文档内容
专题 2.4 函数的图象与函数的零点问题【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数图象的画法与图象变换】..................................................................................................................2
【题型2 函数图象的识别】......................................................................................................................................3
【题型3 函数图象的应用】......................................................................................................................................5
【题型4 函数零点所在区间的判断】......................................................................................................................6
【题型5 求函数的零点或零点个数】......................................................................................................................7
【题型6 根据函数零点的分布求参数】..................................................................................................................7
【题型7 根据函数零点个数求参数范围】..............................................................................................................8
【题型8 函数零点的大小与范围问题】..................................................................................................................9
1、函数的图象与函数的零点问题
函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式等，一般以
选择题或填空题的形式出现，难度不大.
函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出
现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大.
【知识点1 函数的图象问题】
1.作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描
出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作
出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2.函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【知识点2 函数的零点问题】
1.函数零点个数的判断方法函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合
函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个
不同的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期
函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
2.已知函数零点求参数的方法
(1)已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两
个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
(2)已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确
画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【题型1 函数图象的画法与图象变换】
x 1
【例1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）要得到函数y= 的图象，只需将函数y= 的图象（ ）
x−1 x
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【变式1-1】（2023上·甘肃武威·高一统考开学考试）将函数 向左、向下分别平移2个、3
y=|−x2+1|+2
个单位长度，所得图像为（ ）
A． B．C． D．
【变式1-2】（2023上·陕西汉中·高一校考期中）已知函数f (x)=¿.
(1)求f(6)，f(−1)的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出y=f (x)的简图（不用列表）.
【变式1-3】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）作出下列函数的标准图象：
2x−1
(1)y= ；
x−1
(2)y=x2−2|x|−1．
【题型2 函数图象的识别】
【例2】（2022·天津南开·统考一模）函数 的图象可能是（ ）
y=(x2−1)exA． B．
C． D．
【变式2-1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数y=f (x)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能
是（ ）
f (x)
A．x2f (x) B． C．xf (x) D．xf2(x)
x2
【变式2-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）函数 的图象大致是（ ）
y=(x3−x)⋅3|x|
A． B．C． D．
【变式2-3】（2020上·广东·高三校联考阶段练习）函数f (x)=x2sinx−xcosx在[−π,π]上的图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 函数图象的应用】
2
【例3】（2023·河南郑州·统考二模）若函数f (x)= 的部分图象如图所示，则f (5)=（ ）
ax2+bx+c
1 2 1 1
A．− B．− C．− D．−
3 3 6 12【变式3-1】（2023·江苏·高一假期作业）如图为函数y=f (x)和y=g(x)的图象，则不等式f (x)⋅g(x)<0
的解集为（ ）
A．(−∞,−1)∪(−1,0) B．(−∞,−1)∪(0,1)
C．(−1,0)∪(1,+∞) D．(0,1)∪(1,+∞)
a
【变式3-2】（2023上·浙江·高一校联考期末）函数y= 的图像如图所示，可以判断a，b，c
(x−b)|x−c|
分别满足（ ）
A．a<0，b>0，c=0 B．a>0，b>0，c=0
C．a<0，b=0，c>0 D．a<0，b=0，c=0
【变式3-3】（2023·陕西西安·统考三模）定义域和值域均为[−a,a](常数a>0)的函数y=f (x)和y=g(x)的
图象如图所示，则方程 解的个数为（ ）
f [g(x)]=0
A．1 B．2 C．3 D．4【题型4 函数零点所在区间的判断】
【例4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数f (x)=3x+x−6有一个零点x=x ，则x 属于
0 0
下列哪个区间（ ）
(1 ) ( 3) (3 ) ( 5)
A． ,1 B． 1, C． ,2 D． 2,
2 2 2 2
1
【变式4-1】（2023·海南·模拟预测）函数f (x)= −ln x+2的零点所在的大致区间为（ ）
x
A．(1,e) B．(e,e2) C．(e2,e3) D．(e3,e4)
【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数
f(x)=2x+log x,g(x)=
(1) x
−log x,ℎ(x)=x3+log x的零点分别为a,b,c，则（ ）
2 2 2 2
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
【变式4-3】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数f (x)=¿，若方程f(x)=1的实根在区间
(k,k+1),k∈Z上，则k的最大值是（ ）
A．−3 B．−2 C．1 D．2
【题型5 求函数的零点或零点个数】
【例5】（2023·陕西西安·西安校考模拟预测）函数 的零点为（ ）
f (x)=1−lg(3x+2)
A．log 8 B．2 C．log 7 D．log 5
3 3 2
【变式5-1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f(x)=¿，则函数y=f(x)−log x的零点个数为（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-2】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，
对任意x∈R，都有f (x+2)+f (2−x)=0，当x∈(0,2)时，f (x)=lnx，则f (x)在[−10,10]上的零点个数
为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．21
【变式5-3】（2023·四川成都·模拟预测）已知定义在R上的奇函数y=f(x)，对于∀x∈R都有
f(1+x)=f(1−x)，当−1≤x<0时，f(x)=log (−x)，则函数g(x)=f(x)−2在(0,8)内所有的零点之
2
和为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8【题型6 根据函数零点的分布求参数】
【例6】（2023上·山东青岛·高一校考阶段练习）已知函数f (x)=ax2−4x−1(a≠0)在区间(−1,1)内恰有
一个零点，则满足条件的所有实数a的集合是（ ）
A．(−3,0)∪(0,5) B．[−3,0)∪(0,5]
C．{−4}∪(−3,0)∪(0,5) D．{−4}∪[−3,0)∪(0,5]
【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=3ax−1−2a在区间(−1,1)上存在零点，则实数a的取
值范围是
(1 )
A．(−∞,−1)∪ ,+∞
5
(1 )
B． ,+∞
5
( 1)
C． −∞,− ∪(1,+∞)
5
( 1)
D． −∞,−
5
【变式6-2】（2023·云南·统考二模）设x ,x 是关于x的方程x2+(a−1)x+a+2=0的根．若
1 2
−10且a≠1，函数f (x)=log x−x.
a
[1 ]
(1)若a=e且x∈ ,e ，求函数f (x)的最值；
e
(2)若函数f (x)有两个零点，求实数a的取值范围.
【题型8 函数零点的大小与范围问题】
【例8】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 （
f (x)=min{x|x−2a|,x2−6ax+8a2+4} a>1
5
），其中min(p,q)=¿，若方程f (x)= 恰好有3个不同解x ，x ，x （x x
1 2 3 1 2 3 1 2 3
【变式8-1】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数f (x)=¿，若存在f(x )=f(x )=f(x )，且x ，x ，x
1 2 3 1 2 3
两两不相等，则x +x +x 的取值范围为（ ）
1 2 3
A．(−1,1) B．(−1,1] C．(0,1] D．[0,1]
1
【变式8-2】（2023·广西·模拟预测）已知函数f (x)=2ln(x+1)+ x2−2x+m有三个零点，m∈R.
2
(1)求m的取值范围；
(2)记三个零点为x ,x ,x ，且x 0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω
的取值范围是 ．
5．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若
a∈R f (x)=min{|x|−2,x2−ax+3a−5}
f (x)至少有3个零点，则实数a的取值范围为 .
6．（2021·北京·统考高考真题）已知函数f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论：
①若k=0，f(x)恰 有2个零点；
②存在负数k，使得f(x)恰有1个零点；
③存在负数k，使得f(x)恰有3个零点；
④存在正数k，使得f(x)恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
1
7．（2018·全国·高考真题）已知函数f (x)= x3 −a(x2+x+1)．
3
（1）若a=3，求f (x)的单调区间；
（2）证明：f (x)只有一个零点．
8．（2018·全国·高考真题）已知函数f (x)=ex −ax2．
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f (x)≥1；
（2）若f (x)在(0,+∞)只有一个零点，求a的值.
