文档内容
考生注意：
1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非
选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名、转考证号，并将核对后的
条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设xÎR，则不等式 x-3 <1的解集为_______.
【答案】(2，4)
【解析】试题分析：|x-3|<1 -1< x-3<1 2< x<4，故不等式|x-3|<1的解集
为(2,4).
考点：绝对值不等式的基本解法.
3+2i
2．设z = ，其中i为虚数单位，则z的虚部等于______________________.
i
【答案】-3
【解析】
试题分析：
3+2i
z = =2-3i,z的虚部等于-3.
i
考点：1.复数的运算；2.复数的概念.
3．已知平行直线l :2x+ y-1=0,l :2x+ y+1=0，则l与l 的距离是_______________.
1 2 1 2
2 5
【答案】
5
【解析】试题分析：
|c -c | |-1-1| 2 5
利用两平行线间的距离公式得d= 1 2 = = .
a2 +b2 22 +12 5
考点：两平行线间距离公式.
第1页 | 共13页4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这
组数据的中位数是_________（米）.
【答案】1.76
【解析】试题分析：
将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位数
是1.76.
考点：中位数的概念.
5．若函数 f(x)=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=______.
【答案】3
a
【解析】试题分析： f(x)= 16+a2 sin(x+)，其中tan= ，故函数 f(x)的最大值
4
为 16+a2 ，由已知得， 16+a2 =5，解得a =3.
考点：三角函数y = Asin(wx+) 的图象和性质.
6．已知点(3,9)在函数 f(x)=1+ax的图像上，则 f(x)的反函数f -1(x)= ________.
【答案】log (x-1)
2
考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.
ìx³0,
ï
7．若x,y满足íy³0, 则x-2y的最大值为_______.
ï
y³ x+1,
î
【答案】-2
【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令z = x-2y，当直线
1 1
y = x- z经过点P(0,1)时，z取得最大值-2.
2 2
第2页 | 共13页y
P
O x
考点：线性规划及其图解法.
8．方程3sinx=1+cos2x在区间[0,2p]上的解为___________.
p 5p
【答案】 ，
6 6
【解析】试题分析：
化简3sinx =1+cos 2x得：3sinx =2-2sin2 x，所以2sin2 x+3sinx-2=0，解得
1 p 5p
sinx = 或sinx =-2（舍去），又xÎ[0,2p]，所以x= 或 .
2 6 6
考点：二倍角公式及三角函数求值.
n
2
9．在3 x - 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______
x
___.
【答案】112
【解析】试题分析：
由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为2n，即2n =256，所以n =8，又二项展开
2 8 - 4 r 8 4
式的通项为T =Cr(3 x)8-r(- )r =(-2)rCrx3 3 ，令 - r =0，所以r =2，所以
r+1 8 x 8 3 3
T =112，即常数项为112.
3
考点：二项式定理.
10．已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.
7 3
【答案】
3
【解析】试题分析：
32 +52 -72 1
利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为 =- ，所以此角的正弦值
2´3´5 2
第3页 | 共13页3 7 7 3
为 ，由正弦定理得2R = ,所以R = .
2 3 3
2
考点：正弦、余弦定理.
11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种
水果相同的概率为______.
1
【答案】
6
【解析】试题分析：
将4种水果每两种分为一组，有C2 =6种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相
4
1
同的概率为 .
6
考点：古典概型
uuur uur
12．如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线y= 1- x2 上一个动点，则OP×BA的
取值范围是 .
【答案】[-1, 2]
uuur
【解析】试题分析：由题意，设P(cosa,sina), aÎ[0,π]，则OP=(cosa,sina)，又
uuur uuur uuur p
BA=(1,1), 所以OP×BA=cosa+sina= 2sin(a+ )Î[-1, 2].
4
考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.
ìïï ax+ y= 1
13．设a>0,b>0. 若关于x,y的方程组í ，无解，则a+ b的取值范围是 .
ï ïî x+ by= 1
【答案】(2,+¥)
ax+ y =1 x+by =1 ab=1
【解析】试题分析：方程组无解等价于直线 与直线 平行，所以
a ¹b¹1 a b a+b>2 ab =2 a ¹b¹1 a+b
且 .又 ， 为正数，所以 （ ），即 的取值范围
(2,+¥)
是 .
[
第4页 | 共13页考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.
14．无穷数列{a}由k个不同的数组成，S为{a}的前n项和.若对任意nÎ N*，S Î {2，3}，
n n n n
则k的最大值为 .
【答案】4
考点：数列的项与和.
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．设aÎR，则“a >1”是“a2 >1”的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：
a>1Þa2 >1,a2 >1Þa>1或a<-1，所以“a >1”是“a2 >1”的充分非必要条件，选A.
考点：充要条件
16．如图，在正方体ABCD−ABCD中，E、F分别为BC、BB的中点，则下列直线中与直线EF
1 1 1 1 1
相交的是（ ）.
(A)直线AA (B)直线AB
1 1 1
(C)直线AD (D)直线BC
1 1 1 1
【答案】D
【解析】试题分析：
第5页 | 共13页只有BC 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与EF 都是异面直线，
1 1
故选D．
考点：异面直线
π
17．设aÎ R，bÎ [0,2π].若对任意实数x都有sin(3x- )=sin(ax+ b)，则满足条件的有序
3
实数对(a,b)的对数为（ ）.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【答案】B
π π 5π 5π
【解析】试题分析：sin(3x- )=sin(3x- +2π)=sin(3x+ )， (a,b)=(3, )，
3 3 3 3
π π 4π 4π
又sin(3x- )=sin[π-(3x- )]=sin(-3x+ )，(a,b)=(-3, )，
3 3 3 3
注意到bÎ[0,2π)，只有这两组．故选B．
考点：三角函数
18．设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数．对于命题：①若 f(x)+g(x)、
f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数，则 f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若
f(x)+g(x)、 f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T 为周期的函数，则 f(x)、g(x)、
h(x)均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
(A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题
(C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】
试题分析：
考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.
三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
第6页 | 共13页内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.
5p
将边长为1的正方形AAOO（及其内部）绕OO旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为 ，
1 1 1
6
p
AB 长为 ，其中B与C在平面AAOO的同侧.
1 1 3 1 1 1
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线OB与OC所成的角的大小.
1 1
π
【答案】（1）V =p，S =2p；（2） ．
2
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高h=1，底面半径r =1．由此计算即得.
（2）由O B //OB得ÐCOB或其补角为O B 与OC所成的角，再结合题设条件计算即得
1 1 1 1
．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长l =1，底面半径r =1．
圆柱的体积V =pr2l =p´12´1=p，
圆柱的侧面积S =2prl =2p´1´1=2p．
（2）设过点B的母线与下底面交于点B，则OB //OB，
1 1 1
所以ÐCOB或其补角为OB 与OC所成的角．
1 1
p p
由AB 长为 ，可知ÐAOB=ÐAOB = ，
1 1 3 1 1 1 3
5p 5π p
由AC长为 ，可知ÐAOC = ，ÐCOB=ÐAOC-ÐAOB= ，
6 6 2
第7页 | 共13页p
所以异面直线OB 与OC所成的角的大小为 ．
1 1 2
考点：1.几何体的体积；2.空间角.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.
有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走
.于是，菜地分为两个区域S 和S ，其中S 中的蔬菜运到河边较近，S 中的蔬菜运到F
1 2 1 2
点较近，而菜地内S 和S 的分界线C上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直
1 2
角坐标系，其中原点O为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.
（1）求菜地内的分界线C的方程；
8
（2）菜农从蔬菜运量估计出S 面积是S 面积的两倍，由此得到S 面积的“经验值”为 .
1 2 1 3
设M 是C上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五
边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 面积的“经验值”.
1
5 11
【答案】（1）y2 =4x（0< y<2）；（2）矩形面积为 ，五边形面积为 ，五边形
2 4
面积更接近于S 面积的“经验值”．
1
【解析】
第8页 | 共13页5 11
所求的矩形面积为 ，而所求的五边形面积为 ．
2 4
5 8 1
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 - = ，而五边形面积与“经验值”之差
2 3 6
11 8 1
的绝对值为 - = ，所以五边形面积更接近于S 面积的“经验值”．
4 3 12 1
考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
y2
双曲线x2 - =1(b>0)的左、右焦点分别为F、F，直线l过F且与双曲线交于A、B两
b2 1 2 2
点.
p
（1）若l的倾斜角为 ，△FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
2 1
（2）设b= 3，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.
15
【答案】（1）y = 2x；（2） .
5
【解析】
试题分析：（1）设Ax ,y ，根据题设条件可以得到4 1+b2 =3b4，从而解得b2的
A A
值．
（2）设Ax ,y ，Bx ,y ，直线l: y =kx-2与双曲线方程联立，得到一元二次
1 1 2 2
方程，根据l与双曲线交于两点，可得k2 -3¹0，且D=36 1+k2 >0．由|AB|=4构建
关于k的方程进行求解．
第9页 | 共13页试题解析：（1）设Ax ,y ．
A A
由题意，F c,0，c= 1+b2 ，y2 =b2 c2 -1 =b4，
2 A
因为△FAB是等边三角形，所以2c= 3 y ，
1 A
即4 1+b2 =3b4，解得b2 =2．
故双曲线的渐近线方程为y = 2x．
（2）由已知，F 2,0．
2
设Ax ,y ，Bx ,y ，直线l: y =kx-2．
1 1 2 2
ì y2
ïx2 - =1
由í 3 ，得 k2 -3 x2 -4k2x+4k2 +3=0．
ï y =kx-2
î
因为l与双曲线交于两点，所以k2 -3¹0，且D=36 1+k2 >0．
4k2 4k2 +3 36 k2 +1
由x +x = ，x x = ，得x -x 2 = ，
1 2 k2 -3 1 2 k2 -3 1 2 k2 -3 2
6 k2 +1
故 AB = x -x 2 +y - y 2 = 1+k2 x -x = =4，
1 2 1 2 1 2 k2 -3
3 15
解得k2 = ，故l的斜率为 ．
5 5
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分6分.
对于无穷数列{a }与{b }，记A={x|x=a ，nÎN*}，B={x|x=b ，nÎN*}，
n n n n
若同时满足条件：①{a
n
}，{b
n
}均单调递增；②A
I
B=Æ且A
U
B=N*，则称{a
n
}
与{b }是无穷互补数列.
n
（1）若a =2n-1，b =4n-2，判断{a }与{b }是否为无穷互补数列，并说明理
n n n n
由；
第10页 | 共13页（2）若a =2n且{a }与{b }是无穷互补数列，求数列{b }的前16项的和；
n n n n
（3）若{a }与{b }是无穷互补数列，{a }为等差数列且a =36，求{a }与{b }的
n n n 16 n n
通项公式.
【答案】（1）a 与b 不是无穷互补数列，理由见解析；（2） 180 ；（3）
n n
ìn,n£5
a =2n+4，b =í ．
n n î2n-5,n>5
【解析】试题分析：（1）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）利用等差
数列与等比数列的求和公式进行求解；（3）先求等差数列{a }的通项公式，再求{b }的
n n
通项公式.
试题解析：（1）因为4ÏA，4ÏB，所以4ÏA B，
U
从而a 与b 不是无穷互补数列．
n n
（2）因为a =16，所以b =16+4=20．
4 16
考点：等差数列、等比数列、新定义问题
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分8分.
第11页 | 共13页1
已知aÎR，函数 f(x)=log ( +a).
2 x
（1）当a=1时，解不等式 f(x)>1；
（2）若关于x的方程 f(x)+log (x2)=0的解集中恰有一个元素，求a的值；
2
1
（3）设a>0，若对任意tÎ[ ,1]，函数 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的
2
差不超过1，求a的取值范围.
1 é2
【答案】（1）xÎ(0,1)；（2）0或- ；（3） ,+¥ ．
ê
4 ë3
【解析】
1 1
试题分析：（1）由log +1 >1，得 +1>2，从而得解．
2 x x
1
（2）转化得到log ( +a)+log (x2)=0，讨论当a=0、a¹0时的情况即可．
2 x 2
（3）讨论 f x在0,+¥上的单调性，再确定函数 f x在区间t,t+1上的最大值与最
é1 ù
小值之差，由此得到at2 +a+1t-1³0，对任意tÎ ,1 成立．
ê ú
ë2 û
1 1
试题解析： （1）由log +1 >1，得 +1>2，解得xÎ(0,1)．
2 x x
（2）log
1
+a
+log
x2
=0有且仅有一解，
2 x 2
第12页 | 共13页函数 f x在区间t,t+1上的最大值与最小值分别为 f t， f t+1．
1 1
f t- f t+1=log +a -log +a £1即at2 +a+1t-1³0，对任意
2 t 2 t+1
é1 ù
tÎ ,1 成立．
ê ú
ë2 û
é1 ù
因为a>0，所以函数y =at2 +a+1t-1在区间 ,1 上单调递增，
ê ú
ë2 û
1 3 1 3 1 2
所以t = 时， y有最小值 a- ，由 a- ³0，得a³ ．
2 4 2 4 2 3
é2
故a的取值范围为 ,+¥ ．
ê
ë3
考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.
第13页 | 共13页
