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2023 届金山区高考数学一模
一､填空题
1. 函数 的最小正周期是_________
2. 已知集合 ， ，则 ___________
3. 若 ，则 的最小值为___________.
4. 已知抛物线 的焦点坐标为 ，则 的值为___________.
5. 已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________．
6. 已知 ，则曲线 在 处的切线方程是___________.
7. 若 时，指数函数 的值总大于1，则实数 的取值范围是___________.
8. 已知 是实数， 是虚数单位，若复数 的实部和虚部互为相反数，则 ___________.
9. 从 个人中选 人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排 人，第二天和第三天均安排 人，
且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.
10. 函数 的值域为___________.
11. 若集合 ， ，且
，则实数 的取值范围是___________.
的
12. 设 是由正整数组成且项数为 增数列，已知 ， ，数列 任意相邻两项的差
的绝对值不超过1，若对于 中任意序数不同的两项 和 ，在剩下的项中总存在序数不同的两项和 ，使得 ，则 的最小值为___________.
二､选择题
13. 已知直线 ，直线 ，则“ ”是“ ”的（
）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 已知角 的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
.
A B.
.
C D.
15. 已知正四面体 的棱长为6，设集合 ，点 平面 ，则 表示的区域
的面积为（ ）
A. B. C. D.
16. 对于函数 ，若自变量 在区间 上变化时，函数值 的取值范围也恰为 ，则称
区间 是函数 的保值区间，区间长度为 .已知定义域为 的函数 的表达式为
，给出下列命题：①函数 有且仅有 个保值区间；②函数 的所有保值
区间长度之和为 .下列说法正确的是（ ）
A. 结论①成立，结论②不成立 B. 结论①不成立，结论②成立
C. 两个结论都成立 D. 两个结论都不成立
三､解答题
17. 如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 是正方形， .（1）求证：直线 平面 ；
的
（2）求直线 与平面 所成 角的大小.
18. 近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启
动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达 ，每年年底把除运营成本
万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
（1）若 ，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到
3000万元？（结果精确到 万元）
19. 在 中，设角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的最大值.
20. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 .
（1）以 为圆心的圆经过椭圆的左焦点 和上顶点 ，求椭圆 的离心率；
（2）已知 ，设点 是椭圆 上一点，且位于 轴的上方，若 是等腰三角形，求点
的坐标；（3）已知 ，过点 且倾斜角为 的直线与椭圆 在 轴上方的交点记作 ，若动直线 也
过点 且与椭圆 交于 两点（均不同于 ），是否存在定直线 ，使得动直线 与 的交
点 满足直线 的斜率总是成等差数列？若存在，求常数 的值；若不存在，请说明理由.
21. 若函数 是其定义域内的区间 上的严格增函数，而 是 上的严格减函数，则称
是 上的“弱增函数”.若数列 是严格增数列，而 是严格减数列，则称 是“弱增
数列”.
（1）判断函数 是否为 上的“弱增函数”，并说明理由（其中 是自然对数的底数）；
（2）已知函数 与函数 的图像关于坐标原点对称，若 是 上的
“弱增函数”，求 的最大值；
（3）已知等差数列 是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记 的前 项和为 ，设
是正整数，常数 ，若存在正整数 和 ，使得 且 ，求 所有可
能的值.
