称
C.函数f(x)为偶函数
D.函数f(x)的图象关于直线x=3对称
答案 BC
10.(多选)(2024届山东临沂开学摸底联考,12)已知f(x)是定义在R上的奇函数, f(1-2x)为偶
函数, f(1)=3,则 ( )
A.曲线y=f(x)关于直线x=1轴对称
B. f(x)是以4为周期的周期函数
C. f(1)+f(2)+…+f(2 023)=0
D.曲线y=f(x)关于点(3,0)对称答案 ABC
