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查漏补缺 02 三角形及特殊三角形
（3 考点 9 大题型）
考点一：三角形的基础
【题型一】三角形的三边关系
易错点01：所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角
形．
易错点02：如遇到等腰三角形求边长，要注意分类讨论.
解题大招01：判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组
成三角形．
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解题大招02：已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还
要满足三角形的三边关系.
解题大招03：已知等腰三角形周长和一条边的长，需分情况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果
还要满足三角形的三边关系.
【中考真题】
1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x2−10x+21=0的两个根，则这个三角
形的周长为（ ）
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
2．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三
角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
4．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
5．（2023·河北·中考真题）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．
当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可
以为 （写出一个即可）．
7．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，1−a,1−2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边
长能构成三角形，则a的取值范围为
m3−2m2 ( 9 )
8．（2021·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值： ÷ +m+3 ，其中m是已知两边分
m2−4m+4 m−3
别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．
【模拟训练】
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1．（2025·福建三明·一模）已知方程(x−2)(x2−4x+a)=0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边
边长，则实数a的取值范围是（ ）
A．1<a<3 B．1<a<4
C．3<a<4 D．2<a<3
2．（2025·陕西西安·一模）如图，四边形ABCD中，AD=CD=3，AB=5，BC=6，对角线AC的长度
随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．4
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）若3，6，x是某三角形的三边长，则x可取的最大整数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2−9x+18=0的两个
根，则该三角形的周长是（ ）
A．9 B．15 C．12或15 D．不能确
6．（2025·河北石家庄·一模）如图，四边形ABCD，已知AB=BC=6,AD=CD=4，且点D在△ABC外
部，则B,D之间的距离可能是（ ）
A．4 B．4.4 C．9 D．11
7．（2025·山东日照·一模）线段3,3,m能构成三角形，且使关于x的不等式组¿有解的所有整数m的和为
．
8．（2021·湖南·一模）已知a，b，c是△ABC的三条边的长，化简：
|a+b−c|+|b−c−a|+|a−b−c|= ．
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9．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围．
【构建模型】
她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到
解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．
请回答：
（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是： ．
（2）AD的取值范围是
【模型应用】
（3）如图2，在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠CAD=45°，在AD上取一点E，连接BE，若
BE=AC=4，则“燕尾”四边形AEBC的面积为 ．
【题型二】三角形“五线”的性质
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称
图形
语言
∵AD是∆ABC中BC边的高 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平
分线
∴∠ADB=∠ADC=90°
性质
∴∠BAD=∠DAC=
1
∠BAC
S =S =
∴BD=CD △ABD △ADC 2
S
△ABC
用途
1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等．
举例
线段
三角形的中位线 三角形的垂直平分线
名称
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图形
语言
∵DE是∆ABC的中位线 ∵直线l是AB的垂直平分线
性质 1 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
∴DE= BC DE∥BC
2
用途
1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等．
举例
解题大招01：条件中有中点,想到作中线,更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系.
解题大招02：1）高与面积有关:①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.
②高相等，面积之比等于底边之比.
2)高与勾股定理的联系：有高就有直角,想到勾股定理.
【中考真题】
1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
2．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S =12，则BE
△ABC
的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结
AE,AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S,S ,S ，若要求出S−S −S 的值，只需知道( )
1 2 1 2
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A．△ABE的面积 B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于
1
AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A
2
1
为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于 HG的
2
长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：①∠C=30°；②
1
AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S = S ．其中，正确结论的个数有（ ）
△BEF 6 △ABC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，DE垂直平分AB交BC于点D，若
△ACD的周长为50cm，则AC+BC=（ ）
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
6．（2024·云南·中考真题）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到
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直线AC的距离为（ ）
3 7
A． B．2 C．3 D．
2 2
7．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径
1
画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF长为半径画弧交于点P，作射线
2
BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A．√10 B．√11 C．2√3 D．4
8．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算
三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个
1( AB2−AC2 )
结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD= BC+ ．当AB=7,BC=6，AC=5时，
2 BC
CD= ．
9．（2024·四川巴中·中考真题）如图， ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，
AC=4．若 ▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
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A．4 B．5 C．6 D．8
1
10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC= ，
2
BC=2，AD=1，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 ．
11．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为
AD中点，连接BE．若BE=BC，CD=2，则BD= ．
12．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于
点E、F．若AD=8，BE=10，则tan∠ABD= ．
13．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
1
AB=2√5，AC=2，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧
2
分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE．
(1)求CD的长；(2)求△ACE的周长．
【模拟训练】
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点
E，若AB=2,BC=4，则△ABC的高AD与CE的比是（ ）
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A．1:2 B．1:1 C．2:1 D．1:3
2．（2024·湖北·模拟预测）△ABC的三边AB，AC，BC的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，2.4为
半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位
长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数
关系图象如图②所示，下列说法不正确的是（ ）
A．AF=6 B．AB=4 C．DE=3 D．EF=10
4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为△ABC三边BC,CA,AB上一点，且AD,BE,CF
交于点G，若S =6,S =4,S =15，则S =（ ）
△BDG △CDG △AEG △ABC
A．50 B．54 C．60 D．63
5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，
1
BD，使BE=BD；分别以D，E为圆心、以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射
2
线BF交AC于点G．若CG=1，P为AB上一动点，当GP最小时，AC的长为( )
A．1 B．√3 C．1+√2 D．2
6．（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于
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1
BC为半径画弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD；若CD=AC，
2
∠A=52°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．102° D．108°
7．（2024·陕西西安·一模）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线
段DE上的一点且EF=2，连接AF、BF，若∠AFB=90°，则线段BC的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8．（2024·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材78页的部分内容．
例 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，
GE GD 1
AD、CE相交于点G．求证： = = ．
CE AD 3
证明 连接ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
证明：连接ED，
【结论应用】
（1）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，D、E分别是边AB、BC的中点，CD、AE
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5
相交于点G．若GD= ，则BC= ______．
3
（2）如图③，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC的中点，CD、AE相交于点G．过点G作
GF∥BC交AB于点F，如果△ABC的面积是9，那么△DFG的面积是_____．
【题型三】三角形内角和与外角
易错点01：任意多边形的外角和都为360°，与边数无关.
1）三角形的内角和为180°；
2）直角三角形中两锐角和为90°；
3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
【中考真题】
1．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持
力F 的方向与斜面垂直，摩擦力F 的方向与斜面平行．若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F 与重力G方向
1 2 2
的夹角β的度数为（ ）
A．155° B．125° C．115° D．65°
2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于
点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，
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F．若∠E=54°41'，∠F=43°19'，则∠A的度数为（ ）
A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
4．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70° B．45° C．35° D．50°
5．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为
α(0°<α<180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=24°，则旋转角α的度数
为（ ）
A．24° B．28° C．48° D．66°
6．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试1:2:3，这个三角形是 三角形
7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、
点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN= ．
8．（2024·四川达州·中考真题）如图，在△ABC中，AE ，BE 分别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等
1 1
1 1
分线，且∠E AD= ∠CAB，∠E BD= ∠CBD，在△ABE 中，AE ，BE 分别是内角∠E AB，
1 3 1 3 1 2 2 1
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1 1
外角∠E BD的三等分线．且∠E AD= ∠E AB，∠E BD= ∠E BD，…，以此规律作下去．若
1 2 3 1 2 3 1
∠C=m°．则∠E = 度．
n
9．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C
逆时针旋转α角(0°<α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线C A'
与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．
【模拟训练】
10．（2025·天津河东·一模）如图，△ABC中，若∠B=40°，∠C=80°，按以下步骤作图：①以点A为
1
圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点E,F；②分别以点E，F为圆心．大于 EF的长为半径画
2
弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；③作射线AP，与BC相交于点D，则
∠ADC的大小为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
11．（2025·广东深圳·一模）为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车
的实物图，图②是其结构示意图．支架AB和CD与地面平行，∠BCD=70°,∠BAC=50°．当∠MAC
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为多少度时，AM平行于支撑杆BE？（ ）
A．15 B．60 C．70 D．115
12．（2025·山西·一模）如图，一条光线AB经平面镜的反射光线BC经凹透镜折射后，其折射光线CD的反
向延长线过凹透镜的一个焦点F ．已知光线AB的入射角为45°，反射光线BC与折射光线CD的夹角
1
∠BCD=155°，则光线CD与光线AB所夹的锐角为（ ）
A．65° B．60° C．35° D．25°
13．（2025·山东济南·一模）如图，在△ABC中，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交BC于点D，
取BD的中点E，连接AE；任取一点P，使点P和点D位于边AC的两侧，以点D为圆心，以DP的长为半
1
径作弧，与边AC相交于点G和H，再分别以点G和H为圆心，以大于 GH的长为半径作弧，两弧分别交
2
于M，N两点，作直线MN，交AC于点F．若AB=CD且AB≠BD，则下列结论不正确的是（ ）
A．AE⊥BC B．AF=CF C．∠1=∠2 D．∠B=2∠C
14．（2025·安徽滁州·一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=α，∠CAD=α−β，则
∠ACD的大小为（ ）
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1
A．β B．α− β C．α−β D．2α−β
2
15．（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，
如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
16．（2025·河北石家庄·模拟预测）将一副三角尺按图所示方式摆放，它们共用顶点C，CD，CE分别交
AB于点F，G．若BF=CF，∠ACB=∠E=90°，∠A=60°，∠D=45°，则∠AGE的度数是 ．
17．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=20°，以点B为圆心，适
1
当长为半径作弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两
2
弧相交于点P，作射线BP，点D是射线BP上一点，连接AD，CD．若∠BDC=50°，则∠CAD= ．
18．（2025·陕西西安·二模）如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接BG，DH交于点P，则∠1+∠2的
度数为 ．
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19．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=16°，D，E分别为边AB，AC上的点，将
△AED沿着ED翻折，得到△FDE，FD与AC相交于点O，连接FB．当△FBD为等腰直角三角形时，
∠FEC的度数为 ．
考点二： 全等三角形
【题型一】全等三角形的判定
易错点01：若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定；若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定.
易错点02：三角形判定中，有两种不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA.
解题大招01：判定两个三角形全等的思路：
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解题大招02：证三角形全等时，常用的隐含条件：
1）公共角(或公共边)； 2）对顶角相等； 3）等角加(或减)等角仍是等角；
4）角平分线得两等角； 5）平行线得同位角、内错角相等.
【中考真题】
1．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，
O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（ ）
A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO=FO
C．AE=CF D．EF⊥BD
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴
上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m>n>0），下列结论正确的是（ ）
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m
A．m+n=1 B．m−n=1 C．mn=1 D． =1
n
3．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中
点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2
，
∴①______．
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB（②______）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．∠1=∠3，AAS B．∠1=∠3，ASA
C．∠2=∠3，AAS D．∠2=∠3，ASA
4．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请补充
一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
5．（2024·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，AE=CF．求
证：∠≝=∠DFE．
6．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知AB=CD，点E，F在线段BD上，且AF=CE．
请从①BF=DE；②∠BAF=∠DCE；③AF=CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得
△ABF≌△CDE．你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．添加条件后，请证明AE∥CF．
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7．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．
将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好
也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
【模拟训练】
1．（2025·山东聊城·一模）如图，在 ▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4√3． 过点A
作AE⊥BC交BC于点E，记BE长为x，BC长为y． 当x，y的值发生变化时，代数式xy的值是（ ）
A．12 B．16 C．8 D．6
2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在BC、CD、AB上，连接AC、
AE、AF、EF、GF，其中GF=AE，∠EAF=45°，若∠BAE=α，则∠CEF+∠CFG一定等于（
）
A．90+α B．45+2α C．60+2α D．120−α
3．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在△ABC与△≝¿中，AB=DE,BC=EF，且点A在EF上，点D
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在BC上，添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC≌△≝¿的是（ ）
A．∠C=∠F B．∠B=∠E C．AC=DF D．∠BAC=∠EDF=90°
4．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，某同学用一个等边三角形ABC和一个正五边形BCDEF设计了一个
宝石徽章，其中BC为两个图形的公共边，连接AE，CF交于点G，下列说法错误的是（ ）
A．AC⊥CF B．DE∥CF
C．△EFG是等腰三角形 D．AE垂直平分BC
5．（2025·贵州遵义·一模）小方在学习画角平分线后，想到用三角尺也能画出∠AOB的角平分线，如图，
她将两块三角尺的一直角边分别与角的两边OA、OB重合，移动三角尺使得OM=ON，另两条直角边相
交于点P，则点P一定在∠AOB的角平分线上．这种做法的理由是（ ）
A． HL B． SSS C． SAS D． ASA
6．（2025·安徽·模拟预测）如图，在 ▱ABCD中，点E，点F在对角线AC上．要使△ABE≌△CDF，可
添加的条件为（ ）
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A．BE=DF B．AF=CE
C．∠BAE=∠DCF D．∠CAD=∠ACB
7．（2025·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、
AC的中点，连接DE、DF、EF，则图中与△ADF全等的三角形（不含△ADF）共有 个．
8．（2024广州市模拟预测）已知AB=4cm，AC=BD=3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B
运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)．
(1)如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与
△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
(2)如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设
点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；
若不存在，请说明理由．
【题型二】全等三角形的性质与判定
【中考真题】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接
EA、EC．
(1)求证：△EAB≌△ECB；
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(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．
2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是 ▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于
点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD=AC．E是⊙O外一点，
∠BAE=∠CAD,∠ADE=∠ACB，连接BE．
(1)若AB=8，求AE的长；
(2)求证：EB是⊙O的切线．
4
4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线y=kx与双曲线y=− 交于A，B两点，已知A点坐标为(a,2)．
x
(1)求a，k的值；
4
(2)将直线y=kx向上平移m(m>0)个单位长度，与双曲线y=− 在第二象限的图象交于点C，与x轴交于
x
点E，与y轴交于点P，若PE=PC，求m的值．
5．（2024·新疆·中考真题）【探究】
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（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．
①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说
明理由．
【运用】
（2）如图3，等边三角形ABC中，AB=6，点E在AC上，CE=2√3．点D是直线BC上的动点，连接
DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的
长．
6．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中
心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方
形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．
（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S ，在旋转过程中S 与S的关系为______．
1 1
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方
形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=√2OC，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，
当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM=BN时，请求出重叠部分的面积．
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√6−√2 √6+√2
（参考数据：sin15°= ，cos15°= ，tan15°=2−√3）
4 4
【模拟训练】
1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，
∠DAB=∠CBA．
(1)求证：△ABD≌△BAC；
(2)若AB=2√3，AE=2，求△ABE的面积．
2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接
EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
(1)求证EO=OF；
(2)若FC=2，求矩形ABCD的面积．
3．（2025·吉林长春·一模）已知四边形ABCD是正方形，点E为平面内一点，连结BE，将BE绕点B顺时
针旋转90°得到BF，连结AF、CE，已知点M为CE的中点，连结BM．
(1)如图①，若点E为边AB上一点，易知线段BM和AF的数量关系为_____（不需要证明）．
(2)如图②，若点E是正方形ABCD的内部一点，可证（1）中线段BM和AF的数量关系仍然成立，以下是
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小明的部分证明过程，请补充完整．
证明：延长BM到点N，使MN=BM，连结EN，如图③，
∵M为CE的中点，
∴EM=CM，
又∵∠EMN=∠CMB，MN=BM，
∴△EMN≌△CMB，
．．．．．．
(3)若点E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动，连结DM，当AB=2时，线段DM的最大值为_____．
考点三： 特殊三角形
【题型一】等腰三角形性质与判定综合
易错点01：等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,
角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
易错点02：“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的
中线.
易错点03：
解题大招01：等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转
化为边的相等关系的重要依据．
解题大招02：等腰三角形的高、中线、角平分线可知一推二.
解题大招03：平行平分出等腰.
解题大招04：证明两个角相等的方法：1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.
2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.
解题大招05：已知双腰上的高求定值的证明利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此
等腰三角形的中动点只能在底边所在直线上运动，此时连接该点和底边所对顶点，能将原图形分割成两
个底相等的三角形.
【中考真题】
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，
F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
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A．18 B．9√2 C．9 D．6√2
2．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，F是CD的中点．下列条件中，
不能推出AF与CD一定垂直的是（ ）
A．∠ABC=∠AED B．∠BAF=∠EAF
C．∠BCF=∠EDF D．∠ABD=∠AEC
3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径
1
作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于 EF长为半径作弧，两弧在∠ABC内交
2
于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB=AG=4，GD=5，则CH的长为
（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
√5
4．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，则AC+ BC的最大值为
5
．
5．（2023·湖北·中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，
连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其
中所有正确结论的序号是 ．
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6．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习
活动．
【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两
腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
角平分线AD的 ∠BAD的度 两腰之 两腰之
图序 腰长
长 数 和 积
图① 1 60° 2 4 4
图② 1 45° √2 2√2 2
图③ 1 30° ______ ______ ______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积
AB⋅AC之间的数量关系：______．
【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边
之积AB⋅AC之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，
CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图
1 1
形，并分析 + 的值是否变化？
BM BN
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7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF
，AC=DE，BC=EF．
(1)求证：△GEC是等腰三角形；
(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．
8．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点D，E分别在
AB，CB上，DB=EB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF．
(1)求证：CD=2BF，CD⊥BF；
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系：___________________；
②求证：CD=2BF．
【模拟训练】
1．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，设AC=x，BC= y，且x+ y是定值，
点D是AC上一点，点E为AB中点，连接CE，将线段CE沿绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF交AC于
点G，若点A关于直线DE的对称点恰为点F，则下列线段长为定值的是（ ）
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A．AD B．CD C．CG D．DE
2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，∠DBC=30°，在AC上取
一点E，使EB=EC，BE的延长线交线段AC的垂直平分线于点D，BC=√3+1，则①CD=1.5；②
BD=2；③∠DAC=18°；④AB=√2．以上结论正确的是 ．
3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线y=a(x+1)(x−3)交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D
为抛物线的顶点，若△ABD为等腰直角三角形，则a的值为 ．
4．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，且抛物线经过点
A(−1,0)和C(0,−3)两点，且抛物线与x轴交另一点B．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过PC的平行线交y轴与点M，若△PCM是以MC为底的等腰三角形，
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求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点Q，使得△CAQ中有一个角是∠OBC的2倍，若存在，求出点P的坐标，若
不存在，请说明理由．
5．（2023·湖南永州·二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点P是底边BC上任意一点(不与B、
C重合)，过C作CD⊥AB于D，为AB边上的高过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足为M、N，由等
1 1 1
面积法可知S =S +S ，即 AB⋅CD= AB⋅PM+ AC⋅PN，从而可得：CD=PM+PN．
△ABC △APB △APC 2 2 2
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．
(1)如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC、
BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF的值；
(2)如图2，在矩形ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好
与点B重合，点C落在点C'处．点P为线段MN上一动点(不与点M，N重合)，过点P分别作直线BM、BC
的垂线，垂足分别为E、F，以PE、PF为邻边作平行四边形PEGF，若DM=13，CN=5，求平行四边
形PEGF的周长；
(3)如图3，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线，垂足分别为点H 、
1
H 、H ．若PH −PH +PH =3，直接写出△ABC的面积．
2 3 1 2 3
【题型二】等边三角形性质与判定综合
1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
√3
4）等边三角形面积的求解方法：
S
正三角形
=
4
边长2
【中考真题】
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1．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且A´B=B´C=C´D，点P在
C´D上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105° B．100° C．90° D．70°
2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的
面积为（ ）
A．4 B．4√3 C．6 D．6√3
3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3，C是A´B上一点，
连接OC，D是OC上一点，且OD=DC，连接BD．若BD⊥OC，则A´C的长为（ ）
π π π
A． B． C． D．π
6 3 2
4．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角形
DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G，若AE=ED=2，则：
（1）∠FDB的度数是 ；
（2）DG的长是 ．
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5．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、≝¿叠放在一起，使点E、B分
别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．
(1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当AE>EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
【模拟训练】
1．（2025·河北保定·一模）菱形ABCD中，AB=6，BD=6√3，E是AD中点，F是BD上的动点，则
△AEF周长的最小值是（ ）
A．9 B．8 C．3+2√3 D．3+3√3
2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径画弧B´D，再以点D为圆
心，DA为半径画弧A´C．若AB=√2，则图中阴影部分面积为（ ）
2π √3 4π √3 2π √3 4π √3
A． − B． − C． − D． −
3 2 3 2 3 4 3 4
3．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若
点C的坐标为(2,0)，∠D=60°，则点D的坐标为（ ）
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A．(4,2√3) B．(2,2√3) C．(3,2√3) D．(4,√3)
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，D为
BC边上一点（不与点B，C重合），连接CE．
(1)如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=CD+CE；
(2)如图2，若∠BAC=90°，探究线段BD、CD、DE之间的数量关系，并说明理由．
5．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，△ABC是等边三角形，过边AB上的点D作DG∥BC，交AC于点G，
在GD的延长线上取点E，使DE=DB．连接AE、CD．
(1)求证：△AGE≌△DAC；
(2)过点E作EF∥DC，交BC于点F，连接AF，求证：△AEF是等边三角形．
【题型三】直角三角形性质与判定综合
易错点01：若题目中没有指明边的类型，注意分类讨论，已知的两边为两条直角边，或已知的两边为一
条斜边，一条直角边.
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解题大招01：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以我们在图形中至少可以找到三条相等
的线段，进而可以运用等腰三角形的性质解决问题.
解题大招02：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.这个性质常常用于计算三角形的边
长也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当已知的条件或结论倾向于
该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形.
解题大招03：若图中没有含特征线段的直角三角形，则需添加辅助线，构造满足条件的直角三角形.
【中考真题】
1．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点
A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1−√3 C．0 D．3−2√3
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当
1
长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧
2
交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动
点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则
1
OM+ FG的最小值是（ ）
2
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A．4 B．5 C．8 D．10
4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为
AD中点，连接BE．若BE=BC，CD=2，则BD= ．
5．（2024·北京·中考真题）已知∠MAN=α(0°<α<45°)，点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC
绕点B顺时针旋转180°−2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E.
(1)如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；
(2)如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量
关系，并证明。
【模拟训练】
1．（2024·陕西西安·一模）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线
段DE上的一点且EF=2，连接AF、BF，若∠AFB=90°，则线段BC的长为（ ）
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A．10 B．12 C．14 D．16
2．（2025·湖北襄阳·二模）如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知
∠AOB=90°,∠ABO=30°，点A的坐标是(−1,0)，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转60°，则
点B的对应点的坐标是（ ）
(√3 3) (3 √3) ( √3 3) ( 3 √3)
A． , B． , C． − , D． − ,
2 2 2 2 2 2 2 2
3．（2025·安徽滁州·一模）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=6，点P为AC边上一动点，
PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
3 3
A． √6 B． √5 C．3 D．2√5
2 2
4．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，M为菱形ABCD的对角线AC上的一个定点，N为边AD上的一个动点，
AM的垂直平分线分别交AB，AM于点E，F，∠BAD=60°，连接MN．若MN长的最小值为4，则AE
的长为 ．
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5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在 ▱ABCD中，AB=4，BC=6，点E为直线BC上一动点，
连接AE，DE，若∠ABC=45°，则AE+DE的最小值为 ．
【题型四】勾股定理及应用
易错点01：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在
应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
易错点02：应用勾股定理时，要分清直角边和斜边.
解题大招01：勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一，若图中没有含特征线段的直角三角
形，则需添加辅助线，构造满足条件的直角三角形.
解题大招02：解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线
段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理
列方程使问题得以解决.
【中考真题】
1．（2024·山东德州·中考真题）如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分
∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC=3:4，则BF:FD为（ ）
A．5:3 B．5:4 C．4:3 D．2:1
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2．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水
深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
3．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点
3
B在直线y= x上，若点B的横坐标是8，为点C的坐标为（ ）
4
A．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)
4．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿
AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（ ）
√7 √7 3 5
A． B． C． D．
4 3 4 4
5．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的
解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交A´B于点C，
测出AB=40cm,CD=10cm，则圆形工件的半径为（ ）
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A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
6．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为
(−2，0)，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为(0，6)，则点E的
坐标为 ．
7．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
【模拟训练】
1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在矩形ABCD中，CD=9，AD=15，点E在直线BC上，且
AE=AD，则CE= ．
2．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(0,2)，连接AB，点C为线段
k
AB的中点，将线段AB绕点B逆时针旋转一定角度后，点A、C同时落在反比例函数y= （k>0，x>0）
x
的图像上，则k= ．
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3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，分别过点B,D
作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E,F．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)四边形BEDF能否是菱形？简要说明你的理由；
(3)若DF=EF，CE=7，AB=13，求平行四边形ABCD的面积．
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