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专题 08 数列
1．【2022年全国乙卷】已知等比数列{a }的前3项和为168，a -a =42，则a = ( )
n 2 5 6
A．14 B．12 C．6 D．3
2．【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国
第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到
1
1 b =1+
1 b =1+ 3 1
数列{b }：b =1+ ， 2 1 ， α + ，…，依此类推，其中
n 1 α α + 1 1
1 1 α α +
2 2 α
3
α ∈N* (k=1,2,⋯)．则( )
k
A．b N 时，a >0”的( )
0 0 n
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1
5．【2022年浙江】已知数列{a }满足a =1,a =a - a2(n∈N*)，则( )
n 1 n+1 n 3 n
5 5 7 7
A．2<100a < B． <100a <3 C．3<100a < D． <100a <4
100 2 2 100 100 2 2 100
6．【2022年全国乙卷】记S 为等差数列{a }的前n项和．若2S =3S +6，则公差d=
n n 3 2
_______．
7．【2022年北京】己知数列{a }各项均为正数，其前n项和S 满足a ⋅S =9(n=1,2,⋯)．
n n n n
给出下列四个结论：
①{a }的第2项小于3； ②{a }为等比数列；
n n
1
③{a }为递减数列； ④{a }中存在小于 的项．
n n 100
其中所有正确结论的序号是__________．
2S
8．【2022年全国甲卷】记S 为数列{a }的前n项和．已知 n+n=2a +1．
n n n n
(1)证明：{a }是等差数列；
n
(2)若a ,a ,a 成等比数列，求S 的最小值．
4 7 9 n
{S } 1
9．【2022年新高考1卷】记S 为数列{a }的前n项和，已知a =1, n 是公差为 的等差
n n 1 a 3
n
数列．
(1)求{a }的通项公式；
n
1 1 1
(2)证明：
+ +⋯+ <2．
a a a
1 2 n10．【2022年新高考2卷】已知{a }为等差数列，{b }是公比为2的等比数列，且
n n
a -b =a -b =b -a ．
2 2 3 3 4 4
(1)证明：a =b ；
1 1
(2)求集合{k|b =a +a ,1≤m≤500}中元素个数．
k m 1
11．【2022年北京】已知Q:a ,a ,⋯,a 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
1 2 k
n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在a ,a ,a ,⋯,a ( j≥0)，使得
i i+1 i+2 i+j
a +a +a +⋯+a =n，则称Q为m-连续可表数列．
i i+1 i+2 i+j
(1)判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；
(2)若Q:a ,a ,⋯,a 为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；
1 2 k
(3)若Q:a ,a ,⋯,a 为20-连续可表数列，且a +a +⋯+a <20，求证：k≥7．
1 2 k 1 2 k
12．【2022年浙江】已知等差数列{a }的首项a =-1，公差d>1．记{a }的前n项和为
n 1 n
S (n∈N*)．
n
(1)若S -2a a +6=0，求S ；
4 2 3 n
(2)若对于每个n∈N*，存在实数c ，使a +c ,a +4c ,a +15c 成等比数列，求d
n n n n+1 n n+2 n
的取值范围．
1．(2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测(文))在等差数列 中， ， ，
则 ( )
A． B． C． D．
2．(2022·福建省德化第一中学模拟预测)设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
的值为( )
A．8 B．10 C．12 D．143．(2022·北京·北大附中三模)已知数列 满足 ，其中 ，则数列
( )
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
4．(2022·辽宁实验中学模拟预测)已知数列 是首项为1的正项等差数列，公差
不为0，若 、数列 的第2项、数列 的第5项恰好构成等比数列，则数列 的
通项公式为( )
A． B． C． D．
5．(2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测(文))已知数列 的前 项和为 ，且 ，
， ，若存在实数 使 是等差数列，则 的公差为( )
A．1 B．2 C． D．
6．(2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测)已知正项等比数列 满足 ，若存在
、 ，使得 ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
7．(2022·浙江·三模)设数列 满足 ，记数列 的
前n项的和为 ，则( )
A． B．存在 ，使
C． D．数列 不具有单调性8．(2022·吉林·东北师大附中模拟预测(理))数列 为等差数列，前 项的和为 ，若
， ，则当 时， 的最大值为( )
A． B． C． D．
9．(2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测)已知等差数列 的前n项和为 ，且满
足 ， ，则下列结论正确的是( )
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
10．(2022·全国·模拟预测)已知数列 满足对任意的 ，总存在 ，使得 ，
则 可能等于( )
A． B．2022n C． D．
11．(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)已知数列 各项都不为 ， 且满足
，
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， 的前n项和为 ，求 取得最小值时的n的值．
12．(2022·福建·厦门双十中学模拟预测)等差数列 的前 项和为 ，已知 ， 为
整数，且 .
(1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 .
13．(2022·宁夏·银川一中模拟预测(理))已知数列 是等差数列， 是等比数列，且
， ， ， ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，
求实数 的取值范围．
14．(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)已知等差数列 满足 ，且前四项和为28，数列
的前 项和 满足 .
(1)求数列 的通项公式，并判断 是否为等比数列；
(2)对于集合A，B，定义集合 .若 ，设数列 和 中的所有
项分别构成集合A，B，将集合 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 ，
求数列 的前30项和 .
15．(2022·浙江省江山中学模拟预测)在数列 中， ，且对任意的 ，都
有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，定义集合A的长度为 ．已知数列的通项公式为 ，若关于x不等式
的解集A，求集合A的长度．
