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向量运算的坐标表示
1．若向量 ， ， ．
(1) ，求 的值；
(2)若 与 共线，求k的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因 ，即 ，
所以 ，解得 ，故 ；
（2）因 与 共线， ， ，
所以 ，故 ．
2．已知向量 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求向量 与 的夹角 .
【答案】(1) 或 .(2)
【详解】（1）已知 ，
所以 .
又因为 ，所以有 ，
所以 ，解得 或 .（2）因为 ，所以 .
又 ，所以 ，
解得 ，所以 .
所以 ，
因为 ，所以 .
3．向量 ，向量 ．
(1)求 ；
(2)若向量 与向量 共线， ，求 的模的最小值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）
；
（2）由题设 且 ，则
，
所以
，当 时， .
4．已知向量 ， ， ．
(1)求与 垂直的单位向量 的坐标；
(2)若 ，求实数 的值．
【答案】(1) 或 (2)
【详解】（1）设与 垂直的单位向量 ，
则 ，解得： 或 ，
或 .
（2） ， ，又 ，
，解得： .
5．已知 ， ．
(1)求 ， ；
(2)求 ．
【答案】(1) ； (2)
【详解】（1）由 ， ，
所以 ， ．（2）由 ， ，
则 ，
所以 ．
6．已知 .
(1)当k为何值时， 与 共线?
(2)若 = ， = 且A，B，C三点共线，求m的值.
【答案】(1)k= (2)m=
【详解】（1）由题可得， ；
.
因为 与 共线，则 ；
（2）因为A，B，C三点共线， 与 不共线，所以存在实数λ，使得 =λ (λ∈R)，即
，整理得 ，
所以 m= .
7．已知
(1)若 且 时， 与 的夹角为钝角，求 的取值范围；
(2)若 函数 ，求 的最小值.
【答案】(1) ；(2) .【详解】（1）当 时， ， 与 的夹角为钝角，
于是 ，且 与 不共线，
则 ，解得 ，又 ，即 ，
则有 ，又当 与 共线时， ，解得 ，
因此 与 不共线时， ，
所以 的取值范围是 .
（2）依题意，当 时，
，
令 ，则 ，
于是 ，而函数 在 上为增函数，
则当 时，y有最小值 ，
所以 的最小值为
8．已知平面向量 ， ， ，且 ．
(1)求 的坐标；
(2)求向量 在向量 上的投影向量的模．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设 ，因为 ，所以 ，又 ，
解得 ， ，所以 ；（2） ，所以 ，
则向量 在向量 上的投影向量的模为 ；
综上， ，向量 在向量 上的投影向量的模为5.
9．已知向量 ， .
(1)求 ；
(2)求 与 的夹角.
【答案】(1)2(2)
【详解】（1）因为向量 ， ，所以 ，
则
（2） ，
所以 与 的夹角为 .
10．已知向量 ， ．
(1)若 ，求 在 上的投影向量的模长；
(2)若 ，求实数 的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意得当 时, ,则 ， ，
所以 在 上的投影向量的模为 ．
（2）由 ， ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ．
11．设 ， 是两个不共线的向量．
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，又向量夹角范围为[0,π]，
所以 .
（2）因为 ，设 ，μ为实数，
即 ，则 ，即 ，解得 ．
12．已知 当 为何值时，
(1) 与 共线；
(2) 与 的夹角为
【答案】(1) (2)【详解】（1）因为 ，所以 ，
，
由 与 共线，则 ，所以 .
（2）因为 ， ，
因为 与 的夹角为 ，所以 ，得到 ，所以 .
13．（1）已知单位向量 、 的夹角为 ， 与 垂直，求 ；
（2）已知向量 ， ， ，若 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）因为单位向量 、 的夹角为 ，所以 ，
又 与 垂直，所以 ，即 ，即 ，解得 ；
（2）因为 ， ，所以 ，
又 且 ，所以 ，解得 .
14．已知向量 ，求：
(1)若 ﹐求 ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)1(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ， ，所以，
又因为 ，所以 ，解得 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 .
15．已知向量 ， ．
(1)若 ，求k的值；
(2)若 ，求k的值．
【答案】(1) ；(2) ．
【详解】（1）由已知 ， ，
∵ ，∴ ，解得 ；
（2） ，
∵ ，∴ ，解得 ．
16．已知平面向量 ， ．
(1) 在 方向上的投影向量；
(2)当k为何值时， 与 垂直．
【答案】(1) (2)
【详解】（1） 在 方向上的投影向量 .（2）∵ 与 垂直， ， ，
∴ ，即 ，解得 ．
17．已知向量 ， ，
(1)当实数 为何值时，向量 与 共线
(2)当实数 为何值时，向量 与 垂直
【答案】(1) (2)
【详解】（1） ， ，
向量 与 共线，所以 ，所以 .
（2） ， ，
向量 与 垂直，所以 ，解得 .
18．已知向量 ， .
(1)求 时，求 的值；
(2)若 与 共线，求 夹角
【答案】(1) (2)
【详解】（1）∵ ，
当 时， ，∴ ，
∴ .
（2） ，且与 共线∴ ，解得 ，
所以 ， ，
所以 夹角为 .
19．已知向量 ， .
(1)求 与 夹角的余弦值；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：由向量 ， ，可得 ， 且 ，
所以 与 夹角的余弦值 .
（2）解：由 ，可得
，
即 ，解得 .
20．设平面三点A（-2，1），B（4，-1），C（2，3）．
(1)若 试求D点的坐标；
(2)试求向量 与 的夹角余弦值；
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设 ，则 ，因为 所以 ，解得
所以D点的坐标为 .
（2）由（1）知 ，又 ，
所以 ，
故向量 与 的夹角余弦值为 .
21．已知 ， 是同一平面内的两个向量，其中 ，且 ．
(1)若 ，求 的坐标；
(2)若 ，求 与 夹角．
【答案】(1) 或 (2)
【详解】（1）设 ．
因为 ， ，
所以 即
又因为 ，所以 ．
解之得 时， 或 时， ，
所以 或 ．
（2）记 与 夹角为 ．
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ．
22．设A，B，C，D为平面内的四点，且 .
(1)若 ，求D点的坐标；
(2)设向量 ，若向量 与 平行，求实数k的值.
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）设 ，因为 ，于是 ，整理得 ，
即有 ，解得 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以 ， ，
因为向量 与 平行，因此 ，解得 ，
所以实数k的值为 .
23．已知 是同一平面内的三个向量，其中 ．
(1)若 ，且 ∥ ，求 的坐标；
(2)若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 ．
【答案】(1) 或 (2)【详解】（1）解：设 ，因为 ，
∴ ，即 ，①
由 ∥ ，得 ，②
由①②，得 或 ，
故 或 ；
（2）解：因为 与 垂直，
所以 ，
即 ，
又 ， ，
所以 ，整理得 ，
故 ，
又 ，
所以 ．
24．已知向量 ， ， ，求 的值.
【答案】
【详解】∵ ， ，
∴ ，∴
，
∴ ，
∴ .
25．设向量
(1)求与 垂直的单位向量；
(2)若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
【答案】(1) 或 (2)
【详解】（1）由已知 ，设与 垂直的单位向量为
则 ，解得 或
即与 垂直的单位向量为 或
（2）由已知
所以 ，
因为向量 与向量 的夹角为钝角，
所以 ，解得 ，又因为向量 不与向量 反向共线，
设 ，则
从而 或 （舍去），所以解得
26．已知非零向量 和 不共线.
(1)若 ， ， ，求证：A，B，D三点共线；
(2)若向量 与向量 平行，求实数k的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1） ，
又 ， ， A，B，D三点共线；
（2） 向量 与向量 平行，
存在实数 使 ，
，解得 .
27．已知平面向量 ．
(1)若 ，且 ，求 的坐标；
(2)若 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或 (2)
【详解】（1）由 ，所以 ，
设 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，或 ，
所以 的坐标为 或 .
（2）由 ，
所以 ，
因为 与 的夹角为锐角，
所以 且 与 不共线，
，
解得 且 ，
即实数 的取值范围为 .
28．已知向量 、 .
(1)求 与 的数量积.
(2)求 与 的夹角的余弦值.【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ， ，所以 .
（2）因为 ， ，所以 ， ，
所以 .
29．已知向量 ， ， ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 与 垂直，求 的值．
【答案】(1) 或 (2)
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 ．
（2）因为 ， ，
所以 ，
又 与 垂直， ，
所以 ，
解得 ．30．已知向量
(1)已知 且 ，求
(2)已知 ，且 ，求向量 与向量 的夹角．
【答案】(1) 或 (2)
【详解】（1）由 ，所以设
又 得 ，解得 ，
所以 或 .
（2）由题知， ， ， ，
所以 ，
所以
所以
所以
所以
因为
所以向量 与向量 的夹角为 .
