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专题16 函数比较大小
真题呈现
一、单选题
1．（2023·天津·统考高考真题）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .所以 .故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即 ，
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .故选：A.
3．（2022·天津·统考高考真题）已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【解析】因为 ，故 .故答案为：C.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .故选：A.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】[方法一]：构造函数
因为当 ，故 ，故 ，所以 ；设 ， ，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及
此时 ， ，故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,
所以 ，所以 ,所以 ，故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
6．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
7．（2021·天津·统考高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， ，
， ， ， ，
.故选：D.
8．（2021·全国·统考高考真题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，即 .故选：C.
9．（2021·全国·统考高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【解析】[方法一]：，所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于
所以当0<x<2时， ，即 ， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ；
令 ，则 ， ，
由于 ，在x>0时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b<c；
综上， ，故选：B.
[方法二]：令 ， ，即函数 在（1，+∞)上单调递减
，,,令
，即函数 在（1，3)上单调递增，
综上， ，故选：B.
考点一 指数式、对数式，幂式比较大小
一、单选题
1．已知 ， ， ，那么（ ）A． B．
C． D．
【解析】 ， ， ，故 .故选：D
2．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 在 上递增，且 ，所以 ，所以 ，
因为 在 上递减，且 ，所以 ，即 ，
所以 ，故选：B
3．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 在定义域内单调递增，则 ，所以 ；
因为 在定义域内单调递增，则 ，所以 ；
因为 在定义域内单调递减，则 ，所以 ；综上所述： .故选：C.
4．已知函数 ，设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 ，由 开口向上且 ，即 ，
所以 的定义域为R，又 ，
所以 关于 对称，结合复合函数单调性知： 在 上单调递减，在 上单调递增.因为 ，又 ，则 ，
综上， .故选：A.
5．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】记 ，则 ，当 时， ，故 在 上单调递增，
故 ，故 ，记 ，则 ，
当 时， ，故 在 单调递减，故 ，故
，
因此 .故答案为： 故选;D
6．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，则 ，
由 ，则 ，故 ，
对于 ，令 且 ，则 ，
所以 ，则 ，即 在 上递减，
所以 ，故 在 上恒成立，
所以 ，即 .
综上， .故选：C
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．【解析】 ，由 ，有 ，可得 ．
又由 ，有 ，有 ，可得 ．故选：D．
8．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，
又 ， ，
因为 ， ， ，
所以 ，则 ，即 ，所以 .故选：B
9．已知函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，即 .故选：B.
10．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知， ， ，所以 ，， ，所以， .故选：B.
二、多选题
11．已知 ， ， ，则下列关系式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，即 .所以 ，故AC正确，B错误.
，故D错误.故选:AC.
12．若 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】若 ，所以 ，故A错误；
，所以 ，故B正确；
， ，
所以 ，故C正确，D错误.故选：BC.
13．已知实数 ，且 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为幂函数 在 上为增函数，所以 ，又 ，所以 ，即 ；
因为对数函数 在 上为增函数，所以 ；
所以 ，故AC正确.故选：AC.
14．已知 ,则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 在 单调递增,所以 ,即 ,
因为 在 单调递增,
所以 , ,
综上: ,故选项B错误,选项A、C正确;
因为 ,且 ,
即 ,所以 ,故选项D正确.故选:ACD
考点二 构造函数比较大小
一、单选题
1．已知 是定义在R上的偶函数，当 时，有 恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ，则 ，
因为当 时，有 恒成立，所以 时， ，所以 在 单调递减；又 是定义在R上的偶函数，则 ，故 为偶函数，
则 ，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项正确；
故选：D.
2．设 是函数 的导函数，当 时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ，
，设 在 单调递增，
，所以A错误；
，
所以 ，所以B正确；，所以C错误；
，
，所以D错误.故选：B
3．已知 则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
故 ，所以 ，当 时取等号.以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
故 ，所以 ，当 时取等号.
所以 ，即 .
故选：C.
4．已知函数 ，设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．【解析】由函数 ，
可得函数 为偶函数且在 上为增函数，设 ，
则 ，
所以 是 上的增函数，所以 ，即 ，
所以 ，左右两边同时乘以 ，可得 ， ，即 ；
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ，即 ，
综上可得， .故选:D.
5．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ， ， ，
对 两边取对数，可得 ， ， ，
令 ，其中 ，
可得 ，
令 ，可得 ，所以 为单调递增函数，
当 时，可得 ，所以 ,
所以 ， 在 单调递增，
所以 ，即 ，
所以 .故选：A.6．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 ，令函数 ，可得 ，
当 ，可得 ， 单调递增；当 ，可得 ， 单调递减，
所以当 ，函数 取得极大值，即为最大值 ，
函数 的图形，如图所示，对于函数 ，当 且 时， .
设 且 ，则 ，可得 ，所以 ，所以 ,
所以 .故选：A.
7．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】构造函数 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，即 ，得 ，即 ；
构造函数 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，，所以 .故选：A.
8．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得 ，可得 ，
设 ，可得 ，所以 单调递减，
则 ，即 ，所以 ；
又由 ，
设函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，所以 .故选：C.
9．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由指数幂的运算公式，可得 ，所以 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，故 ，当且仅当 时取等号，
由于 ，则 ，则 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：C.10．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ， ，所以 ， ，所以 单调递增，
则 ，所以 ，则 ；
， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，故 .故选：C.
11．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ， ，则 ，即当 时， ，
∴ 在 上单调递增，∴ ，∴ ，即 ，
设函数 ， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ；
设函数 ，则 ，
令 ， ，
当 时， ，所以 单调递增，而 ，所以 ，
又 在 成立，所以 在 上恒成立，
所以 ，即 ，所以 ，综上， .故选：D.12．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
又由 ， ，可得 ， ，
令 ，可得
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
可得 ，所以 ，再令 ，
可得 ，所以 单调递增，
可得 ，即 ，
可得 ，即 ，综上可得， .故选：B.
