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11.1.1 三角形的边
夯实基础篇
一、单选题：（每题3分，共18分）
1．下面是小明用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( )
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【解析】
【详解】
∵由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，
∴C符合三角形的概念.
故选C.
2．如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形按角分类的方法进行判断即可．
【详解】
观察图形可知：图中的三角形有两个锐角，且第三个角也小于90度，由此判定为锐角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．如图所示，∠BAC的对边是( ）A．BD B．DC C．BC D．AD
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形对边的定义可知：∠BAC的对边是BC．
【详解】
∠BAC的对边是BC．
故选C．
【点睛】
考查三角形中角的对边的概念，解题关键是熟记其概念．
4．如图，图中三角形的个数有 （ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
【答案】B
【解析】
【详解】
试题解析：以O为一个顶点的有 CBO、 CDO、 ABO、 ADO，不以O为顶点的三角形有 CAD、
CBA、 BCD、 BAD，共有8△个． △ △ △ △
△故选B. △ △
5．五条线段的长度分别为 ， ， ， ， ，以其中任意三条线段为边，可以构成
（ ）个三角形．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】利用两边之和大于第三边的原则来进行排列组合即可求解．
【详解】
∵1+5=6，1+6＜8，1+8＜13，
∴构成三角形的边中没有长度为1cm的线段，
∴在剩下的5cm，6cm，8cm，13cm中，构成三角形的组合有：5cm，6cm，8cm；6cm，8cm，13cm，共
计2种，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的构成条件的知识，注意：三角形的三边满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小
于第三边．
6．三角形的两边长分别为 和 ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系可得10−6<x<10+6，再解不等式可得答案．
【详解】
解：设三角形的第三边为xcm，由题意可得：
10−6<x<10+6，
即4<x<16，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于
第三边．
二、填空题：（每题3分，共12分）
7．图中∠AED分别为 __， ___中____，___边所对的角，在 AFD中，∠AFD是边___，_____组成的角．
△ △ △
【答案】 ADE ABE AD AB AF ED【解析】
【详解】
分析：根据三角形的有关概念解答即可.
详解：∠AED分别为△ADE，△ABE中AD，AB边所对的角，在△AFD中，∠AFD是边AF，ED组成的角．
故答案为ADE，ABE，AD， AB， AF， ED.
点睛：本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组
成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形
的内角.
8．一个三角形的三边长分别为x、8、2，那么x的取值范围是__________.
【答案】6＜x＜10
【解析】
【详解】
试题解析：∵三角形的三边长分别为2，8，x，
∴8-2＜x＜8+2，
即6＜x＜10．
9．若 ，则以 、 为边长的等腰三角形的周长为______．
【答案】17
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分情况讨论求解即可．
【详解】
∵ ，∴a－3=0，7－b =0，解得a=3，b=7
①若a=3是腰长，则底边为7，三角形的三边分别为3、3、7，
∵3+3＜7，∴3、3、7不能组成三角形。
②若b=7是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，周长=7+7+3=17.
∴以 、 为边长的等腰三角形的周长为17.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．
10．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，
最小值是___________．【答案】 19 15
【解析】
【分析】
记三角形的第三边为c，先根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而可得三角形第三边的最大值与
最小值，进一步即可求出答案．
【详解】
解：记三角形的第三边为c，则7－3＜c＜7+3，即4＜c＜10，
因为第三边长为奇数，
所以三角形第三边长的最大值是9，最小值是5，
所以三角形的周长最大值是3+7+9=19；最小值是3+7+5=15；
故答案为：19，15．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系与不等式组的整数解，属于基础题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关
键．
三、解答题：（每题10分，共30分）
11．已知， 的三边长为 ， ， ．
（1）求 的周长的取值范围；
（2）当 的周长为偶数时，求 ．
【答案】（1） 的周长 ；（2） ， 或 ．
【解析】
【分析】
（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值．
【详解】
解：（1） 的三边长分别为 ， ， ，
，即 ，
的周长 ，
即： 的周长 ；
（2） 的周长是偶数，由（1）结果得 的周长可以是 ， 或 ，
的值为 ， 或 ．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此
题的关键．
12.已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小.
（1）求x的取值范围；
（2）当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？
【答案】（1） ；（2） ，14.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三条边长x的取值范围．
（2）由（1）可知，当x=4时，三角形周长最大，据此求解即可.
【详解】
解：（1）∵6-4=2，6+4=10，并且第三条边长x最小，
∴
∴ ．
故答案为： ．
（2）当组成的三角形周长最大时，x取最大值，
即 ，
∴周长最大值是：6+4+4=14
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．
13.已知a，b，c是 的三边长，若 ， ，且 的周长不超过 ，求a范围．
【答案】3＜a≤4
【解析】
【分析】
根据三边关系以及题意得到关于a的不等式组，解不等式组得出a的取值．
【详解】
根据三角形三边关系和题意得 ，
∵ ， ，
∴解得3＜a≤4．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等
式解决问题．
能力提升篇
一、单选题：（每题3分，共15分）
1．三角形的两边长分别是4和11，第三边长为 ，则 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
已知两边的长，第三边应该大于任意两边的差，而小于任意两边的和，列不等式进行求解后再进行判断即
可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，得
11-4＜3+4m＜11+4，
解得1＜m＜3．
故选：A．
【点睛】
此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
2．如果a、b、c分别是三角形的三条边，那么化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系可得 ， ，从而得出 ， ，然后根据绝对值的
性质化简即可．
【详解】
解：∵a、b、c分别是三角形的三条边，∴ ， ，
∴ ， ，
∴
=
=
故选B．
【点睛】
此题考查的是三角形三边关系的应用和化简绝对值，掌握三角形的三边关系和绝对值的性质是解题关键．
3．已知 ， ， 为 的三边长 ， 满足 ，且 为方程 的解，则 的
周长为（ ）
A．6 B．7 C．6或2 D．7或11
【答案】B
【解析】
【分析】
利用绝对值和偶次方的非负性分别求出b、c的值，再讨论得出绝对值方程的解，通过三角形三边关系得出
正确的a的值，进而求出△ABC的周长．
【详解】
解：∵（b－2）2＋|c－3|＝0，
∴b－2＝0且c－3＝0，
∴b＝2、c＝3，
∵a为方程|x－4|＝2的解，
∴x＝2或x＝6，
又c－b＜a＜c＋b，即1＜a＜5，
∴a＝2，
则△ABC的周长为2＋2＋3＝7，
故选B．
【点睛】
本题主要考查绝对值和偶次方的非负性、三角形三边关系以及解绝对值的方程．绝对值和偶次方的非负性、
通过三角形三边关系得出a的值是解此类题关键．4．已知，关于x的不等式组 至少有三个整数解，且存在以 为边的三角形，则a的整数解
有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】
【分析】
依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得2＜a＜8，
进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个．
【详解】
解：
解不等式①，可得x＜2a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有三个整数解，
∴a＞ ，
又∵存在以3，a，5为边的三角形，
∴2＜a＜8，
∴a的取值范围是3＜a＜8，
∴a的整数解有4、5、6、7共4个，
故选：B．
【点睛】
此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：
同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
5．如图，已知P是 ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ）
△A．14 B．15 C．16 D．28
【答案】A
【解析】
【分析】
在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论.
【详解】
解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB，
同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC，
以上三式左右两边分别相加得到:
2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC,
即PA+ PB+ PC> (AB+ BC+ AC)，
∴PA+ PB+ PC> ×（12+10+6）=14，
即PA+ PB+ PC>14
故选A.
【点睛】
本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得
到正确的结论;
二、填空题：（每题3分，共9分）
6．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|＋|b﹣c＋a|﹣|c﹣a﹣b|＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据三角形的三边关系确定a﹣b﹣c<0，b﹣c＋a>0，c﹣a﹣b<0，然后去绝对值，化简即可求得．
【详解】
解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c<0，b﹣c＋a>0，c﹣a﹣b<0，
∴|a﹣b﹣c|＋|b﹣c＋a|﹣|c﹣a﹣b||
==
=
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了三角形三边关系与绝对值的性质．解此题的关键是要注意符号．
7．已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是 ， ，6n，则所有满足条件的n值的和为
________．
【答案】48
【解析】
【分析】
根据三角形三边之间的关系，可得关于 的不等式组，解不等式组即可.
【详解】
根据三角形三边之间的关系，
当 最大时，可得：
解得：
当 最大时，可得：
解得
∴
∵ 为整数
∴ 为
∴所有满足条件的n值的和为：
故填：48.
【点睛】
本题主要考查了三角形三边之间的关系、一元一次不等式组的应用，解题的关键是注意调整前后顺序，能
求出 的取值范围.8．若二元一次方程组 的解 、 的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形
的周长为7，则m的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程，求得m，根据构成三角形的条件判
断即可．
【详解】
①-②得：y=3-m
把y=3-m代入②，得x=3m-3
故方程组的解为
若x为腰，y为底，则2x+y=7
即2(3m-3)+3-m=7
解得：m=2
此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件
若y为腰，x为底，则2y+x=7
即2(3-m)+3m-3=7
解得：m=4
此时x=9，y=-1，不合题意
若x=y，即3m-3=3-m
解得：
此时腰为 ，底为
但 + <4，不符合构成三角形的条件
故不合题意所以满足条件的m为2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思
想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．
三、解答题：（每题12分，共24分）
9.已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
先根据三角形的三边关系定理可得 ，再化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．
【详解】
解：由题意得： ，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关
键．
10.如图，在 中，点D在AC上，点P在BD上，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据三角形三边关系判断即可；
【详解】
∵在 中， ，
在 中， ，
．
，
．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系的应用，准确理解是解题的关键.
思维拓展篇
1.若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足 （a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡
三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为 ，所以这个三角形为“不均衡三角
形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）
① ， ， ② ， ， ③ ， ， ④ ， ，
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为 ，16， （x为整数）求x的值．
【答案】（1）②；（2）10、12、13或14．
【解析】
【分析】
（1）根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系逐一判断即可得答案；
（2）分别讨论 >16> ，16> > ， > >16三种情况；利用“不均衡三角形”
的定义列不等式可求出x的取值范围，结合x为整数即可得答案．
【详解】
（1）①∵1+2<4，
∴不能组成三角形，不符合题意，
②∵18-13>13-9，
∴能组成“不均衡三角形”，符合题意，
③∵有两条相等的边，
∴不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，
④∵9-8<8-6，
∴不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，
故答案为：②（2）当 >16> ，即7<x<11时，
∵“不均衡三角形”三边分别为 ，16， ，
∴ ，
解得：x>9，
∴9<x<11，
∵x为整数，
∴x=10，
当16> > ，即x<7时，
∵“不均衡三角形”三边分别为 ，16， ，
∴ ，即 ，
∴此不等式组无解，
∴此种情况不存在，
当 > >16，即x>11时，
，
解得：x<15，
∴11<x<15，
∵x为整数，
∴x的值为12或13或14，
综上所述：x的值为10、12、13或14．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系及解一元一次不等式组，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于
第三边；根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系列出不等式组并灵活运用分类讨论的思想是解题
关键．
