高数公式整理_考研_数学_00.公式_25《公式定理》默写本_考研高数公式

考研数学王谱 2024 届考研 高数公式【填空】 1.两个重要极限 sinx （1） lim 1. x0 x 1 1 1 （2）lim(1 x)x e,lim(1 )x e,lim(1 )n e推广为： . x0 x x n n 2.四则运算法则 如果lim f  x  A,limg  x B 那么①lim f  x g  x    .   ②lim f  x g  x    .     f x ③lim   .   g x  1 若B  , A需要A 0  2  ④lim f  x gx  AB A0   若B  1 , 1 需要A 0  2 A  AB eBlnA,lnA需要A0   3.无穷小性质 有限个无穷小的代数和为 . 有限个无穷小的乘积为 . 无穷小乘以有界变量为 . -1-考研数学王谱 4.无穷小比较  x  若lim 0,则称 x 是比 x  阶无穷小，记为 . x x   x  若lim ,则称 x 是比 x  阶无穷小. x x   x  若lim c 0,则称 x 是与 x  阶无穷小. x x   x  若lim 1,则称 x 是 x  无穷小，记为 . x x   x  若lim c 0,则称 x 是 x 的 阶无穷小. x  x  k   当x0时，（x ?） sinx  arcsinx  tanx  arctanx  ln  1 x  cosx  ex   1 x   1  1 x 5.间断（只需讨论无定义点和分段函数分段点的极限） 设函数 f  x 在点x 的某去心邻域内有定义 0 （1）第一类间断点： f(x 0), f(x 0)均存在 0 0 ① f(x 0) f(x 0) 间断点 0 0 ② f(x 0) f(x 0) f(x ) 间断点 0 0 0 （2）第二类间断点： f(x 0), f(x 0)至少有一个不存在 0 0 ① f(x 0)和 f(x 0)“” 间断点 0 0 ② f(x 0)和 f(x 0)“振荡” 间断点 0 0 -2-考研数学王谱 6.渐近线 （1） lim f(x)  x  x 为一条 渐近线. xx 0 0 (xx0 ) (xx0 ) a y a为一条 渐近线. （2） lim f(x) x 转到（3） f(x) （3） lim k;lim  f(x)kx b y kxb 为一条 渐近线. x x x 7.求导公式  C    x   ax   ex   sinx    cosx    tanx    cotx    secx    cscx    log x    lnx   a  arcsinx    arccosx    arctanx    arccotx   求导法则 uu  x  ,v v  x 都可导  uv    Cu   （C 是常数）   uv     u    v 0  . v  -3-考研数学王谱 8.单调性与极值 （1）单调性与极值 ① f  x 在 a,b 上连续， a,b 内可导， f x 0， f  x  ； f x 0， f  x  . 0 ② f  x 在U  x 内有定义，xU  x ， 0 0 f  x  f  x  f  x 为 ； f  x  f  x  f  x  0 0 0 0 为 . 0 ③第一充分条件： f  x 在x 处连续，在U  x ,内可导 0 0 若x x ,x 时 f x 0，而x x ,x 时 f x 0， 0 0 0 0  f  x 为 . 0 若x x ,x 时 f x 0，而x x ,x 时 f x 0， 0 0 0 0  f  x 为 . 0 f x 不变号 f  x  . 0 ④第二充分条件： f x 0， f x 存在且 f x 0 0 0 0 f x 0  f  x 为 . 0 0 f x 0  f  x 为 . 0 0 ⑤必要条件： f  x 为一极值 或 0 . -4-考研数学王谱 9.凹凸点与拐点 ① f  x 在 a,b 上连续， a,b 内存在二阶导数， f x 0， f  x 的图形是 的； ②连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的 ； ③第一充分条件： f  x 在x 处连续，在U 0  x ,内二阶可导； 0 0 f x 在点 x , f  x 两侧   x , f  x 为曲线 y  f  x 的拐点. 0 0 0 0 ④第二充分条件： f x 0， f x 存在且 f x  0  x , f  x  是曲线 0 0 0 0 0 y  f  x 的拐点. ⑤必要条件：  x , f  x  是曲线 y  f  x 的拐点 或 . 0 0 10.切线与法线 曲线 f  x 在点 x , f  x 处的切线方程： . 0 0 曲线 f  x 在点 x , f  x 处的法线方程： . 0 0 11.不定积分基本公式 （1）kdx (k 是常数） （2）xdx  1 （3） dx x （4）①axdx ②exdx （5）①sinxdx ②cosxdx ③tanxdx  ④cotxdx  ⑤secxdx  ⑥cscxdx  ⑦sec2 xdx ⑧csc2 xdx ⑨secxtanxdx  ⑩cscxcot xdx  -5-公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取考研数学王谱 1 1 （6）① dx  ② dx a2  x2 x2 a2 1 1 ③ dx  ④ dx  a2 x2 a2  x2 1 ⑤ dx  x2 a2 12.不定积分计算 第一类换元法（凑微分）： 若 f  u  duF  u C,且函数 x 可导，则 (1) (2)  f  x  x  dx     (3) (4)   第二类换元法： 若 t 可导且 t 0，若 f  t  t  dt F  t C   1 2 3 则 f  x  dx    xt 其中t 1 x 是x  t 的反函数. 分部积分法：若函数u  x  ,v  x  均可导，则udv  . 13.定积分存在条件 （1）充分条件：① f  x 在 a,b 上 ， 则 f  x 在 a,b 上 . ② f  x 在 a,b 上 ， 且只有有限个 ， 则 f  x 在 a,b  . ③ f  x 在 a,b 上 ，则 f  x 在 a,b 上 . （2）必要条件： f  x 在 a,b 上 ，则 f  x 在 a,b 上 . -6-考研数学王谱 14.定积分计算 N L公式：如果函数F  x 是连续函数 f  x 在区间 a,b 上的一个原函数，则  b f  x  dx  . a 15.变限积分 S  x   F  x   ；F  x   ； 1 2 F  x   . 16.变限积分计算  求导公式：（1）  x f  t  dt   .  a   （2）    2 f  t  d t   .    1 （3）   x g  x  f  t  dt     .    a  17.反常积分判敛  （1）计算判敛：  f  x  dx F  x     a a  不   b f  x  dx F  x b    “a”为瑕点 a a  不  1  p1 1 1  p1 （2）比较判敛： dx  ； dx  1 xp  p1 0 xp  p1 18.平面图形面积 公式法 1直角坐标系下：S  2参数方程下：S   3极坐标系下：S  -7-考研数学王谱 19.旋转体体积 公式法 1绕x轴旋转：V  x 2绕 y轴旋转：V  y 20.平面曲线弧长（数一、数二） ds ①直角坐标系下：s ②极坐标系下：s  x  t  ③参数方程下：s （其中  , t ）  y  t  21.旋转体侧面积（数一、数二） S  22.函数平均值 y  23.已知平行截面面积的立体体积（数一、数二） V  dy 24.可分离变量方程   dx dy 25.齐次方程  dx 26.一阶线性方程 dy 27.伯努利方程（数一）  p  x  y  dx -8-考研数学王谱 28.全微分方程（数一） P Q P  x,y  dxQ  x,y  dy 0      y x  29.可降阶方程（数一、数二） （1）不显含 y： （2）不显含x： 30.二阶常系数线性齐次方程 其特征方程 2  pq 0 ① p24q0,  ，通解 y  1 2 ② p24q0, ，通解 y 1 2 ③ p24q0,   1,2 通 y ex C cosxC sinx  1 2 31.二阶常系数线性非齐次方程 32.欧拉方程（数一） 33.差分方程（数二） 34.介值定理 ①当 f  a  f  b 或 f  b  f  a 时，则在 a,b 内至少存在一点， 使得 . ②当m  M 时，则在 a,b 内至少存在一点，使得 . -9-考研数学王谱 35.零点定理 当 f  a  f  b 0时，则在 a,b 内至少存在一点，使得 . 36.费马定理 设 f  x 在x  x 处可导且取极值，则 . 0 37.罗尔定理 设 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，又 f  a  f  b ，则在 a,b 内至少存在一点， 使 . 38.拉格朗日中值定理 设 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，则在 a,b 内至少存在一点， 使得 或 . 39.柯西中值定理 设 f  x  ,g  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导且g x 0，则在 a,b 内至少存在一点， 使得 . 40.泰勒公式 设 f  x 在 a,b 上n阶导数连续，在 a,b 内n1阶可导，则 f  x  . 41.积分中值定理 设 f  x 在 a,b 上连续，则在 a,b 内至少存在一点 使得 或 . -10-公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取考研数学王谱 42.积分中值定理加强版 设 f  x 在 a,b 上连续，则在 a,b 内至少存在一点，使得 . 43.多元函数极值  ①z  f  x,y 在U  P 内有定义，PU  P  0 0 f  x, y  f  x , y  f  x , y 为 0 0 0 0 f  x, y  f  x , y  f  x , y 为 0 0 0 0 ②充分条件 z  f  x,y 在点 x , y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 0 0 且 f x ,y 0, f x ,y 0, 令 f  x ,y  A, f  x ,y  B, f  x ,y C x 0 0 y 0 0 xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0 若AC B2 0，A0 f  x ,y 为 ；A0  f  x , y 为 0 0 0 0 若AC B2 0 f  x , y 为 . 0 0 若AC B2  0  f  x , y 为 . 0 0 44.全微分形式不变性 z  f  u,v 、u x,y 、v  x,y 具有连续偏导数，则 dz         -11-考研数学王谱 45.隐函数求导公式 （1）F  x,y 具有连续偏导数，F  x ,y 0,F x ,y 0，则 0 0 y 0 0 F  x,y 0能唯一确定一个 且具有 的函数 y  f  x ，它满足条件 y  f  x ，且 . 0 0 （2）F  x,y,z 具有连续偏导数，F  x ,y ,z 0,F x ,y ,z 0，则 0 0 0 z 0 0 0 F  x,y,z 0在点 x ,y ,z 能唯一确定一个连续且具有连续偏 0 0 0 导数的函数z  f  x,y ，它满足条件z  f  x ,y ， 0 0 0 z z 且  ,  x y （3）F  x,y,u,v  ,G  x,y,u,v 具有连续偏导数，F  x ,y ,u ,v 0， 0 0 0 0 F F G  x ,y ,u ,v 0， J  u v 在点 x ,y ,u ,v 不等于零， 0 0 0 0 G G 0 0 0 0 u v  F  x,y,u,v 0 则  在点 x ,y ,u ,v 能唯一确定一组连续且  G  x,y,u,v 0 0 0 0 0 具有连续偏导数的函数uu  x,y  ,v v  x,y ， 它们满足条件u u  x ,y  ,v v  x ,y ，且 0 0 0 0 0 0 u v u v  ,  ,  ,  x x y y -12-考研数学王谱 46.二重积分定义  f  x,y  d max i D 47.二重积分对称性  0, f  x,y f  x, y   （1）若D关于x轴对称，则 f  x,y  dxdy  2 f  x, y  dxdy, f  x,y  f  x, y   D  D 1  0,   （2）若D关于 y轴对称，则 f  x,y  dxdy  2 ,   D  D 1 ② ①  0,   （3）若D关于原点对称，则 f  x,y  dxdy  2 ,   D  D 1 （4）若D关于 y  x 轴对称，则 f  x,y  dxdy   D ③ ④ -13-考研数学王谱 48.直角坐标系 A  x   2 x f  x, y  dy x 1 V    （1）先 y后x： f  x,y  d    x  y   x  ,a  x b  1 2 D (b) (a) X型 （积分次序决定需将区域看成什么类型） （2）先x后 y： f  x,y  d    y  x   y  ,c  y d  1 2 D (a) (b) Y型 -14-考研数学王谱 49.极坐标系  f  rcos,rsin rdrd D  f  rcos,rsin rdrd D 50.二重积分应用（数一） （1）曲面的面积 A （2）质心 x  ,y  （3）转动惯量 I  ,I  x y 51.级数性质   （1）设k 为常数且k 0，则级数ku 与u 有相同的敛散性， n n n1 n1  即u   . n n1    （2）设u  s, v ，则 u v  . n n n n n1 n1 n1   （3）设级数 u ，去掉、加上或改变有限项不影响其 ， n n1 收敛时，其 可能改变.   （4）若级数 u 收敛，则对其各项任意加括号所得新级数仍 n n1 收敛于原级数的 .  （5）若级数  u 收敛，则limu  . n n n n1 -15-考研数学王谱 52.正项级数判敛  （1）收敛充要条件：正项级数u  u 0 收敛 S  . n n n n1 （2）比较判别法： ①比较判别的一般形式   设u 0，v 0且u v ，若v 收敛，则u ； n n n n n n n1 n1   若u 发散，则v . n n n1 n1 ②比较判别的极限形式 u 设u  0,v  0，且lim n  A，则 n n n v n     (Ⅰ)0 A时， u 与 v 同 ； n n n1 n1   (Ⅱ)A0时，若 v 收敛，则  u ； n n n1 n1     (Ⅲ)A时，若 u 收敛，则 v . n n n1 n1 1 u  （3）比值判别法：设u 0，lim n1 1 . n n u  n  1 1  （4）根值判别法：设u 0，limn u n 1 . n n   1 （5）积分判别法：若函数 f  x 连续非负且 ，则    f  n 与 f  x  dx 具有 . N nN -16-考研数学王谱 （6）重要级数    q 1  1   p 1 ①  aqn1 ②  n1  q 1 n1 np  p1  1   p 1 ③ 1 n1  n1 np  0 p 1  1   1或1,1  ④  n2 nlnn 其他 53.正项级数敛散性判别程序：   0 （1）limu  n n  0 (2) 含有n!或关于n的若干个因子的 ,用     若1转到(3) （2）u   含有以n为 的因子,用 ,  n  1  同时含有 和lnn,用  n （3）比较判别法的一般形式或极限形式 （4）回归收敛定义 54.莱布尼茨判别法  若交错级数1 n1 u  u 0 满足 n n n1 （1）  n1,2,3, ； （2）limu 0，则级数收敛，且其和su ，其余项r 的绝对值 . n n 1 n （帮助记忆：莱布尼茨在1713年10月25日给约翰伯努利的信中提到该定理） -17-考研数学王谱 55.任意项级数判敛方法 加绝对值转换成正项级数，用正项级数判别程序判别：   若 u 收敛，则u . n n n1 n1    若u 收敛，而 u ，则u . n n n n1 n1 n1 56.幂级数 各项都是幂函数的函数项级数，形如  a  xx n a a  xx a  xx 2a  xx n  n 0 0 1 0 2 0 n 0 n0  当x 0时，a xn  . 0 n n0 57.收敛域 所有 的集合. 58.阿贝尔定理  当幂级数a xn在x  x  x  0 处 时，对于满足 x  x 的一切x， n 0 0 0 n0 幂级数 ；  当幂级数a xn在x  x  x  0 处 时，对于满足 x  x 的一切x， n 0 0 0 n0 幂级数 . -18-考研数学王谱 59.收敛域求法（收敛域=收敛区间+收敛端点） （1）加绝对：将通项加 变为 ，  u  x  . n n1 （2）用比根：用 或   u x 计算出收敛区间lim n1  ,   x    n u x n 令 x 1收敛区间为 a,b ，收敛半径 . （3）代点算：单独验证级数在端点处的 ，得出收敛域  令x a，u  x  ； n n1  令x b，u  x  . n n1  判敛u  x 的收敛域为 , , , n n1 60.幂级数运算性质  （1）幂级数a xn的和函数s  x 在其收敛域 上 . n n0  （2）幂级数a xn的和函数s  x 在其收敛域 上 . n n0 且 x s  x  dx    . 0 积分后幂级数收敛 ，收敛域 或 .  （3）幂级数a xn的和函数s  x 在其收敛区间R,R 内可导 n n0  且s x      a xn      a xn    na xn1 x  R  n n n   n0 n0 n1 求导后幂级数收敛 ，收敛域 或 . -19-考研数学王谱 61.幂级数展开求和 1  （1） xn  , 1 x 1  1 x n0 1  （2） 1 n xn  , 1 x1  1 x n0 （3）ln  1 x   , 1 x1   x2n1 （4）sinx 1 n  ,  x    2n1  ! n0  x2n （5）cosx 1 n  ,  x     2n ! n0  xn （6）ex   ,  x  n! n0 （7） 1 x   ，1 x1  在端点处的 依的不同而异. -20-公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取