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专练 40 高考大题专练(四) 立体几何的综合运用
1．[2021·全国新高考Ⅰ卷]如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝
AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC
－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积．
2．[2020·新高考Ⅰ卷]如图，四棱锥P ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平
面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
3.[2022·全国乙卷(理)，18]如图，四面体 ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝
∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平
面ABD所成的角的正弦值．
4．[2020·全国卷Ⅰ]如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，
AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO.
(1)证明：PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B－PC－E的余弦值．
5.[2020·全国卷Ⅱ]
如图，已知三棱柱ABC－ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是矩形，M，N分别
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为BC，BC 的中点，P为AM上一点，过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F.
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(1)证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥平面EBC F；
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(2)设O为△ABC 的中心．若AO∥平面EBC F，且AO＝AB，求直线BE与平面
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AAMN所成角的正弦值．
16．[2021·全国乙卷]如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝
DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)求BC；
(2)求二面角A－PM－B的正弦值．
7.[2021·全国甲卷]已知直三棱柱ABC－ABC 中，侧面AABB为正方形，AB＝BC＝
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2，E，F分别为AC和CC 的中点，D为棱AB 上的点，BF⊥AB.
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(1)证明：BF⊥DE；
(2)当BD为何值时，面BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
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8．[2022·新高考Ⅰ卷，19]如图，直三棱柱ABC－ABC 的体积为4，△ABC的面积为
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2.(1)求A到平面ABC的距离；
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(2)设D到AC的中点，AA＝AB，平面ABC⊥平面ABBA，求二面角A－BD－C的正
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弦值．
