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第 40 讲 动量与动能、冲量与功的区别及冲量的四种计算方法
1．（2021·北京）如图所示，圆盘在水平面内以角速度 绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P
点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆ω盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘
上的某点停止。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B．圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为2m r
C．圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动 ω
D．圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为m r
【解答】解：A、圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力提供向心力，所ω以摩擦力方向沿半径方向
指向圆心，故A错误；
B、圆盘停止转动前，根据动量定理I＝Δp，小物体转动一圈回到原点，速度不变，所以动量变
化量为0，摩擦力的冲量为0，故B错误；
C、圆盘停止转动后，小物体将沿停止前的速度方向做匀减速运动，故C错误；
D、圆盘停止转动后，小物体将沿停止前的速度方向做匀减速运动，停止转动瞬间的速度 v＝
r，最终停止运动速度为0，根据动量定理I＝Δp，可知动量变化量为m r，所以摩擦力的冲量
ω为m r，故D正确。 ω
故选ω：D。
2．（2022·海南）在冰上接力比赛时，甲推乙的作用力是F ，乙对甲的作用力是F ，则这两个力（
1 2
）
A．大小相等，方向相反 B．大小相等，方向相同
C．F 的冲量大于F 的 D．F 的冲量小于F 的
1 2 1 2
【解答】解：AB、，在冰上接力比赛时，甲推乙的作用力是 F ，乙对甲的作用力是F ，根据牛
1 2
顿第三定律可知F 与F 为作用力反作用力，大小相等方向相反，故A正确，B错误；
1 2
CD、由于F 和F 大小相等，甲推乙两力作用时间相等，故两力的冲量大小相等，方向相反，故
1 2
CD错误；故选：A。
3．（2021·湖南）物体的运动状态可用位置x和动量p描述，称为相，对应p﹣x图像中的一个点。
物体运动状态的变化可用p﹣x图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹。假如一质点沿x轴正方
向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：一质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，那么位移与速度关系为：x
v2
= ，
2a
而动量表达式为：p＝mv，
联合上式，则有：p2＝2am2x
再由位移与速度均沿着x轴正方向，则取正值，那么动量也取正值，
综上所述，故D正确，ABC错误；
故选：D。
一.知识回顾
1.对动量的理解
(1)动量的两性
①瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻或位置而言的。
②相对性：动量的大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量。
(2)动量与动能的比较动量 动能
物理意义 描述机械运动状态的物理量
定义式 p＝mv E＝mv2
k
标矢量 矢量 标量
变化因素 物体所受冲量 外力所做的功
大小关系 p＝ E＝
k
(1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系
(2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动
联系
能不一定发生变化
(3)都是状态量，与某一时刻或某一位置相对应
2．对冲量的理解
(1)冲量的两性
①时间性：冲量不仅由力决定，还由力的作用时间决定，恒力的冲量等于该力与该力的作用时
间的乘积。
②矢量性：对于方向恒定的力来说，冲量的方向与力的方向一致。
(2)作用力和反作用力的冲量：一定等大、反向，但作用力和反作用力做的功之间并无必然联
系。
(3)冲量与功的比较
冲量 功
作用在物体上的力和力的作用时间的乘 作用在物体上的力和物体在力的方向上
定义
积 的位移的乘积
单位 N·s J
公式 I＝FΔt(F为恒力) W＝Flcosα(F为恒力)
标矢量 矢量 标量
①表示力对时间的累积 ①表示力对空间的累积
意义
②是动量变化的量度 ②是能量变化的量度
①都是过程量，都与力的作用过程相互联系
联系
②冲量不为零时，功可能为零；功不为零时，冲量一定不为零
3.冲量的四种计算方法
利用定义式I＝FΔt计算冲量，此方法仅适用于恒力的冲量，无需考
公式法
虑物体的运动状态
利用F－t图像计算，F－t图像与时间轴围成的面积表示冲量，此法既
图像法
可以计算恒力的冲量，也可以计算变力的冲量
如果物体受到大小或方向变化的力的作用，则不能直接用I＝FΔt求
动量
变力的冲量，可以求出该力作用下物体动量的变化量，由I＝Δp求变
定理法
力的冲量
平均 如果力随时间是均匀变化的，则＝(F＋F)，该变力的冲量为I＝(F＋
0 t 0力法 F)t
t
二.例题精析
题型1 对动量和冲量的定性分析
例1．如图为跳水运动员从起跳到落水过程的示意图，运动员从最高点到入水前的运动过程记为Ⅰ，
运动员入水后到最低点的运动过程记为Ⅱ，忽略空气阻力，则运动员（ ）
A．过程Ⅰ的动量改变量等于零
B．过程Ⅱ的动量改变量等于零
C．过程Ⅰ的动量改变量等于重力的冲量
D．过程Ⅱ的动量改变量等于重力的冲量
【解答】解：AC、过程I中动量改变量等于重力的冲量，即为mgt，不为零，故A错误，、C正
确；
B、运动员进入水前的速度不为零，末速度为零，过程II的动量改变量不等于零，故B错误；
D、过程II 的动量改变量等于合外力的冲量，不等于重力的冲量，故D错误；
故选：C。
题型2 对动量和冲量的定量计算
（多选）例2．一质量为m的运动员托着质量为M的重物从下蹲状态（图甲）缓慢运动到站立状态
（图乙），该过程重物和人的肩部相对位置不变，运动员保持乙状态站立△t时间后再将重物缓
慢向上举，至双臂伸直（图丙）。甲到乙、乙到丙过程重物上升高度分别为h 、h ，经历的时间
1 2
分别为t 、t ，则（ ）
1 2
A．地面对运动员的冲量为（M+m）g（t +t +△t），地面对运动员做的功为0
1 2
B．地面对运动员的冲量为（M+m）g（t +t ），地面对运动员做的功为（M+m）g（h +h ）
1 2 1 2
C．运动员对重物的冲量为Mg（t +t +△t），运动员对重物做的功为Mg（h +h ）
1 2 1 2D．运动员对重物的冲量为Mg（t +t ），运动员对重物做的功为0
1 2
【解答】解：AB、因缓慢运动，则为平衡状态，则地面对运动员的力为（M+m）g，作用时间
为（t +t +△t），则其冲量为I＝（M+m）g（t +t +△t），
1 2 1 2
因地面对运动员的力的作用点没有位移，则地面对运动员做的功为0，故A正确，B错误
CD、运动员对重物的力为Mg，其冲量为I′＝Mg（t +t +△t），运动员对重物力作用下的位移
1 2
为（h +h ），则对重物做功为Mg（h +h ），故C正确，D错误
1 2 1 2
故选：AC。
题型3 动量、冲量与图像结合
例3．某物体的v﹣t图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．0﹣t 和t ﹣t ，合外力做功和冲量都相同
1 2 3
B．t ﹣t 和t ﹣t ，合外力做功和冲量都相同
1 2 3 4
C．0﹣t 和t ﹣t ，合外力做功和冲量都相同
2 2 4
D．0﹣t 和t ﹣t ，合外力做功和冲量都相同
1 3 4
【解答】解：A、0﹣t 和t ﹣t ，动能变化量相同，由动能定理知合外力做功相同。0﹣t 内动量
1 2 3 1
变化量为mv ，t ﹣t 内动量变化量为﹣mv ，根据动量定理知冲量大小相等、方向相反，所以冲
0 2 3 0
量不同，故A错误。
B、t ﹣t 和t ﹣t ，动能变化量相同，由动能定理知合外力做功相同。t ﹣t 内动量变化量为﹣
1 2 3 4 1 2
mv ，t ﹣t 内动量变化量为mv ，根据动量定理知冲量大小相等、方向相反，所以冲量不同，故
0 3 4 0
B错误。
C、0﹣t 和t ﹣t ，动能的变化量和动量变化量均为零，由动能定理知合外力做功相同，都是零。
2 2 4
由动量定理知冲量相同，都是零，故C正确。
1 1
D、0﹣t 内，动能变化量为 mv2，合外力做功为 mv2．动量变化量为mv ，冲量为mv ．t
1 2 0 2 0 0 0 3
1 1
﹣t 内，动能变化量为- mv2，合外力做功为- mv2．动量变化量为mv ，冲量为mv ，冲量
4 2 0 2 0 0 0
为mv ．所以合外力做功不同，冲量相同，故D错误。
0故选：C。
（多选）例4．一物块静止在倾角为 且足够长的固定光滑斜面底端，物块受到平行斜面向上的拉
力F作用，在0～4s时间内，拉力θ的大小F和物块加速度的大小a随时间t变化的关系分别如图
甲、乙所示。取重力加速度大小g＝10m/s2，由图可知（ ）
A．物块的质量等于0.4kg
B．斜面倾角 ＝60°
C．在t＝2s时θ，物块的速度大小为2.5m/s
D．在1s～4s时间内，物块向上做加速度逐渐增大的加速直线运动
【解答】解：AB、t＝1s时，物块开始向上运动，故此时的拉力等于物块所受重力沿斜面的分力，
故有：F ＝mgsin 。代入数据解得：F ＝2N。t＝4s时，拉力F ＝6N，物块的加速度大小a＝
1 1 4
10m/s2，根据牛顿θ第二定律有：F ﹣mgsin ＝ma，联立解得：m＝0.4kg， ＝30°，故A正确、B
4
错误； θ θ
C、根据加速度图像与横轴所围面积等于速度变化量可得，在t＝2s时，物块的速度大小v
1
= ×5×1m/s＝2.5m/s，故C正确；
2
D、在t＝1s～3s时间内，物块向上做加速度逐渐增大的加速直线运动，在t＝3s～4s时间内，物
块向上做匀加速直线运动，故D错误。
故选：AC。
三.举一反三，巩固练习
1. （多选）如图所示，滑块P、Q静止在粗糙水平面上，一根轻弹簧一端与滑块Q相连，
另一端固定在墙上，弹簧处于原长。现使滑块 P以初速度v 向右运动，与滑块Q发生碰撞
0
（碰撞时间极短），碰后两滑块一起向右压缩弹簧至最短，然后在弹簧弹力作用下两滑块向左
运动，两滑块分离后，最终都静止在水平面上。已知滑块 P、Q的质量分别为2m和m，两滑
块与平面间的动摩擦因数相同，下列说法中正确的是（ ）A．两滑块发生碰撞的过程中，其动量守恒，机械能不守恒
B．两滑块分离时，弹簧一定处于原长
C．滑块P最终一定停在出发点左侧的某一位置
D．整个过程中，两滑块克服摩擦力做功的和小于mv 2
0
【解答】解：A、两滑块碰撞过程系统内力远大于外力，系统动量守恒，两者碰撞后一起运动，
碰撞不是弹性碰撞，碰撞过程机械能有损失，碰撞过程机械能不守恒，故A正确；
B、当P、Q间弹力为零时两滑块分离，分离前瞬间它们的加速度相等，由牛顿第二定律，对
μ2mg
P：a= = g
2m
μ
对Q： ′mg﹣T＝ma
解得：μT＝mg（ ′﹣ ），
如果： ′＝ ，μ则T＝μ0，弹簧处于原长状态，故B正确；
C、两滑μ块碰μ撞后在运动过程中要克服摩擦力做功，机械能减小，当P回到两球碰撞位置时的速
度大小一定小于碰撞前P的速度大小，P停止时的位置一定在其出发点的右侧，故C错误；
D、由于两滑块分离后Q继续向左做减速运动，当Q停止时弹簧处于伸长状态，在整个过程中，
1
P的机械能转化为弹簧的弹性势能与内能，由能量守恒定律可知：W+E = •2mv 2＝mv 2，W＝
P 0 0
2
mv 2﹣E ，则两滑块克服摩擦力做功之和小于mv 2，故D正确；
0 P 0
故选：ABD。
2. 一质量为1kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动，F随时间t变化的
图线如图所示，则（ ）
A．t＝1s时物块的速率为1m/s
B．t＝2时物块的动量大小为2kg•m/s
C．t＝3s时物块的动量大小为3kg•m/s
D．t＝4s时F的功率为3WF
【解答】解：A、前两秒，根据牛顿第二定律，a = =2m/s2，则0﹣2s的速度规律为：v ＝a t
1 1 11
m
＝2m/s，t＝1s时，速率为2m/s，故A错误；
B、t＝2s时，物块的速率v ＝a t ＝4m/s，则动量大小为：p ＝mv ＝4kg•m/s，故B错误；
2 12 2 2
C、2﹣4s，力开始反向，物体减速，根据牛顿第二定律，a ＝﹣1m/s2，所以3s时的速度为v ＝
2 3
v ﹣a t ＝3m/s，动量大小为p ＝mv ＝3kg•m/s，故C正确；
2 23 3 3
D、结合C的分析可得，t＝4s时物块速度v ＝v ﹣a t ＝2m/s，所以4s末的功率：P＝Fv ＝1×2
4 2 24 4
＝2W，故D错误；
故选：C。
3. （多选）电梯在t＝0时由静止开始上升，运动的a﹣t图象如图所示，电梯总质量m
＝2.0×103kg．电梯内乘客的质量m ＝50kg，忽略一切阻力，重力加速度g＝10m/s2，下列说法
0
正确的是：（ ）
A．第1s内乘客处于超重状态，第9s内乘客处于失重状态
B．第2s内乘客对电梯的压力大小为550N
C．第2s内电梯对乘客的冲量大小为550N•s
D．第2s内钢索对电梯的拉力大小为2.2×104N
【解答】解：A、第1s内乘客的加速度方向向上，处于超重状态，第9s内乘客的加速度方向向
上升，处于超重状态。故A错误。
B、第2s内，加速度为1m/s2，根据牛顿第二定律得：N﹣m g＝m a，解得：N＝m g+m a＝50×
0 0 0 0
（10+1）＝550N．故B正确。
C、第2s内电梯对乘客的支持力为550N，则冲量的大小为：I＝Nt＝550×1Ns＝550Ns，故C正
确。
D、对电梯和乘客整体分析，根据牛顿第二定律得：F﹣（m+m ）g＝（m+m ）a，代入数据解
0 0
得：F＝2.255×104N．故D错误。
故选：BC。
4. （多选）电梯在t＝0时由静止开始上升，运动的a一t图象如图所示，电梯总质量m
＝2.0×103kg，电梯内乘客的质量m ＝50kg，忽略一切阻力，重力加速度g＝10m/s2，下列说法
0正确的是（ ）
A．第1s内乘客处于超重状态，第9s内乘客处于失重状态
B．第2s内乘客对电梯的压力大小为550N
C．第2s内钢索对电梯的拉力大小为2.2×104N
D．第2s内电梯对乘客的冲量大小为550N•s
【解答】解：A、第1s内乘客的加速度方向向上，处于超重状态，第9s内乘客的加速度方向向
上升，处于超重状态。故A错误。
B、第2s内，加速度为1m/s2，根据牛顿第二定律得：N﹣m g＝m a，解得：N＝m g+m a＝50×
0 0 0 0
（10+1）＝550N．故B正确。
C、对电梯和乘客整体分析，根据牛顿第二定律得：F﹣（m+m ）g＝（m+m ）a，代入数据解
0 0
得：F＝2.555×104N，故C错误。
D、第2s内电梯对乘客的支持力为550N，则冲量的大小为：I＝Nt＝550×1Ns＝550Ns．故D正
确。
故选：BD。
5. 如图所示，儿童乐园里，质量为m的小女孩从滑梯上由静止滑下。空气阻力不计，滑
梯可等效为斜面，与水平面的夹角为 ，已知小女孩与滑梯的动摩擦因数为 ，下滑的时间为
t，重力加速度g，则小女孩下滑过程中θ（ ） μ
A．弹力的冲量为零
B．重力的冲量为mgtsin
C．合力的冲量大小为mθg（sin ﹣ cos ）t
θ μ θD．受到的摩擦力与其反作用力的总冲量为零，总功也为零
【解答】解：A、小女孩下滑过程中弹力为mgcos ，则弹力的冲量为I＝Ft＝mgtcos ，故A错
误； θ θ
B、重力的大小为mg，重力的冲量为mgt，故B错误；
C、在下滑过程中，合力的冲量大小等于动量的变化量为I＝F合t＝p末 ﹣0＝mg（sin ﹣ cos ）
t，故C正确； θ μ θ
D、小女孩下滑过程中受到的摩擦力与其反作用力大小相等，方向相反，则根据冲量的计算公式
I＝Ft可知，总冲量为零；根据W＝﹣ mgxcos ，可知总功为负值，故D错误；
f
故选：C。 μ θ
6. 如图所示，一物体在与水平成 角的拉力F作用下匀速前进了时间t，则（ ）
θ
A．拉力F对物体的冲量大小为Ft
B．拉力F对物体的冲量大小为Ftcos
C．合外力对物体的冲量大小为Ftsinθ
D．合外力对物体的冲量为Ftsin θ
【解答】解：AB、拉力的冲量大θ小为I＝Ft，方向与水平方向成 角，故A正确，B错误；
CD、物体匀速前进，合外力为零，故合外力的冲量为0，故CD错θ 误；
故选：A。
7. （多选）如图甲所示，物体受到水平拉力F的作用，沿水平面做直线运动。通过力传
感器和速度传感器监测得力F和物体速度v随时间t变化的规律如图乙所示。取重力加速度g
＝10m/s2，则（ ）
A．物体的质量m＝0.5kg
B．物体与水平面间的动摩擦因数 ＝0.2
C．0﹣3s内拉力F对物体做的功为μ1 JD．0﹣3s内拉力F的冲量大小为6 N•s
【解答】解：A、由速度﹣时间图象可以知道在2﹣3s的时间内，物体匀速运动，处于受力平衡
状态，所以滑动摩擦力的大小为2N，在1﹣2s的时间内，物体做匀加速运动，直线的斜率代表
2-0 F-f 3-2
加速度的大小，所a= m/s2＝2m/s2，由牛顿第二定律可得F﹣f＝ma，所以m= =
1 a 2
kg＝0.5kg，所以A正确；
f 2
B、由f＝ F ＝ mg，所以 = = =0.4，故B错误；
N
mg 0.5×10
μ μ μ
1 1
C、在第一秒内物体没有运动，物体在第2s内做匀加速运动位移为X= at2= ×2×12m＝1m，第
2 2
3s内做匀速运动位移X＝vt＝2×1＝2m，拉力F做功W＝F X +F X ＝3×1+2×2J＝7J，故C错误；
1 1 2 2
D、0﹣3s内拉力F的冲量大小为I＝F t +F t +F t ＝1×1+3×1+2×1N•s＝6N•s；故D正确。
11 22 33
故选：AD。
8. 目前，我国在人工智能和无人驾驶技术方面已取得较大突破。为早日实现无人驾驶，
某公司对汽车性能进行了一项测试，让质量为m的汽车沿一山坡直线行驶，测试中发现，若关
掉油门下坡，则汽车的速度保持不变；若从静止开始以恒定的功率P上坡，则发生位移s时速
度刚好达到最大值v 。设汽车在上坡和下坡过程中所受阻力的大小分别保持不变，下列说法
m
正确的是（ ）
A．关掉油门的下坡过程，坡面对汽车的支持力的冲量为零
B．关掉油门的下坡过程，汽车的机械能守恒
v s
C．上坡过程中，汽车速度达到 m时，发生的位移为
2 4
2s
D．上坡过程中，汽车从静止启动到刚好达到最大速度v ，所用时间一定小于
m v
m
【解答】解：A、关掉油门后的下坡过程，坡面对汽车的支持力大小不为零，时间不为零，则冲
量不为零，故A错误；
B、关掉油门后的下坡过程，汽车的速度不变、动能不变，重力势能减小，则汽车的机械能减小，
故B错误；
v s
C、上坡过程中，若恒加速度启动，速度达到 m时，发生的位移为 ，若恒功率启动，加速度
2 4
变化，发生的位移也会变化，则故C错误；
D、上坡过程中，汽车从静止启动到刚好达到最大速度v ，功率不变，则速度增大、加速度减
mv 2s
小，所用时间为T，则 m•T＜s，解得T＜ ，故D正确。
2 v
m
故选：D。
9. 如图所示是最常见的羽毛球运动图标之一，羽毛球运动是学校体育中最普及的体育运
动，也是速度最快的球类运动，运动员扣杀羽毛球的速度可达到100m/s。假设羽毛球飞来的速
度为50m/s，运动员将羽毛球以100m/s的速度反向击回，羽毛球的质量为10g，则羽毛球动量
的变化量（ ）
A．大小为1.5kg•m/s，方向与羽毛球飞来的方向相反
B．大小为1.5kg•m/s，方向与羽毛球飞来的方向相同
C．大小为0.5kg•m/s，方向与羽毛球飞来的方向相反
D．大小为0.5kg•m/s，方向与羽毛球飞来的方向相同
【解答】解：以球被反向击回的方向为正方向，则有
p ＝mv ＝﹣10×10﹣3×50kg•m/s＝﹣0.5kg•m/s
1 1
p ＝mv ＝10×10﹣3×100kg•m/s＝1kg•m/s
2 2
所以动量的变化量
Δp＝p ﹣p ＝1kg•m/s﹣（﹣0.5）kg•m/s＝1.5kg•m/s
2 1
即球的动量变化量大小为1.5kg•m/s，方向与球飞来的方向相反；
故选：A。
10. 两辆汽车的质量分别为m 和m ，沿水平方向做匀速直线运动并且具有相等的动能，
1 2
则两辆汽车动量大小之比是（ ）
A．（ m
1
）2 B．√m
1
C．√m
2
D．（ m
2
）2
m m m m
2 2 1 1
【解答】解：动量p ，
=√2mE
K
已知两辆汽车的动能相等，则两辆汽车的动量大小之比：p
1=
√2m
1
E
k =
√m
1
，故B正确，ACD错误。
p √2m E m
2 2 k 2
故选：B。
