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人教版初中数学八年级下册
18.1.1 平行四边形的性质（1） 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．在平行四边形 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．
【详解】解：如图：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．
2．如图，平行四边形 的周长为30， ，那么 的长度是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】A
【分析】由平行四边形的周长为30，可得 ，再结合条件 ，所以可求出
的值．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵平行四边形 的周长为30，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是 、 、 ，
则顶点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质作答．
【详解】 ，
又 ，
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是将平行四边形的性质与坐标系中点的坐标相结合．
4．如图，平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，AB＝AE，AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的
度数为（ ）A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】D
【分析】先求出∠B＝∠AEB＝∠BAE＝60°＝∠ADC＝∠DAE，由“SAS”可证△ADC≌△DAE，可求解．
【详解】解：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AB＝CD＝AE，∠B＝∠ADC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，
∵∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，
∴∠B＝∠AEB＝∠BAE＝60°＝∠ADC＝∠DAE，
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°，
∵ ，
∴∠ACD＝∠BAC＝85°，
在△ADC和△DAE中，
，
∴△ADC≌△DAE（SAS），
∴∠AED＝∠ACD＝85°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明三角形全等是
解题的关键．
5．已知，在 中， 的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则 的周长为（ ）．
A．11 B．22 C．20 D．20或22
【答案】D
【分析】 的平分线分 成 和 的两条线段，设 的平分线交BC于E点，有两种可能，
或 ，证明 是等腰三角形，分别求周长．【详解】解：设 的平分线交 于E点，
又 ，
．而 ．
当 时， ，
的周长 ；
当 时， ，
的周长 ．
所以 的周长为 或 ．
故选：D．
【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质： 平行四边形两组
对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形
的对角线互相平分．
6．如图，在 中， 平分 交 于点F， 平分 交 于点E，若 ， ，
则 的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，由角平分线可得 ，所以 ，
所以 ，同理可得 ，则根据 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ．∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
同理可得 ．
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握数学模型“角平分线
+平行线得到等腰三角形”．
7．如图，在 中，过点C作 ，垂足为E，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质，求得 ，利用三角形内角和的性质即可求解．
【详解】解：在 中，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选：A
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
二、填空题：
8．已知 的周长为12，若 ，则 的长为___．
【答案】4
【分析】利用平行四边形的性质得出对边相等，进而得出答案．
【详解】解： 的周长为12， ，， ，则 ，
解得： ，
则 ．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形对边相等得出是解题关键．
9．如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，连接 ，则 的周长
为_______．
【答案】
【分析】根据垂直平分线的性质可得， ，即可求解．
【详解】解：由平行四边形的性质可得： ，
由题意可得：点 在 的垂直平分线上
∴
的周长
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
10．如图，在平行四边形 中，点 是 边上一点，连接 、 ， 平分 ， 平分
，若 ， ，则平行四边形 的面积为______．
【答案】24
【分析】利用角平分线的定义结合平行四边形的性质得出 ，进而利用直角三角形的性
质求出答案．
【详解】解： 是 的平分线， 是 的平分线，
， ，，
，
，
， ，
，
平行四边形 的面积 ，（同底等高）
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质，得出 是解题关键．
11．如图，E是平行四边形 边 上一点，且 ，连接 ，并延长 与 的延长线交于点
F，如果 ，那么 的度数为___________ ．
【答案】50
【分析】利用平行四边形的性质，平行线的性质得出 ，由等腰三角形性质得出 ，
最后利用三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵AB=BE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中，∴ ．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和的定理，熟练
应用平行四边形的性质是解题关键．
12．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得到 ，点C与点E对应，BE交AD于F，若
，则 ______．
【答案】5
【分析】根据翻折变换的性质和平行线的性质得到 ，根据等腰三角形的判定得 ，
最后求出 的值．
【详解】解：∵四边形 是长方形， ，
∴ ，
∴ ，
∵将长方形 沿对角线 折叠，得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是折叠变换的性质和等腰三角形的判定，根据折叠变换的性质找出对应边、对应角是
解题的关键．
13．如图，在 中， ，点 是 上一点， ，连接 ，过点 作 ，交
的延长线于点 ，则 的长为_______．【答案】
【分析】通过证明 ，得到 ，即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握
相关基本性质．
14．如图，已知点 的坐标为 ， 点 在 轴上，把 沿 轴向右平移到 ，若四边形
的面积为6，则点 的坐标为__________．
【答案】
【分析】先根据平移的性质可得 ，再根据平行四边形的判定可得四边形 是平行四边
形，设点 的坐标为 ，则 ， ，然后根据平行四边形的面积公式可得 ，由此即可得．
【详解】解：由平移的性质得： ，
四边形 是平行四边形，设点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
， ，
又 四边形 的面积为6，
，即 ，
解得 ，
则点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、点坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题
关键．
三、解答题：
15．已知：如图，在 中，E是 上一点， ．求证： ， ．
【答案】证明见解析．
【分析】利用平行四边形的性质证明即可．
【详解】证明：∵ 为平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握平行四边形
的性质．
16．如图， 中，BD平分 交AC于点D， 交AB于点E， 交BC于点F．求
证： ．
【答案】见解析
【分析】先证明四边形 是平行四边形．再证明 ，进而即可得到结论．
【详解】∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ，
∵BD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是关键．
17．如图，在 中，点E是 边的中点，连接 并延长交 的延长线于点F，连接 ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： 平分 ；(3)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得 ，根据对顶角相等， ，再根据点
E是 边的中点，即可求证；
（2）通过证明 为等腰三角形，即可求证；
（3）由题意可得， 的面积等于 的面积，利用含 角直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：在 中， ，
∴ ，
∵点E是 边的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）可得 ，
∴ ，即 为 的中线， ，
又∵ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∴ ，即 平分 ；
（3）解：由（2）可得 平分 ；
又∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
由（1）可得 ，则 ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含 角
直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB于F，与DC的
延长线相交于点H，则△DEF的面积是（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】A
【分析】根据直角三角形中30°角的性质，得到BF=CH=1，根据勾股定理，得到EF= ，根据平行四边形
的性质，AB=CD=3，AB CD，从而得到DH⊥EF，根据面积公式计算即可．
【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，
所以AB=CD=3，BC=AD=2BE=2EC=4，AB CD，
因为EF⊥AB，
所以EF⊥CD，
所以∠BFE=∠CHE=90°，∠BEF=∠CEH，
所以 BEF≌△CEH，
所以△BF=CH，
因为AB=3，AD=4，∠ABC=60°，
所以∠BEF=30°，
所以BF=CH=1，根据勾股定理，得到EF= ，DH=DC+CH=4，所以△DEF的面积是 ，
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练
掌握平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
2．如图，在平行四边形 中， 于E， 于F， ，平行四边形 的
周长为60，则平行四边形 的面积是（ ）
A．36 B．48 C．63 D．75
【答案】C
【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设 为未知数，利用两种方法得到的平行四
边形的面积相等，可得 长，乘以3即为平行四边形的面积．
【详解】解： 平行四边形 的周长为60，
，
设 为x，
，
，解得： ，
的面积为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底 高．
3．如图，在平行四边形 中，E为 上一点，且 ， ， ， ，则
下列结论：① ；②平行四边形 周长是24；③ ；④ ；⑤E为
中点．正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】先证明 是等边三角形，可得 ，根据平行四边形的性质求出 ，
可得 ，即可求出 ，①正确；根据 ，求出
，计算即可得出②正确；根据 ， ，求出 可得③
正确；根据含 角的直角三角形的性质求出 ，利用勾股定理求出 ，可得④正确；根据
，可得⑤正确．
【详解】解：①∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵ ，
∴ ，∴平行四边形 的周长 ，故②正确；
③∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
④在 中，
∵ ， ，
∴ ，故④正确；
⑤∵ ，
∴E为 中点，故⑤正确；
综上所述：正确的结论有①②③④⑤，共5个，故D正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30度角的
直角三角形性质，勾股定理等，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．
二、填空题：
4．如图，平行四边形 中， 于点 ， 为线段 上一点且满足 ， ，连
并延长交 于点 ，则 的度数为 _____．
【答案】45°
【分析】连接 ，根据平行四边形的性质证明 ，可得 ， ，
然后证明 是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，在平行四边形 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决
本题的关键是得到 ．
5．如图，平行四边形 中， ， ，垂足分别是 、 ， ， ，，则平行四边形 的周长为______．
【答案】20
【分析】根据四边形的内角和为 ，求得 ；根据平行四边形的对边平行，可得 与 互补，即
可求得 ，在直角三角形 中求得 的长，同理求得 的长，继而求得平行四边形 的周
长；
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为＝ ，
故答案：20．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．还考查了直角三角形中30°角所
对的直角边是斜边的一半，正确求得∠B和∠DAF的度数是关键．
6．如图，在直线 上摆放着三个正三角形： 、 、 ，已知 ， 、 分别是
、 的中点， ， 设图中三个平行四边形的面积依次是 ， ， ，若
，则 ______ ．【答案】4
【分析】根据题意，可以证明 与 两个平行四边形的高相等，长是 的 倍， 与 的长相等，高是
的一半，这样就可以把 和 用 来表示，从而计算出 的值．
【详解】解：如图，设 与 交于 ， 与 交于 ，
∵ 、 、 都是正三角形，
∴ ，∠ACB=∠HGF=∠DEC= ，
∴ ， ，
∵ ， ，
， ，
∴∠PFC=∠PCF=∠ABC= ，∠QCG=∠QGC=∠ABC= ，∠NGE=∠NEG=∠ABC= ，
、 和 是正三角形，
、 分别是 、 的中点， ，
， ，
， ， ，
， ，，
，
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形
的边长与该边上的高的积．即 其中 可以是平行四边形的任何一边， 必须是 边与其对边的距离，
即对应的高，熟练掌握等边三角形的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
三、解答题：
7．平行四边形ABCD中，BG垂直于CD，且AB=BG=BE，AE交BG于点F．
(1)若AB=3，∠BAD=60°，求CE的长；
(2)求证：AD=BF+CG．
【答案】(1)CE=2 -3；
(2)见解析
【分析】（1）由“平行四边形的对角相等”推知∠C=∠BAD=60°，则通过30度的直角三角形的性质以及
勾股定理得到BC的长度，所以CE=BC-BE=BC-BG；
（2）如图，延长GB至点P，使BP=CG．构建全等三角形： ABP≌△BGC（SAS），由全等三角形的性
质和平行四边形的对边相等得到BC=AP=AD、∠1=∠2．然后△结合三角形外角的性质易证∠PAF=∠4，则
AP=PF．所以结合图形知PF=PB+BF=CG+BF，则AD=BF+CG．
【详解】（1）解：在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠C=60°．
∵BG垂直于CD，
∴∠BGC=90°，∠GBC=30°，
∴BC=2GC．
又∵AB=BG=BE=3， ，∴ ，
∴GC= ，
∴BC= ，
∴CE=BC-BE=BC-BG=2 -3；
（2）证明：如图，延长GB至点P，使BP=CG．
在 ABP与 BGC中，
△ △
，
∴△ABP≌△BGC（SAS），
∴BC=AP=AD，∠1=∠2．
∵∠4=∠2+∠3．
又∵AB=BE，
∴∠5=∠3，
∴∠1+∠5=∠2+∠3=∠4，即∠PAF=∠4，
∴AP=PF．
又∵PF=PB+BF=CG+BF，
∴AD=BF+CG．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．根据
全等三角形的性质和等腰三角形的判定推知AP=PF是解题的难点．
8．如图，平行四边形 中， ， ， 、 分别是 、 上的点，且 ，连
接 交 于 ．(1)求证： ；
(2)若 ，延长 交 的延长线于 ，当 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得．
（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A= ，因为EF⊥AB，得出∠G= ，所以△ODG与△DFG
都是等腰直角三角形，从而得出 ，然后等腰直角三角形的性质即可求得．
（1）
证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
∵
∴ ，
∴ ．
（2）
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握
平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
