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11.2.1 三角形内角和定理
夯实基础篇
一、单选题：
1．在 中， ，则 为（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即
可得出答案．
【详解】
∵
∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x
根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°
解得：x=30°
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
因此 ABC是直角三角形
故答△案选择B．
【点睛】
本题主要考查的是三角形的基本概念．
2．在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知
，此时营地A在C的( ) ．
A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上
C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上【答案】C
【解析】
【分析】
过点C作CH∥BE，CG∥AF，根据两直线平行，内错角相等，再根据三角形的内角和进行解答即可．
【详解】
解：过点C作CH∥BE，CG∥AF，
由题意点C在点B的北偏西20°方向，
∴∠CBE=20°，
∵CH∥BE，
∴∠HCB=∠CBE=20°，
∵∠ACB=70°，
∴∠ACH=70°-20°=50°，
∴点A在点C的南偏西50°方向．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是方向角的概念，从运动的角度，根据方位角的度数，再结合三角形的内角和与平行线的性质
求解是解答此题的关键．
3．如图，EF与 的边BC，AC相交，则 与 的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．大小关系取决于 的度数
【答案】C【解析】
【分析】
根据对顶角相等和三角形的内角和定理即可得结论．
【详解】
解：∵∠3=∠CEF,∠4=∠CFE
∴∠CEF+∠CFE+∠C=∠3+∠4+∠C=180°
又∵∠1+∠2+∠C=180°
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查对顶角的性质和三角形的内角和定理，掌握对顶角的性质和三角形的内角和定理是解题的关
键．
4．定理：三角形的内角和等于 ．
已知： 的三个内角为 ， ， ．
求证： ．
证法1 证法2
如图1，延长 到点 ，则
（三角形的一个外角
如图2，过点 作 ，∵ ，
等于和它不相邻的两个内角的和）．
（两直线平行，内错角相等），
∵ （平角的定
（两直线平行，内错角相等），
义），
又∵ （平角定义），
∴ （等量代
换）． ∴ （等量代换）．
下列说法正确的是（ ）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
【答案】D【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可．
【详解】
三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，
故A、B都不符合题意；
证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状，
故C不符合题意；D符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键．
5．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）
A．134° B．124° C．114° D．104°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；
【详解】
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE=34°
∵ED∥AC
∴∠CAE+∠DEA=180°
∴∠DEA=180°-34°=146°
∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°
∴∠BED=360°-146°-90°=124°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键．6．如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，利用角平分线的性质得 ，再根据 得
，所以 求解即可．
【详解】
解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵OB，OC平分 和 ，
∴ ，即 ，解之得： ，
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系
进行求解．
二、填空题：
7．已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝________．
【答案】48°##48度
【解析】
【分析】先根据三角形的内角和定理，可得180°+2∠C+∠C= 180°，据此求出∠C的度数，进而可求出∠B的度数．
【详解】
解：∵∠A= 108°，∠B= 2∠C，
∴108°十2∠C +∠C= 180°，
∴∠C=24°，
∴∠B=2∠C=2×24°=48°，
故答案为：48°
【点睛】
此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°，
并能求出每个内角的度数是多少．
8．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．
【答案】20°
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和为180°，结合所给的条件即可求解．
【详解】
解：根据题意，
联立方程组： ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和定理并灵活运用．
9．如图所示， ，则 ______°．
【答案】200
【解析】【分析】
根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答．
【详解】
如图，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴
故答案为200．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理．掌握三角形的三个内角的和为 是解题关键．
10．如图，在 中， 平分 ，DE AC，若 ， ，那么 __．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用平行线的性质
可求解．
【详解】
解：∵∠C＝75°，∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD ∠BAC＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD＝30°．
故答案为30°．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，求解∠CAD的度数．
11．如图， ，若 ， ， ，则∠AEC的度数为_____．
【答案】100°##100度
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和求出∠D，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】
在 ACD中，∠1＝37°，∠DAC＝89°，
∴△∠D＝180°−∠DAC−∠1＝54°，
∵AE∥CD，
∴∠BAE＝∠D＝54°，
∵∠DBC＋∠BAE＋∠AEB＝180°，∠DBC＝46°，
∴∠AEB＝180°−54°−46°＝80°，
∴∠AEC＝180°−∠AEB＝180°−80°＝100°，
故答案为：100°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，熟记三角形的内角和是180°及平行线的性质是解题的关键．
12．如图，点D是△ABC两条角平分线AP、CE的交点，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝
_____°．【答案】110
【解析】
【分析】
根据CE，AP分别平分∠ACB和∠BAC，得∠CAP＝ ∠BAC，∠ACE＝ ∠BCA，再根据三角形内角和
定理，求出∠ADC即可．
【详解】
解：∵CE，AP分别平分∠ACB和∠BAC，
∴∠ACE＝ ∠BCA，
∠CAP＝ ∠BAC，
∵∠BAC+∠BCA＝140°，
∴∠CAP+∠ACE＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠CAP+∠ACE）＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握了角平分线的性质是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O分别作OM AB，ON AC，交BC于
点M、N，∠BOC＝110°，则∠MON＝_______．
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】根据角平分线与平行线的性质得到∠2=∠3，∠5=∠6，再根据三角形内角和求出∠2+∠5=
=70°=∠6+∠3，故可利用∠MON=∠BOC-∠6-∠3求解．
【详解】
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠1=∠2，∠4=∠5，
∵OM AB，ON AC，
∴∠1=∠3，∠4=∠6
∴∠2=∠3，∠5=∠6
∵∠2+∠5=180°-∠BOC=70°=∠6+∠3
∴∠MON=∠BOC-∠6-∠3=110°-70°=40°
故答案为：40°．
【点睛】
此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知三角形内角和及平行线的性质．
三、解答题：
14．如图，在四边形 中， ， ， 平分 交 于点 ，交 的延长线
于点 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的大小．
【答案】(1)25°
(2)23°
【解析】【分析】
（1）先由平行线的性质求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，再根据解平分线的定义求解即可；
∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，再根据三角形内角和定理求出
（2）先由平行线的性质求出∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=23°，最后由对顶角性质得解．
(1)
解：∵ ，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，
∵ 平分
∴∠ABE= ∠ABC= =25°；
(2)
解：∵ ，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，
∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，
又由（1）知：∠ABE=25°，
∴∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-132°-25°=23°，
∴∠DEF=∠AEB=23°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质是解题
的关键．
15．如图，在 中， ，垂足为点 ， ， ，求 的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂直的定义和三角形内角和定理计算即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．
16．如图，在 中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE， ，过点E作
，垂足为F．
(1)试说明 ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)46°
【解析】
【分析】
（1）根据AD平分 ，结合 ，得出 ，最后内错角相等两直线平行，得出
即可；
（2）根据三角形内角和定理得出 ，根据平行线的性质，得出 ，根据垂直定义，
得出 ，最后根据三角形内角和得出 ．
(1)证明：∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
(2)
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行
线的判定与性质，是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重
合，则∠NCF的度数为（ ）.
A．22° B．21° C．20° D．19°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝
50°，即可求解．
【详解】
解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝20°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了图形的折叠的性质、三角形内角和定理、熟练掌握图形的折叠的性质、三角形内角和定理
是解题的关键．
2．如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意设 ，根据三角形内角和公式定理 ，进而表示出 ，进而根据三角形内
角和定理根据 即可求解
【详解】
解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，设 ，
∴
即
故选A【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
3．将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则
下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平
分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分
线的定义可判定OC平分∠AOB．
【详解】
解：∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，
即∠BOD=∠AOC，故②正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，
∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；
如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°，
则∠AOC=∠BOC=45°，故OC平分∠AOB，故④正确；
由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立，
故①不正确；
综上，②③④正确，共3个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解
答此题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F， ，
于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB= ∠A；
⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，
即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出 ，即可判断④⑤；根据现有条
件无法推出②．
【详解】
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD
∵ ，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；
∵∠A=90°，CG⊥EG， ，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GDC，故③正确；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴ ，
∴ ，
∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，
∴ ，故④正确；
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正确；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定
义是解题的关键．
二、填空题：
5．在△ABC中，已知AD是BC边上的高，∠BAD＝80°，∠CAD＝50°，则∠BAC＝___．
【答案】130°或30°##30°或130°
【解析】
【分析】
此题要分情况考虑：当AD在三角形的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD；当AD在三角形的外部时，
∠BAC=∠BAD-∠CAD．
【详解】
解：①如图1，当高AD在 ABC的内部时，
∠BAC=∠BAD+∠CAD=80△°+50°=130°；②如图2，当高AD在 ABC的外部时，
∠BAC=∠BAD-∠CAD△=80°-50°=30°，
综上所述，∠BAC的度数为130°或30°．
故答案为：130°或30°．
【点睛】
本题考查了三角形的高线以及三角形内角和定理，难点在于要分情况讨论．
6．如图，在 中，点 是 边上的一点， ， ，将 沿 折叠得到 ，
与 交于点 ，则 ______度．
【答案】
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得 ，根据三角形内角和定理可求出 ，即可得 的度
数．
【详解】
解：∵将 沿 折叠得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质以及三角形内角和定理，熟练运用折叠的性质是解本题的关键．7．如图，在 中， ， 与 的角平分线交于点 ， 与 的角平分线交于
点 ，依次类推， 与 的角平分线交于点 ，则 的度数是______．
【答案】60°##60度
【解析】
【分析】
根据题意易得 ，然后根据三角形内角和
，进而可得 ，最后问题可求解．
【详解】
解：∵ ， 与 的角平分线交于点 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 与 的角平分线交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，同理可得： ；
故答案为60°．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义及三角形内角和，熟练掌握角平分线的定义及三角形内角和是解题的关键．
三、解答题：
8．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A
＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，
， ，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）30°；（3） ，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，∠ABE=∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C=2∠E，再代入计算
即可求解；
（3）由 ， 可得∠ADE=2∠CDE，∠ABE=2∠CBE，结合（1）可得
∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．
【详解】
（1）证明：∵∴ ，
同理， ，
又∵ ，
∴ ；
（2）如图，
由（1）得， ；
同理， ， ，
∴
∵DE、BE分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）如图：由（2）得， ， ；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
∴ ， ；
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用将三角形的内角和定理解决问题是解题的
关键．
