文档内容
平行线分线段成比例定理
教学目的：
1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；
2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；
3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。
教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。
教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。
教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。
教学过程：
（一）旧知识的复习
利用投影仪提出下列各题使学生解答。
1．求出下列各式中的x：y。
2
（1）3x=5y； （2）x= y； （3）3：2=：； （4）3：=5：。
3
7 z x y z
2．已知 ,求 。 3．已知 ,求 。
2 2 3 4 2x3yz
其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2
人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。
（二）新知识的教学
1．提出问题，使学生思考。
在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？
而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点
与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不
出，那么利用图1（若E是AB中点，EF//BC，交AC于F点，则
AE AF 1
AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出 ，并指出
EB FC 1
AE 1
此定理也可谓：如果E是△ABC的AB边上一点，且 ，
EB 1
AE AE 1
EF//BC交AC于F点，那么 。
EB FC 1
2．引导学生探索与讨论。
AE 1 AE 2
就着上述结论提出，在△ABC中，EF//BC这个条件不变，但 不等于 ，譬如 =
EB 1 EB 3
AF
时， 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑板
FC
上画出的相应图观察、明确。
而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明
确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比着平
行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行证明。
继而再问学生，是否还有包含线段的比是1：1的定理，
学生答出定理——过梯形一腰的中点与底平行的直线，平分
- 1 -另一腰后，画出相应的图（图2），并随即提出问题：
AE 2 DF
在梯形ABCD中，EF//BC的条件不变，但E不是AB的中点，仍如 = ，那么是否
EB 3 FC
2
也等于 ？
3
而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图3）。
就图3的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含EF的延
AE 2 AF
长线），也得到 = = （补足图3中的比例式）。
EB 3 FC
3．引出平行线分线段成比例定理并作补步证明，
首先引导学生就图1、图2回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题：
对于图3的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图3中梯
形的各线段，得出图4，并使观察、试述出：
三条平行线l1//l2//l3在直线k 、k 上截出线段 A A 、 A A 、B B 、B B ，如果
1 2 1 2 2 3 1 2 2 3
A A 2 B B 2 A A B B
1 2 = ，那么 1 2 = ，即 1 2 = 1 2 。
A A 3 B B 3 A A B B
2 3 2 3 2 3 2 3
继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。
A A m B B m
进一步提出： 1 2 = （m、n为自然数），那么怎样证明 1 2 = ？并使学生试证，
A A n B B n
2 3 2 3
并概括为：
三条平行线l1//l2//l3在直线k 、k 上截出线段 A A 、 A A 、B B 、B B ，那么
1 2 1 2 2 3 1 2 2 3
- 2 -A A B B
1 2 = 1 2 。
A A B B
2 3 2 3
A A B B
在此基础上，教师提出问题：由 1 2 = 1 2 ，利用比例的性质还可得到哪些比例式？（
A A B B
2 3 2 3
A A B B A A B B
2 3 = 2 3 ， 1 2 = 1 2 ，等）
A A B B A A B B
1 2 1 2 1 3 1 3
引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含
的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。
最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应
线段”的使用，并以正反之例予以明确。
（三）应用举例
例1（1）已知：如图5，l1//l2//l3，AB=3，DF=2，EF=4，求BC。
（2）已知：如图6，l1//l2//l3，AB=3，BC=5，DB=4.5，求BF。
（3）已知：如图7，l1//l2//l3，AB=3，BC=5，DF=10，求DE。
（4）已知：如图8，l1//l2//l3，AB=a，BC=b，DF=c，求EF。
其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其
口答。
例2．已知线段PQ，PQ上求一点D，使PD：DQ=4：1。
先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足，最
后使他们实践。
（四）小结
1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线等
分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是通过
转化为平行线等分线段定理来解决的。
2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对应
线段，否则就会产生错误。
（五）布置作业
补充（1）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PD：PQ=4：1；
（2）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PQ：DQ=4：1
- 3 -课题：平行线分线段成比例定理⑴
一、教学目的：
1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；
2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；
3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。
二、教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。
三、教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。
四、教学过程：
一、复习
1．求出下列各式中的x：y。
（1）3x=5y； （2）x=2/3y； （3）3：2=y：x； （4）3：x=5：y。
2．已知x:y=7:2，求x:(x+Y)
3．已知x:2=y:3=z:4，求（x+y+z）:(2x+3y-z)
二、新课学习
1．提出问题，使学生思考。
如果两条线段的比是1:1，则这两条线段什么关系？在前一章我们学过的定理中，
有没有包含两条线段的比是1：1的？
而后使学生试答(学生可能答出平行线等分线段定理，师可顺势下去进行教学），
如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那
么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E是AB中点，EF//BC，交AC于F点，
则AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出，并指出此定理也可谓：如果E是△ABC
的AB边上一点,且EF//BC交AC于F点，如果AE:EB=1:1，那么AE:EB=AF:FC=1:1。
2．引导学生探索与讨论。
就着上述结论提出，在△ABC中，EF//BC这个条件不变，但AE:EB不等于1:1，譬
如AE:EB=2:3时，AF:FC应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜
想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。
而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。
继而再问学生，是否还有包含线段的比是1：1的定理，学生答出定理——过梯形
一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图2），并随即提出
- 4 -问题：
如果E不是AB的中点，如AE:EB=2:3，那么AE:EB=?（让生填空）
进一步问，如果AE：EB＝m:n，结论成立吗？如何说明？
引导学生得出AE:EB=AF:FC之后，提问
3、得出平行线分线段成比例定理
强调对应线段：
问AE:CF=AF:EB成立吗？
4、例1讲解（略)
变式：
已知：如图6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求BF。
已知：如图7,AB=3,BC=5,DF=10，求DE。
已知：如图8,AB=a，,BC=b，DF=c，求EF。
5、例2讲解：(略）
分析：已知是给出了"上：下"的比的形式，而结论是求"上：全"，故考虑运用合
- 5 -比性质。
三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证明，
平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；
2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段的
第一个端点来定左、右
四、作业
平行线分线段成比例定理
目的与要求：
1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。
2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别，理解其实
用价值。
重点与难点：
重点：三角形一边的平行线的性质定理及其应用
难点：体会该定理特殊使用价值，区分两个类似定理。
主要教法：综合比较法
一、复习引入：
1、 平行线分线段成比例定理及推论
AD AE DE
2、 △ABC 中，若 DE∥BC，则 ,它们的值与 相等吗？为什
AB AC BC
么？
二、新课：
例1：已知：如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E
AD AE DE
求证：
AB AC BC
DE AD AE
分析： 中的 DE 不是△ABC 的边 BC 上，但从比例 ,可
BC AB AC
以看出，除 DE 外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我们只要将 DE 移
- 6 -AD CF
到 BC 边上去得 CF=DE然，后再证明 就可以了这，只要过 D 作 DF∥AC
AB BC
交 BC 于 F，CF 就是平移 DE 后所得的线段。
结论：平行于三角形的一边，并且和其
他两边相交的直线。所截得的三角形的三边
与原三角形的三边对应成比例。
例2：已知：△ABC中，E、G、D、F分别是边AB、CB上的一点，且GF∥ED∥AC，EF∥AD
BG BD
求证： .
BE BC
例 3、已知：△ABC 中，AD 为 BC 边上的中
线，过 C 任作一直线交 AD 于 E，交 AB 于 F。
AE 2AF
求证：
ED FB
例 4：如图，已知：D 为 BC 的中点，AG∥BC，求
EG AF
证：
ED FC
AG
（DC=BD）
DC
例 5：已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC，
AB BD
求证： ，过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延
AC DC
长线于 E.
例6：△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD交AD 于 E，交 AB 于 M，
BD AB
求证：
DC AM
- 7 -BD
MF
再证：△MEF≌△CED
（由三线合一：ME=EC）
三、练习：
四、小结：
1、今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形，可得这两
个三角形的三对对应边成比例，特别注意与平行线分线段成比例定
理的区别。
2、 如果平行于三角形一边的直线，与三角形两边的延长线相交也
可以用这个定理。
五、作业
六、弹性练习：
1、已知：如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2
BD=3.6
求 CD 的长。
过 E 作 EH⊥CD 于 H，交 AB 于 G
2、已知：如图，四边形 AEDF 为菱形，AB=12，
BC=10，AC=8，
求：BD、DC 及 AF 的长。
24
6 4
5
3、 已知：如图，B 在 AC 上，D 在 BE 上，且 AB:BC=2:1，ED:DB=2:1
- 8 -求 AD:DF
过D作DG∥AC交FC于G（还可过B作EC 的平行线）
DG ED 2 2
DG BC
BC EB 3 3
1 2
2BC= AC DG AC
3 9
DF DG 2 2
DF AF
AF AC 9 9
7
从而 AD= AF 故 AD:DF=7:2
9
4、 △ABC 中，DE∥BC，F 是 BC 上一点。
AF 交 DE 于点 G，AD:BD=2:1,BC=8.4cm
求(1)DE 的长
AG S
(2) (3) ABC
AF S
ADE
平行线分线段成比例定理
教学目标
1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.
2.能初步应用定理及推论进行解题.
教学重点 定理及推论的内容及应用.
教学难点 定理结论的推理过程.
教学过程
一、复习提问：
1. 什么是平行线等分线段定理？
- 9 -2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且AB=BC,则 的比值是多少？
二、新课讲解：
1.平行线分线段成比例定理
从图（1）可知，当AD∥BE∥CF,且AB=BC时，则DE=EF,也就是 = =1
接着象教材一样，说明 = 时，也有 = .
要向学生解释：这只是说明，并不是证明，严格的证明要用到我们还未学到
的知识，因此就不证明了.然后再强调：事实上，对于是任何实数，当
AD∥BE∥CF时，都可得到 = .
接着应用比例的性质。举例得到： = ， = ， = ，
= ， = .
从而得到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成
比例.
注意：（1）同一个比中的两条线段在同一条直线上.
（2）强调对应的意义，并说明上述6个比例式中的任何一个都可推导出其他5
个来.
（3）用形象化的语言描述如下： = ， = ， = ，
= ， = .
（4）上述结论也适合下列情况的图形：
- 10 -图（2） 图（3） 图（4） 图（5）
2.定理的应用
（1） 课本例1
已知：如图，l ∥l ∥l ,AB=3,DE=2,EF=4.求BC.
1 2 3
练习一
(1)如图（6）如果AE:EB=AF:FC,那么EF与BC的关系是
若AE:EB=AF:FC=EF:FD 则四边形EBCD是 形。
（2）如图（7），若DE∥BC,AB=7,AD=3,AE=2.25,则EC= .若AD=3,DB=7,AC=8,
则EC= .若AD:DB=2:3,EC-AE=2,则AE= ,EC= .
（3）如图（8），DE∥AB,那么AD:DC= ,BC:CE= 。
（4）如图（9），在梯形ABCD中，AD∥BC,E是AB上一点，EF∥BC交CD于F，
若AE=2,CD=7,则FC= ,DF= .
(2)课本例2。
说明：这类问题事实上是数形结合问题，看图证题，同时要利用比例的基本性质。
练习二
1，已知，如图（10），D,E,F分别在△ABC的边AB,AC,BC上，且FCED是平行四
边形，若BD=7.2,BF=6,AC=8
