文档内容
人教版初中数学八年级下册
17.1.3 勾股定理的作图及典型计算 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图是由边长为0.5m的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从
，则它所走的路程是（ ）
A．3m B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图形，运用勾股定理分别求出AB、BC的长，即可解答．
【详解】解：由图片可知：AB、BC均为长1宽0.5的矩形的对角线，
∴ ， ，
∴
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，涉及了正方形的性质等相关知识，精准识图、合理使用相关知识是本题的
解题关键．
2．如图所示， ，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据图示，可得：点A是以B为圆心，以 为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的
求法，求出a的值为多少即可．
【详解】解：由勾股定理得： ，
∴ ，
∴点A是以B为圆心，以 为半径的圆与数轴的交点，且在 左侧，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴和实数及勾股定理，能求出 的长是解此题的关键．
3．在 中， ， ， ．现将 按如图那样折叠，使点 落在 上的点
处，折痕为 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．
【答案】A
【分析】首先利用勾股定理求出 ，进一步可得 ，设 ，则 ， ，在
中，由勾股定理得， ，列出解方程求解即可得出答案．
【详解】解：在 中，由勾股定理得， ，
∵将 沿 折叠，点 与点 重合，
∴ ， ，
∴
设 ，
则 ， ，在 中，由勾股定理得， ，即
解得 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．如图，长方形 中， ， ，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为 ．则
的长为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】设 为x，则 为 ，在 由勾股定理有 ，即可求得 ．
【详解】解：由折叠的性质可知 ，
设 为x，则 为 ，
∵四边形 为长方形
∴ ，
∴在 中由勾股定理有
即
化简得
解得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三
角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
5．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， 都在格点上， 于点 ，
则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据面积相等的方法，即可求出答案 ．
【详解】解：由题意可得， 的面积是： ，
∵ 是 的高， ，
∴ ，
解得， ，
故选： ．
【点睛】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，
理解和掌握三角形的知识是解题的关键．
6．如图， 的顶点 ， ， 在边长为 的正方形网格的格点上，则 边长的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】解： ，
，
边长的高 ，
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，斜边长为 ，那么
解答．
7．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画
半圆，交数轴于点 和点 ，则点 表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理得出正方形对角线长，再利用数轴的性质得出 点表示的数．
【详解】解：∵以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，
，
∵以表示数 的点为圆心，
∴点 表示的数是： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴．正确掌握实数与数轴的关系是解题关键．
二、填空题：
8．小丽同学在学习了利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法后，进行如下操作：首先画数轴，原点为
，在数轴上找到表示数2的点 ，然后过点 作 ，且 ；再以 为圆心， 的长为半径
作弧，交数轴正半轴于点 ，如图，那么点 表示的数是 __．【答案】
【分析】由勾股定理求出 的长，再根据作图知 ，即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，
．
以点 为圆心， 为半径与正半轴交点 表示的数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，实数与数轴．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．如图，在 中， ，点A，B在数轴上对应的数分别为1， 长为半径画弧，交数轴
的负半轴于点D，则点D对应的数是_____．
【答案】 ##
【分析】先用沟勾股定理求出 ，进而即可得到答案．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵以A为圆心，以 为半径画弧，
∴ ，
∴点D表示的实数是 ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查勾股定理以及数轴上的点表示实数，掌握勾股定理是关键．
10．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点O，A，B，C在网格的交点（格
点）上，点 ，在第三象限内的格点上找一点D，使 与 全等，则点D的坐标为______．
【答案】
【分析】根据网格及勾股定理确定点D的位置，然后读出点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，
， ，AB=AB，
∴ ，
故点 ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，全等三角形的判定，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些
知识点是解题关键．
11．如图，在边长为1的小正方形网格中，点 ， ， ， 均在格点上， 为 上任意一点，则
的值为________．【答案】12
【分析】根据勾股定理表示出 ， ，代入 即可解得．
【详解】∵ ，
，
∴ ，
故答案为：12．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是用勾股定理表示出边长．
12．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 的三个顶点均在格点上，则 边
上的高为________．
【答案】
【分析】先求解 ，再利用勾股定理求解 ，再利用等面积法建立方程即可．
【详解】解：由题意可得： ， 上的高为2，
∴ ，
由勾股定理可得： ，设 上的高为 ，
∴ ，
∴ ，∴ 边上的高为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是网格三角形的面积的计算，等面积法的应用，勾股定理的应用，二次根式的除法应
用，熟练的求解网格三角形的面积是解本题的关键．
13．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长
为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_______________.
【答案】 ##
【分析】连接AD，根据半径相等，得出 ，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CD的
长．
【详解】连接AD，
∵以点A为圆心，AB长为半径作弧，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了在格点图中勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并作出正确的辅助线是本题的关键．
14．在 中， ， ， ， ， 分别是斜边 和直角边 上的点，把
沿着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ，如果点 和顶点A重合，则 的长为___________．【答案】
【分析】设 ，则 ，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可；
【详解】解：设 ，则 ，
由题意得 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
即 的长为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键．
15．如图，在长方形 中， ， ，将 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交
于点 ，则线段 的长为________．
【答案】
【分析】根据将 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，可得到 ，
从而得到 ，在 中，利用勾股定理即可解答．
【详解】∵在长方形 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∵将 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是灵活运用矩形的折叠结合勾股定理解答问题．
三、解答题：
16．作图：请在同一个数轴上用尺规作出 的对应的点．
【答案】见解析
【分析】在数轴上表示 的点上作垂线，然后以表示 的点为圆心，1为半径画弧交垂线于一点，然后连
接原点和这个点，进而再以原点为圆心，这段长为半径画弧，最后问题可求解．
【详解】解：如图，点A即为所求．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键．
17．在如图所示的 方格中，每个小方格的边长都为1．(1)在图中画出长度为 与 的线段，要求线段的端点在格点上．
(2)在图中画出一个三条边长分别为 ， ， 的三角形，使它的顶点都在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据长为4，宽为1的长方形的对角线长为 ，长为4，宽为1的长方形的对角线长为
，进行作图即可；
（2）可先画3的线段，根据勾股定理可得长为 的线段是长为2，宽为1的矩形的对角线， 是边长
为2的正方形的对角线，据此作图即可．
【详解】（1）解：线段 ， 即为所求，如图所示：
（2）解： 即为三条边长分别为 ， ， 的三角形．如图所示：
【点睛】本题主要考查了作图−应用于设计作图，无理数概念、勾股定理以及三角形有关知识的综合运用．
解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
18．如图，△ABC中， ， ， ， 为 上一点，连接 ，将 沿 折叠，
点C落在 边上的D点处，求 的长．【答案】 的长是3．
【分析】先利用勾股定理求出 的长，再利用折叠的性质得到角、边的大小，在 中，利用勾股
定理求解即可．
【详解】解：在 中，由勾股定理可知：
∴
由折叠的性质得： ， ，
设 ，则 ， ，
∴在 中，
∴
解得
∴ 的长是3．
【点睛】此题考查了勾股定理，翻折变换（折叠问题），解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
19．如图，在 中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把 沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
【答案】(1)16
(2)36
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）根据折叠的性质得出 ，设CD＝x，则 ，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵在 中， ， ， ，
∴ ，
故答案为：16；
（2）由折叠可知 ，
∵AC＝12，
∴
设CD＝x，则
在 中，
，
∴解得x＝6，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握运用勾股定理及折叠的性质是解
题关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，把长方形纸片 折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长 为8，宽 为4，则折
痕 的长度为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】过F点作 于H． 设 ，则 ．在 中，利用勾股定理可列出
关于x的等式，解出x为5，即可求出 ， ．又易证 ，从而可求
，最后再次利用勾股定理即可求出 的长．
【详解】解：如图，过F点作 于H，由折叠的性质可知 ， ．
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．正确作出辅助线构
造直角三角形是解题关键．
2．如图，在纸片 中， ，折叠纸片，使点 落在 的中点 处，折痕为 ，
则 的面积为（ ）A． B．10 C．11 D．
【答案】A
【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S DEF＝ ×（S ABC－S DEA－S DFC）可得结果．
△ △ △ △
【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G，
∵∠BAC＝120°，
∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，
∴AG＝ ，DG＝ ，
设AE＝x， 则BE＝12－x＝DE，
在Rt△DGE中， ，
即 ，
解得：x＝ ，
∴S ADE＝ DG×AE＝ ＝ ，
△
过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
∵ ，
∴AN＝ AB＝6，BN＝ ，
∴BC＝ ，
设DF＝y，则CF＝ ，
DH＝ ，CH＝ ，
则有 ，即 ，
解得： ，
则S DFC＝ ，
△
∴S DEF＝ ×（S ABC－S DEA－S DFC）
△ △ △ △
＝
＝
＝
故选A．
【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解
题关键．
3．如图，数轴上点 ， 分别对应实数1，2，过点 作 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交
于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交数轴于点 ，则点 对应的实数的平方是（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】先求出AC的长，然后确定点M对应的实数，最后求得结果．
【详解】如下图，连接AC∵A、B分别对应1、2
∴AB=BC=1
∵PQ⊥AB
∴在Rt△ABC中，AC=
∴AM=AC=
∴点M对应的点为：
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理和数轴上点表示的数，解题关键是确定点M在数轴上对应的数，然后求平方即
可．
二、填空题：
4．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出 ， ，…线段（如图所示）．”即： ，过A
作 且 ，根据勾股定理，得 ；再过 作 且 ，得 ；…以
此类推，得 ________．【答案】
【分析】利用勾股定理求出 ，观察 、 、 ，找出规律： ，进
而求出 ．
【详解】解：
……
∴
故答案为： ．
【点睛】本题为考查勾股定理和数字规律综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理以及找到数字规律是解题
关键．
5．如图，长方形 中， ， ，点E为射线 上一动点(不与D重合)，将 沿AE折
叠得到 ，连接 ，若 为直角三角形，则 ________【答案】 或 ## 或
【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时， 三点共线，根据
可求得 ，再由勾股定理可得 ，进而可计算
，在 中，由勾股定理计算 的值；②当点E在射线CD上时，设 ，则
， ，由勾股定理可解得 ，进而可计算 ，在 中，由勾股定理
计算 的值即可．
【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形， ， ，将 沿AE折叠得到 ，则
， ， ，
①如图1，当点E在线段CD上时，
∵ ，
∴ 三点共线，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴在 中， ；
②如图2，当点E在射线CD上时，∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴在 中， ．
综上所述，AE的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
三、解答题：
6．如图，长方形 在平面直角坐标系中， ， ，折叠长方形使得点 与点 重合，折痕
交 于点 、交 于点 ，点 的对应点为 ．(1)求点 的坐标；
(2)求折痕 的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，根据折叠得出 ，然后在 中根据勾股定理得出关于x的方程，
然后求解即可；
（2）过点 作 ，根据折叠和长方形的性质得出 ，根据等角对等边得出
，进而求出 ，最后在 中根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设 ，
∵ ， ，四边形 是长方形，
∴ ， ， ，
∵折叠，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：过点 作 ，∵长方形 ，
∴ ，
∴ ．
又∵折叠，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形等知识，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解
第（2）题的关键．
