文档内容
人教版初中数学八年级下册
18.1.2 平行四边形的性质（2） 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行 B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的两组对边分别相等
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质依次分析判断即可．
【详解】解：A．平行四边形两组对边分别平行，原说法正确，故该项不符合题意；
B．平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，故该项不符合题意；
C．平行四边形的对角相等，邻角互补，原说法不正确，故该项符合题意；
D．平行四边形的两组对边分别相等，原说法正确，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行且相等，平行四边形的对角相等，
邻角互补，平行四边形的对角线互相平分，熟记性质是解题的关键．
2．如图， 的周长为 ， 的周长为 ，则对角线 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为平行四边形对边相等，所以平行四边形的周长为相邻两边之和的 倍，即 ，
则 ，而 的周长 ，即可求出 的长．
【详解】∵ 的周长是 ，
∴
∴ ，
∵ 的周长是 ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结
合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．
3．如图， 的对角线 与 相交于点O， ．若 ， ，则 的长是
（ ）
A．10 B．8 C．12 D．14
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可得 ， ，根据勾股定理可求出 的长，从
而可得 的长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，属于基本题型，熟练掌握上述知识是关键．
4． 中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（ ）
A．3≤AB≤4 B．2＜AB＜14 C．1＜AB＜7 D．1≤AB≤7
【答案】C
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分和三角形的三边关系进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝ AC，BO＝ BD，
∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，
∴4﹣3＜AB＜4+3，
解得1＜AB＜7．
故选C．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系以及平行四边形的性质，关键是掌握“平行四边形的对角线互
相平分”的性质．
5．如图，O为 对角线 的交点， ，交边 于点E，连接 ．若 的周长
比 的周长大8，则 的长有可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得到 的长，再根据 ，即可
得出结论．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，O是 的中点，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的周长比 的周长大8，
∴ ，
即 ，∴ ，则 ，
又∵ 中， ，
∴ ，
观察四个选项， 的长可能为5，
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长等知识，解答本题的关键
是判断出 是线段 的垂直平分线．
6．如图，已知平行四边形 的面积为48，E为 的中点，连接 ，则 的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质得出O为 的中点，利用三角形中线将原三角形分成两个面积相等的三
角形求解即可．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
O为 、 的中点， ，
E为 的中点，
，
O为 的中点，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．
7．如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，
0），E（3，1），则点C的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得AE=CE，即点E是AC的中点，设C（a，b），利用中点坐标公式，进而
求解C点坐标．
【详解】解：设C（a，b），
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AE=CE，即点E是AC的中点，
∵A（4，0），E（3，1），
∴ =3， =1，
解得：a=2，b=2，
∴C（2，2）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，中点坐标，掌握平行四边形对角线相互平分的性质是解题的关
键．
二、填空题：
8．在平行四边形中一边长为 ，它的一条对角线的长 ，那么它的另一条对角线 的长度的取值范
围______．
【答案】
【分析】根据平行四边形性质推出 ， ，在 中，由三角形
三边关系定理得出 ，求出即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，在 中， ，由三角形三边关系定理得： ，
即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形三边关系定理，关键是把已知数和未知数设法放在一个三
角形中，题目比较好，难度适中．
9．如图，在 中，点O是对角线 的交点， 垂直于 ，且 ，则
______ ．
【答案】
【分析】先利用平行四边形的性质得到 cm， cm，然后在 中，利用勾股
定理求得 ．
【详解】∵四边形 是平行四边形， cm，
∴ cm， cm，
∵ 垂直于 ，
∴ ，
∴在 中， cm，
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．10．如图， 的对角线 ， 相交于 ，已知 ，且 的周长比 的周长大1，
则 的周长等于__________．
【答案】10
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△ADO的周长比△ABO的周长
大1，则AD比AB大1，所以可以求出AD，进而求出周长．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，AB=CD，AD=BC，
∵△ADO的周长比△ABO的周长大1，
∴AD﹣AB=1，
∵AB=2，
∴AD=3，
∴AB+AD=5，
∴平行四边形的周长为 ．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．
11．如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点 ， ，垂足为 ， ， ，
，则 的长为______．
【答案】
【分析】首先由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求出 的长
度．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ，， ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出 是直角三角形是解此题的关键．
12．如图，平行四边形ABCD中，对角线交于点O，直线MN经过点O，分别交AD，BC于点M，N，若
∠MDO＝∠MOD，BN＝2．则MN的长为________．
【答案】
【分析】先证明 ，得出 ， ，根据 ，得出
，再等量代换得到 ，根据 求出 的长即可．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ （对顶角相等），
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明 是解答本题
的关键．
13．如图， 中， ， ， ，对角线 ， 交于点O，过点O作 ，
则 等于______．
【答案】
【分析】过点C作 于F，先根据直角三角形的性质与勾股定理求出 ，然后利用 的面积
等于 面积的 ，从而得解．
【详解】解：过点C作 于F，如图所示，
，
， ，
，
，
，
，
，
；
故答案为： ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形与平行四边形的面积等知
识，熟练掌握平行四边形的性质、勾股定理和直角三角形性质是解决问题的关键．
14．如图，在平行四边形 中，对角线 的垂直平分线分别交 、 于点E、F，连接 ，若
的周长为6，则四边形 的周长为___________．
【答案】12
【分析】由平行四边形的性质得出 ， ，由线段垂直平分线的性质得出 ，得出
的周长 ，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 的垂直平分线交 于点E，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴四边形 的周长 ；
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边
形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
三、解答题：
15．在▱ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝
15°．求∠ABC的度数．【答案】
【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE＝ED，得出 ，求出 ，则可得
出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE⊥BD，
∴BE=ED，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到
线段两端点的距离相等是解题的关键．
16．如图，在 中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别
为点E，F，求证：AC，EF互相平分．
【答案】证明见解析
【分析】证出 ，得出OE＝OF即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°．
在△AEO和△CFO中，，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
AC，EF互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，证明△AEO≌△CFO是解题的关键．
17．已知：如图，在 中，过 的中点O的直线分别交 ， 的延长线于点E，F．
求证： ．
【答案】证明见解析．
【分析】证明 ，可得： ，再利用 ，即可证明 ．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定定理及性质，解题的关键是掌握平行四边形的性
质，全等三角形的判定定理及性质，证明 ．18．如图， 的对角线 和 相交于点 ， 过点 且与边 ， 分别相交于点 和点 .
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求四边形 的周长.
【答案】(1)见解析
(2)四边形 的周长为11
【分析】（1）由四边形 是平行四边形，可得 ， ，继而可证得
，则可证得结论；
（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 和 中 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形
结合思想的应用．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图， 的对角线 与 相交于点O， ，垂足为E． ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质求得OA=1，OB=2，再由勾股定理的逆定理判定出∠BAC=90°，然后由
勾股定理求得BC= ，然后利用平行四边形的面积公式 求解即可．
【详解】解：∵ ， AC=2，BD=4，
∴OA= AC=1，OB= BD=2，
∵AB= ，
∴ ， ，
∴ ，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴AE= ，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和面积，勾股定理及其逆定理，求得∠BAC=90°，即AB⊥AC是解题
的关键．
2．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，线段EF经过点O，AH⊥BC于点H．若AH=2，
BC=3，则图中▭阴影部分的面积为( ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4.5
【答案】A
【分析】证明 AEO≌△CFO即可得阴影部分面积等于 BCO的面积，即为平行四边形ABCD面积的 ．
△ △
【详解】解：在平行四边形ABCD中有：AD BC，AO=CO，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴阴影部分的面积与 BCO的面积相等，
△
∴ = =1.5；
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质是解
题关键．
3．如图， 过 对角线的交点 ，交 于点 ，交 于点 ，则：
① ；
②图中共有4对全等三角形；
③若 ， ，则 ；
④ ；
其中正确的结论有（ ）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ，证明 ，得出
，判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根据三角形三
边关系得出 的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；故①正确，
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有： ， ， ，
， ， 共6对，故②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ；
故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，平行四边形的性质，掌握平行四边形的
性质是解题的关键．
二、填空题：
4．如图， 的边 在 轴上，对角线 ， 相交于点 ，已知 点坐标为 ，点 的坐标为 ，则 的周长为______．
【答案】22
【分析】根据平行四边形的性质以及E（4.5，2），得出点B的坐标，再由勾股定理可得AB，进而解答即
可．
【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OE=EB，
∵E（4.5，2），
∴B（9，4），
过点B作BF⊥x轴于F，则OF=9，BF=4，
∵A（6，0），
∴OA=6，
∴AF=3，
∴ ，
∴平行四边形OABC的周长=2×（5+6）=22．
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形，中点坐标公式，熟练掌握平行四边
形的性质，勾股定理是解题的关键．
5．如图，在 中， ， ， ，点E在 上， ，点P是 边上的一动点，连接 ，则 的最小值是________．
【答案】
【分析】过点A作直线 的对称点F，连接 交 于点P，此时 有最小值，最小值为 的长，
过点E作直线 的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作直线 的对称点F，连接 ，连接 交 于点P，此时 有最小值，
最小值为 的长，
∵点A与点F关于直线 对称，
∴ ， ，则 ，
∴ 是等边三角形，
∵在 中， ，
∴ ，
过点E作直线 的垂线，垂足为点G，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股
定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
6．如图，在 中， 于 于 、 交于 的延长
▱
线交于 ，给出下列结论：① ；② ；③ ；④若 平分 ，则
；其中正确的结论有______ 填序号
【答案】①②③④
【分析】①由题意可知 是等腰直角三角形，故此可得到 ；②由
证明即可；③先证明 ，从而得到 ，然后由平行
四边形的性质可知 ；④连接 ，证 是等腰直角三角形， ，设 ，得
出 ，进而得出 ．
【详解】解： ，
，
，
，
，
由勾股定理得： ，
即 正确；，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
正确；
在 和 中，
，
，
，
，
正确；
连接 ，如图：
平分 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设 ，，
，
，④正确；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形
的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键
三、解答题：
7．如图所示， 的对角线 与 相交于点 ， ，垂足为点 ， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形；
（2）先利用勾股定理求出BC的长，再求出平行四边形ABCD的面积，即可求出AE的长．
（1）
证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ， ，
∴OA = AC = 1，OB = BD = 2．
又∵AB = ，
∴OA2 + AB2 = OB2，
∴△BAO为直角三角形，且∠BAO = 90°，
∴ ；（2）
解：∵△BAC为直角三角形，且∠BAC = 90°，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是
解此题的关键．
8．已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝AC，AB⊥AC．
(1)如图1，若 ，求AB的长；
(2)如图2，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交BD于点F，求证：OF＝CE＋OE．
【答案】(1)4
(2)见详解
【分析】（1）根据平行四边形的性质，设 则 ，由 即可
求解；
（2）过点C作CG//AF，交BD于点G，证 ，即可得OF=OG，再证 是等腰直角
三角形，即可求解；
(1)
解：在平行四边形ABCD中， ，
∵ ，∴ ，
设 则 ，
∵AB⊥AC，
∴ ，即 ，
解得： ；
∴
(2)
过点C作CG//AF，交BD于点G，
∴∠FAC=∠OCG，∠AFO=∠OGC，
∵OA=OC，
∴ ，
∴OF=OG，
∵AB⊥AC，AF⊥AE，
∴∠BAC=∠FAE=90°，
∴∠BAC-∠FAO=∠FAE-∠FAO，
∴∠BAF=∠CAE，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=∠CEF=90°，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=90°+∠AEF，
∵∠AFB是 的一个外角，
∴∠AFB=∠FAE+∠AEF=90°+∠AEF，
∴∠AEC=∠AFB，
∵AB=AC，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
∴∠AFE=∠CGO=45°，∴ 是等腰直角三角形，
∴CE=EG，
∵OG=OE+EG，
∴OF=OE+CE．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知
识并灵活应用是解题的关键．
