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第 4 课时 专题强化：电磁感应中的动力学和能量问题
目标要求 1.导体棒切割磁感线运动时，能理清各物理量间的制约关系并能用动力学观点
进行运动过程分析。2.会用功能关系和能量守恒定律解决电磁感应中的能量问题。
考点一 电磁感应中的动力学问题
1．导体的两种运动状态
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析
2.用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
v 若F 合 ＝0 匀速直线运动
↓ v增大，若a恒定，拉力F增大
E＝Blv
a、v同向
v增大，F
安
增大，若其他力恒定，F
合
↓
若F
合
≠0 减小，a减小，做加速度减小的加速运
I＝
↓ 动→a＝0，匀速直线运动
↓
F ＝ma
合
F ＝BIl
安 v减小，F
安
减小，a减小→a＝0，静止
a、v反向
↓
或匀速直线运动
F
合
例1 (多选)如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力 F的作用下，
金属杆从静止开始做匀加速直线运动。整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力
F的最小值为8 N，经过2 s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨。已知 U形金属导轨两轨
道之间的距离为1 m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1 kg、电阻为1 Ω，磁感应强
度大小为1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(
)
A．拉力F是恒力
B．拉力F随时间t均匀增加
C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12 N
D．金属杆运动的加速度大小为2 m/s2
答案 BCD
解析 t时刻，金属杆的速度大小为v＝at，产生的感应电动势为E＝Blv，电路中的感应电
流I＝，金属杆所受的安培力大小为F ＝BIl＝，由牛顿第二定律F－mgsin 37°－F ＝ma得
安 安
F＝ma＋mgsin 37°＋，F与t是一次函数关系，选项A错误，B正确；t＝0时，F最小，代
入数据可求得a＝2 m/s2，选项D正确；t＝2 s时，代入数据解得F＝12 N，选项C正确。
例2 如图所示，两平行金属导轨水平放入磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中，
导轨间距为L，导轨左端接有一电容为C的平行板电容器。一质量为m的金属棒ab垂直放
在导轨上，在水平恒力F的作用下从静止开始运动。棒与导轨接触良好，不计金属棒和导
轨的电阻以及金属棒和导轨间的摩擦。求金属棒的加速度并分析金属棒的运动性质。
答案 见解析
解析 运动过程分析：取一极短时间Δt，棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电
电流。
由F－BIL＝ma，I＝，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BLΔv，联立可得F－＝ma，其中＝a，则可得
a＝，所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动。
拓展
1.若金属导轨平面与水平面成θ角，匀强磁场垂直导轨平面向上。已知重力加速度为 g，又
让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求金属棒下滑过程中的加速度大小。答案 金属棒在重力和安培力的作用下向下运动，根据牛顿第二定律有 mgsin θ－BIL＝
ma，I＝＝＝CBLa，联立可得a＝。
2．在拓展1中，若金属棒与导轨之间的动摩擦因数为 μ(μa，只要a>a，(v－v)↑⇒I↑⇒F
2 2 1 2 1 2 1 安
运动分析
↑⇒a↑⇒a↓
1 2
当a＝a 时，(v－v)恒定，I恒定，F 恒定；两棒均加速
1 2 2 1 安
规律
开始时，两棒做变加速运动；稳定时，两棒以相同的加速度做匀加速运
分析
动，I恒定，Δv恒定
对等间距光滑的平行导轨：整体由牛顿第二定律得a＝a＝，
1 2
最终状态
对于导体棒1有F ＝BIL＝ma，I＝，从而可求二者速度差
安 1
考点二 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
―――――――→――――→
2．求解焦耳热Q的三种方法3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解。
例4 (2024·广东省模拟)如图甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0 m，与
水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，方向垂直于导轨平面向上，MP
间接有阻值R＝1.6 Ω的电阻，质量m＝0.5 kg、接入电路的电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直
导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属棒ab，使其由静止开始运动，
当金属棒上滑的位移s＝3.8 m时达到稳定状态，对应过程的v－t图像如图乙所示。取g＝10
m/s2，导轨足够长(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小；
(2)从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程金属棒上产生的焦耳热。
答案 (1)b端电势高 5 N (2)1.47 J
解析 (1)由右手定则可判断感应电流由a流向b，b相当于电源的正极，故b端电势高，当
金属棒匀速运动时，由平衡条件得F＝mgsin 37°＋F ，其中F ＝BIL＝，由题图乙可知v
安 安
＝1.0 m/s，联立解得F＝5 N
(2)从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，由动能定理得(F－mgsin 37°)s－W ＝mv2
克安
又克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热，代入数据解得 Q＝W ＝7.35 J，金属
克安
棒与电阻产生的焦耳热与阻值成正比，故金属棒上产生的焦耳热为Q＝Q＝1.47 J。
r
例5 如图所示，粗细均匀的正方形导线框abcd放在倾角为θ＝30°的绝缘光滑斜面上，通
过轻质细线绕过光滑的定滑轮与木块相连，细线和线框共面、与 cd垂直且与斜面平行。距
线框cd边为L 的MNQP区域存在着垂直于斜面、大小相等、方向相反的两个匀强磁场，EF
0
为两个磁场的分界线，ME＝EP＝L 。现将木块由静止释放后，木块下降，线框沿斜面上滑，
2
恰好匀速进入和离开匀强磁场。已知线框边长为L(LL)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下，导
线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入
并通过磁场区域。下列v－t图像中，正确描述上述过程的可能是( )
答案 D
解析 线框以一定初速度进入磁场，则感应电动势为 E＝BLv，根据闭合电路欧姆定律，则
感应电流为I＝，所以安培力为F＝BIL＝，又根据牛顿第二定律有F＝ma，则a＝，由于v
减小，所以a也减小；当线框完全进入磁场后，不受到安培力作用，所以做匀速直线运动；
当线框出磁场时，速度与时间的关系与进入磁场相似，在速度—时间图像中，斜率绝对值
表示加速度的大小，故D正确，A、B、C错误。
3.(2023·陕西咸阳市模拟)如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，
用t 、t 分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻。线框下落过程形状不变，ab边始终
1 2
保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直。设OO′下方磁场区域足够
大，不计空气阻力影响，则下列图像不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律
的是( )答案 A
解析 线框先做自由落体运动，t 时刻ab边进入磁场做减速运动，加速度逐渐减小，而A
1
图像中的加速度逐渐增大，故A错误；线框先做自由落体运动，若进入磁场时重力小于安
培力，ab边进入磁场后做减速运动，当加速度减小到零时做匀速直线运动，cd边进入磁场
后线框做自由落体运动，加速度为g，故B正确；线框先做自由落体运动，ab边进入磁场时
若重力大于安培力，做加速度减小的加速运动，cd边进入磁场后线框做自由落体运动，加
速度为g，故C正确；线框先做自由落体运动，ab边进入磁场时若重力等于安培力，做匀速
直线运动，cd边进入磁场后，线框继续做自由落体运动，加速度为g，故D正确。
4.(2023·江苏盐城市模拟)如图所示，MN和PQ是竖直放置的两根平行光滑金属导轨，导轨
足够长且电阻不计，MP间接定值电阻R，金属杆cd保持与导轨垂直且接触良好。杆 cd由
静止开始下落并计时，杆cd两端的电压U、杆cd所受安培力的大小F随时间t变化的图像，
以及通过杆cd的电流I、杆cd加速度的大小a随杆的速率v变化的图像，合理的是( )
答案 D解析 设杆长为L，杆下落过程中切割磁感线产生的感应电流大小为I＝＝∝v，故C错误；
根据牛顿第二定律有mg－BIL＝ma，即a＝g－，故D正确；杆所受安培力的大小为F＝BIL
＝，杆下落过程中先做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度保持不变，所以安培
力随速度先增大后不变，最终大小为mg，故B错误；杆两端的电压为U＝IR＝，速度先增
大后不变，所以U先增大后不变，故A错误。
5.(多选)如图所示，两根间距为d的足够长光滑金属导轨，平行放置在倾角为θ＝30°的绝缘
斜面上，导轨的右端接有电阻R，整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方
向垂直于导轨平面向上。导轨上有一质量为m、电阻也为R的导体棒与两导轨垂直且接触良
好，导体棒以一定的初速度v 在沿着导轨上滑一段距离L后返回，不计导轨电阻及感应电
0
流间的相互作用，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．导体棒返回时先做加速运动，最后做匀速直线运动
B．导体棒沿着导轨上滑过程中通过R的电荷量q＝
C．导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功W＝(mv2－mgL)
0
D．导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R上产生的热量Q＝(mv2－mgL)
0
答案 AC
解析 导体棒返回时先做加速度减小的加速运动，最后受力平衡，做匀速直线运动，所以A
正确；根据q＝，则导体棒沿着导轨上滑过程中通过R的电荷量为q＝，所以B错误；设导
体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功为W，由能量守恒可得W＋mgLsin 30°＝mv2，
0
解得W＝(mv2－mgL)，所以C正确；根据功能关系可得，导体棒沿着导轨上滑过程中电阻
0
R上产生的热量为Q＝W，则Q＝(mv2－mgL)，所以D错误。
0
6．(多选)如图甲所示，两间距为L的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端用导线连接，
导轨处在竖直向上的匀强磁场中，一根长度也为L、电阻为R的金属棒放在导轨上，在平行
于导轨向右、大小为F的恒力作用下向右运动，金属棒运动过程中，始终与导轨垂直并接
触良好，金属棒运动的加速度与速度的关系如图乙所示，不计金属导轨及左边导线电阻，金
属导轨足够长，若图乙中的a、v 均为已知量，则下列说法正确的是( )
0 0
A．金属棒的质量为
B．匀强磁场的磁感应强度大小为C．当拉力F做功为W时，通过金属棒横截面的电荷量为
D．某时刻撤去拉力，此后金属棒运动过程中加速度大小与速度大小成正比
答案 ABD
解析 由题意可知F－＝ma，得a＝－v，结合a－v图像可知＝a，＝，解得m＝，B＝＝，
0
A、B正确；当拉力F做功为W时，金属棒运动的距离为s＝，则通过金属棒横截面的电荷
量q＝t＝t＝＝，C错误；某时刻撤去拉力，此后＝ma，则a＝v，D正确。
7．(2023·黑龙江哈尔滨市第九中学模拟)如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与
水平面成θ＝30°角固定，间距为L＝1 m，质量为m的金属杆ab垂直放置在轨道上且与轨道
接触良好，其阻值忽略不计。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强
度大小为B＝0.5 T。P、M间接有阻值为R 的定值电阻，Q、N间接电阻箱R。现从静止释
1
放ab，改变电阻箱的阻值R，测得金属棒ab最大速度为v ，得到与的关系如图乙所示。若
m
轨道足够长且电阻不计，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．金属杆中感应电流方向由a指向b
B．金属杆所受的安培力沿轨道向下
C．定值电阻的阻值为1 Ω
D．金属杆的质量为1 kg
答案 C
解析 由右手定则可判断，金属杆中感应电流方向由b指向a，由左手定则知，金属杆所受
的安培力沿轨道向上，A、B错误；总电阻为R ＝，I＝，当达到最大速度时，金属杆受力
总
平衡，有mgsin θ＝BI L＝(R＋R)，变形得＝·＋，根据题图乙可得＝k＝0.5 s·m－1·Ω，＝b＝
m 1
0.5 s·m－1，解得金属杆的质量m＝0.1 kg，定值电阻阻值R＝1 Ω，C正确，D错误。
1
8.(多选)如图所示，绝缘的水平面上固定有两条平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，两相
同金属棒a、b垂直导轨放置，其右侧矩形区域内存在恒定的匀强磁场，磁场方向竖直向上，
现两金属棒分别以初速度2v 和v 同时沿导轨自由运动，先后进入磁场区域。已知a棒离开
0 0
磁场区域时b棒已经进入磁场区域，则a棒从进入到离开磁场区域的过程中，电流i随时间t
的变化图像可能正确的有( )答案 AB
解析 a棒以速度2v 先进入磁场做切割磁感线运动，产生的感应电流为 i ＝，a棒在磁场中
0 0
会受到安培力，做减速直线运动，感应电流也随之减小。设当b棒刚进入磁场时a棒的速度
为v ，此时的瞬时电流为i ＝，若v ＝v ，则i ＝＝，此时两棒产生的感应电动势相抵，电
1 1 1 0 1
流为零，金属棒不受安培力作用，两棒均匀速运动离开，i－t图像中无电流，只有A图符合；
若vv ，MN和导轨间的动摩擦因数为0.2。重力加速度大小取10 m/s2，下
2 2 1
列说法正确的是( )
A．B 的方向向上 B．B 的方向向下
2 2
C．v＝5 m/s D．v＝3 m/s
2 2
答案 BD
解析 导轨的速度大于导体棒的速度，因此对导体棒受力分析可知导体棒受到向右的摩擦力
以及向左的安培力，摩擦力大小为F＝μmg＝2 N，导体棒所受安培力大小为F ＝F＝2 N，
f 1 f
由左手定则可知闭合回路的电流方向为N→M→D→C→N，导轨受到向左的摩擦力、向右的
拉力和向右的安培力，安培力大小为F ＝F－mg＝1 N，由左手定则可知B 的方向向下，A
2 f 0 2
错误，B正确；对导体棒分析F ＝BIL，对导轨分析F ＝BIL，电路中的电流为I＝，联立
1 1 2 2
解得v＝3 m/s，C错误，D正确。
2
