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2．1．1矩阵的概念 1．坐标平面上的点（向量）——矩阵 → → [2] 设O(0, 0)，P(2, 3)，则向量OP  (2, 3)，将OP的坐标排成一列，并简记为 3 y P(2, 3) 3 2 2 3 3 O 2 x 2．日常生活——矩阵 （1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下： 初赛 复赛 [80 90] 甲 80 90 86 88 乙 86 88 （2）某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30 英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示： A B C D E 28英寸 1 3 0 1 2 30英寸 5 8 6 1 2 32英寸 2 3 5 6 0 34英寸 0 1 1 0 3 3．图——矩阵 A A B C D A 0 1 1 0 0 1 1 0 C B 1 0 1 0 1 0 1 0 C 1 1 0 1 1 1 0 1 B D D 0 0 1 0 0 0 1 0 A A B C C A 0 3 1 B 3 0 0 C 1 0 2 B 矩阵： 记号：A，B，C，…或（a ）(其中i,j分别元素a 所在的行和列) ij ij 要素：行——列——元素矩阵相等行列数目相等并且对应元素相等。 特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵 （2）零矩阵 （3）行矩阵：[a ,a ] 11 12 [a11] 列矩阵： ，一般用，等表示。 a21 （4）行向量与列向量 例1用矩阵表示三角形ABC，A（－1，0），B（0，2），C（2，0） 例2用矩阵表示下列关系图 A D C B 2.1.2 矩阵 的 乘 法 1．生活实例 （1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下： 初赛 复赛 [80 90] 甲 80 90 86 88 乙 86 88 如果规定歌唱比赛最后成绩由初赛和复赛综合裁定，其中初赛占40%，决赛占60%， 那么甲、乙的最后成绩可用如下矩阵的形式表示： [80 90] [0.4] [80  0.4  90  0.6] [ 86 ]   86 88 0.6 86  0.4  88  0.6 87.2 （2）某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英 寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式 表示 A B C D E 28英寸 1 3 0 1 2 30英寸 5 8 6 1 2 32英寸 2 3 5 6 0 34英寸 0 1 1 0 3 假设不同牌子的每条牛仔裤的平均利润分别为：A为30元，B为35元，C为40元，D 为25元，E为40元，试问28英寸牛仔裤在该星期内获得的总利润是多少？ 28英寸牛仔裤的销售量： A B C D E[1 3 0 1 2] 不同牌子的平均利润 30 35 40 25 40 M 1  30  3  35  0  40 1  25  2  40  240（元） 如果要求各种规格大小的牛仔裤的总利润，就自然地得出下列的矩阵乘法 1 3 0 1 2 30 240 28英寸牛仔裤的利润 5 8 6 1 2 35 775 30英寸牛仔裤的利润 2 3 5 6 0 40 ＝ 515 32英寸牛仔裤的利润 0 1 1 0 3 25 195 34英寸牛仔裤的利润 一般地： （1）行矩阵与列矩阵的乘法规则 （2）二阶矩阵与列向量的乘法规则 2．二阶矩阵乘列向量——几何意义 [1 0][x] [x] （1）  0 2 y 2y [1 0] [x] [x] 矩阵 平面上每个向量（点） 变成了向量（点） ，因此它是平面到平面的一个变 0 2 y 2y 换．这个变换实际上是把平面上的图形在y轴方向拉伸了两倍． 一般地： （1）平面变换的定义 （2）平面变换的记号 （3）平面变换的规则 2.2 平 面变 换 — —恒 等 变换 1．恒等变换 将图中所示的四边形ABCD保持位置不变，能否用矩阵M来表示？3 系列1 系列2 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 2．伸压变换——能否用矩阵来表示下列图形的变换？ 系列1 系列2 6 4 2 0 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -2 -4 -6 1.5 1 0.5 0 -12 -8 -4 0 4 8 12 -0.5 -1 -1.5 例1已知曲线y＝sinx经过变换T作用后变为新的曲线y＝sin2x，画出相关的图象，并求出 变换T对应的矩阵M。 [1 0] 例2 验证圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝ 对应的伸压变换下变为一椭圆，并求出此椭圆的 0 2 方程。 3．反射变换3 系列1 系列2 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 3 系列1 系列2 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 3 系列1 系列2 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -33 系列1 系列2 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4 [0 1] 例3 求直线y＝4x在矩阵 作用下变换所得的图形。 1 0 一般地：二阶非零矩阵对应的变换将直线变换为直线。 在矩阵M作用下，直线 ＋ 变成直线 M＋ M，通常称这种变换为线性变换。 1 2 1 2 4．旋转变换 4 系列1 系列2 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4例4 已知A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90º 后得到的图形，并求出其顶点的坐标。 5．投影变换 3 系列1 系列2 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -23 系列1 系列2 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4 6．切变变换 例5 已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形ABCD，试求变换对应的矩阵M。 3 系列1 系列2 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 例6 已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形ABCD，试求变换对应的矩阵M。8 系列1 系列2 7 6 5 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2.3.1矩阵的乘法 1 0  一、问题：已知△ABC，A（0，0），B（2，0），C（1，2），对它先作M＝   对应的 0 -1 1 0 变换，再作N＝   对应的变换， 0 2 （1）试研究两次变换后的结果。 （2）两次变换能否用一个变换矩阵表示。 二、二阶矩阵的乘法规则及几何意义 三、n次变换的表示方式——Mn 例1计算： 1 -1 1 0 ① A＝ ，B＝ 2 1  2 1 1 0 1 0 1 0 ②A=  ，B＝   ，C＝   0 0 0 1 0 2 解： 1 -1 1 0 11(-1)2 10(-1)1 -1 -1 ① AB= = = 21  21 2112 2011  4 1  1 0 1 -1 1102 1(1)01 1 -1 BA= = = 2 1 2 1  2112 2(1)11 4 -1-1 -1 1 -1 ∵ ≠ 结论：矩阵乘法不满足交换律。 4 1  4 -1 3、计算： 1 -1 1 0 1 0 ① X =（ ） 2 1  2 1 2 1 1 -1 1 0 1 0 ②X = （ ） 2 1  2 1 2 1 1 -1 1 0 1 0 -1 -1 1 0 -3 -1 解：①X =（ ） = = 2 1  2 1 2 1 4 1  2 1 6 1  1 -1 1 0 1 0 1 -1 1 0 -3 -1 ②X = （ ）= = 2 1  2 1 2 1 2 1  4 1 6 1  可以验证结论：矩阵乘法满足结合律。 4．已知△ABC，A（0，0），B（2，0），C（1，2），对它先作关于x轴的反射的变换，再将 图形绕原点顺时针旋转90º。 （1）求两次连续的变换对应的变换矩阵M；（2）求A，B，C在变换作用下所得到的结果。 1 x 1 1 5．若 3= ，试求x的值。 0 1 0 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 x 1 3x 1 1 解： 3= = = = 01 01 01 01 01  01 0 1  0 1 1 ∴3x=1 ∴ x = 3 cos -sin cos -sin 6．A＝   ，B＝   ，求AB，A2，A3，An sin cos sin cos 四、初等变换及初等变换矩阵 2.3.2矩阵乘法的简单性质 乘法的运算律： （1）交换律 例1已知正方形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）变换T 对应矩阵为M＝ 1 0 -1 1 0    ，变换T 2 对应矩阵为N＝   对应的变换，计算MN，NM，比较它们是否 1 0  0 0.5 相同，并从几何变换的角度解释。1.5 1 0.5 0 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.5 系列1 系列2 系列3 -1 1.5 1 0.5 0 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.5 系列1 系列2 系列3 -1 （2）结合律（AB）C＝A（BC） （3）消去律 1 0 1 0 1 0 例2 已知：A=  ，B＝   ，C＝   ，计算AB，AC。 0 0 0 1 0 2 2.4.1逆矩阵与逆变换 一、引入 例1 对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先T A 后T ）的结果与恒等变换的结果相同？ B （1）以x为反射轴的反射变换； （2）绕原点逆时针旋转60º作旋转变换； （3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换； （4）沿y轴方向，向x轴作投影变换； （5）纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x，y）（x＋2y，y） 二、逆变换与逆矩阵 若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。三、用几何变换的观点求解逆矩阵 1 0 1 0 0 -1 1 0  A=  ，B＝ 2  ，C＝   ，D＝   1 0  1 1 0  1 0 0 四、用代数方法求解逆矩阵 5 1 1 -1 A＝   B＝   7 3 2 -4 五、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵 若二阶矩阵A，B均可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1 1 0  0 -1 例4 （1）A＝   ，B＝   0 -1 1 0  1 1 1 0   （2）A＝  0 2   ，B＝  2   0 1  六、研究：二阶矩阵满足消去律的条件 反例：书P46习题2 2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组 一、消元法二求解元一次方程组 {)当ad－bc≠0时，方程组的解为{) 二、二阶行列式 a b 定义：det(A) ＝ ＝ad－bc c d 因此方程组的解为{) a b m b a m 记：D＝ ，D ＝ ，D ＝ ，所以，方程组的解为{) x y c d n d c n 例1 求下列行列式的值 1 3 1 -3 -1 0 a c ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2 2 4 2 4 2 4 b d 1 3 1 -3 解：⑴ =1×4-2×3=-2 ⑵ =1×4-2×（-3）=10 2 4 2 4 -1 0 a c ⑶ =-1×4-2×0=-4 ⑷2 =2（ad-bc） 2 4 b d con sin 例2 若x= （R） 试求f(x)=x2+2x-3 的最值。 sin con con sin 解：∵x= =con2-sin2=con2 ∴-1≤x≤1 sin con∵f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4 ∴当x=-1时f(x) 取得最小值 -4； 当x=1时f(x)取得最大值0 3x2y  4 例3 利用行列式求解二元一次方程组 3xy 7 3 -2 例4 利用行列式求解A＝ 的逆矩阵 3 1  应用： 3x2y  4 一、用逆矩阵方法求二元一次方程组 的解 3xy 7 3 -2 x 4 解：已知方程组可以写为： = 3 1  y 7 3 -2 3 -2 令M= 其行列式 =3×1-3×（-2）=9≠0 3 1  3 1 1 2 1 2 1 2  9 9   9 9  x 4  9 9  4 2 ∴M-1 = = ∴ = M-1 = = -3 3 -1 1 y 7 -1 1 7 1        9 9  3 3  3 3 x  2 即方程组的解为： y 1 二、用几何变换的观点讨论方程的解 （1）{) 1 0 2 （2）AX＝B，其中A＝   ，B＝   1 0 2 2.5特征值与特征向量 变换的不变量 （1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。 （2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。 引例：根据下列条件试判断M是否与共线： 3 0 x ⑴M= ，非零向量= 0 3 y -1 2 3  ⑵ M= ，非零向量= 2 3 -2 1 0   1 0 ⑶M＝  1  ，非零向量＝  0   ，  1    0 2 3 0 x 3x x 解：⑴ M= = =3 ，所以M与共线。 0 3 y 3y y -1 2 3  -7 -7 3  ⑵ M= = ，而 与 不共线。 即此时M与不共线。 2 3 -2 0  0  -2 ⑶M与共线。二、特征向量与特征值 设二阶矩阵A ，对于实数，存在一个非零向量，使得A＝，那么称为A的一个 特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量。 几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一直线上。＞0方向 不变；＜0方向相反；＝0，特征向量就被变换成零向量。 代数方法：特征多项式 例2 求初等变换矩阵的特征值与特征向量，并作出几何解释。 -1 2 例3 求矩阵M=5 的特征值和特征向量：  3 2  1 -2 5 解：矩阵M的特征值满足方程 5 =(+1)(-3)-(- )(-2)=2-2-8=0 - -3 2 2 解得，矩阵M的两个特征值 =4， =-2 1 2 x ⑴设属于特征值 =4的特征向量为 ，则它满足方程：( +1)x+(-2)y=0 1 y 1 2 即：(4+1)x+(-2)y=0 也就是 5x-2y=0 ,则可取 为属于特征值 =4的一个特征向量。   1 5 x ⑵设属于特征值 =-2的特征向量为 ，则它满足方程：( +1)x+(-2)y=0 1 y 2 -2 即：(-2+1)x+(-2)y=0 也就是x+2y=0 则可取 为属于特征值 =-2的一个特征向量。 1  2 -1 2 综上所述：M=5 有两个特征值 =4， =-2， 1 2  3 2  2 -2 属于 =4的一个特征向量为 ，属于 =-2的一个特征向量为 。 1  5   2 1  -1 2 1  例3 已知：矩阵M= ，向量 = 求M3 5  16  2 3 -1 2 1 -2 5  解：由上题可知 = , = 是矩阵M= 分别对应特征值 =4， =-2的两 1 5 2 1   2 3 1 2 1  1 -2 个特征向量，而 与 不共线。又= =3 + =3 + 1 2 16 5 1  1 2 1 -2 ∴M3= M3(3 + )=3 M3 + M3 =3 3 + 3 =3×43 +(-2)3× 1 2 1 2 1 1 2 2 5 1  1 -2 1921(-8)(-2) 208 =192× -8× = = 5 1  1925(-8)1  952 1 2 1 例4 已知M＝   ，＝   ，试计算M50 2 1 7 例5 自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。因此，它们和周边环境是一种既相生又相克 的生存关系。但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。现假设两个互相影响的种群X，Y 随时间段变化的数量分别为{a }，{b }，并有关系式{)，其中a ＝6，b ＝4，试分析20个时 n n 1 1 段后这两个种群的数量变化趋势。