文档内容
23.2 中心对称
【考点1 中心对称图形】
【考点2中心对称的性质】
【考点3利用中心对称的性质-找对称中心】
【考点4 利用中心对称的性质-求边长长度】
【考点5 利用中心对称的性质-求点坐标】
【考点6 利用中心对称的性质-求面积】
【考点7 利用中心对称的性质-作图】
知识点1：中心对称（两个图形）
1.概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这个点对称或中心对称；
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一
点对称。
4.作图步骤：
(1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
(2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的
距离和对称点与对称中心的距离相等。
(3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形
5. 中心对称图形（一个图形）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么
这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
【考点1 中心对称图形】
【典例1】（2023秋•南沙区期末）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对
称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后
与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是
中心对称图形．
故选：A．
【变式1-1】（2023秋•蒙城县校级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、B、D中的图形不是中心对称图形，故A、B、D不符合题意；C中的图形是中心对称图形，故C符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（2023秋•清河区校级期末）四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒
种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；
故选：D．
【变式1-3】（2023秋•沙坪坝区校级期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称
图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．【考点2中心对称的性质】
【典例2】（2022秋•浦北县期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列
结论不成立的是（ ）
A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O
C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B'
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，
∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，AB＝A'B'，
∴A，B，C正确，
故选：D．
【变式2-1】（2023春•内江期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连结
AB，以下结论错误的是（ ）
A．AD＝CD B．∠C＝∠E
C．AE＝CB D．S△ADE ＝S△ADB
【答案】B
【解答】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，
∴AD＝CD，BD＝ED，AE＝CB，∠E＝∠CBD，
∵BD＝ED，
∴S△ABD ＝S△ADE ，
故选：B．
【变式2-2】（2023春•泉港区期末）如图，△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连结
AB、CD，以下结论错误的是（ ）A．OA＝OB B．△AOD≌△COB
C．AD＝BC D．S△ACD ＝S△BCD
【答案】A
【解答】解：∵△AOD与△BOC关于点O成中心对称，
∴△AOD≌△COB，故选项B正确；
∴AD＝BC，故选项C正确；
但不一定OA＝OB，故选项A不正确；
∵△AOD≌△COB，
∴S△AOD ＝S△BCO ，
∴S△AOD +S△COD ＝S△BCD +S△COD ，即S△ACD ＝S△BCD ，故选项D正确，
故选：A．
【变式2-3】（2023秋•安新县期中）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到
点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）△ADC和 △ EDB 成中心对称；
（2）已知△ADC的面积为4，则△ABE的面积是 8 ．
【答案】（1）△EDB；
（2）8．
【解答】解：（1）根据中心对称图形的性质可得；
△ADC和△EDB成中心对称，
故答案为：△EDB；
（2）由（1）得：△ADC和△EDB成中心对称，
∴线段BD是△ABC的中线，∴S△ABD ＝S△ACD ＝4，
∵D是△ABC边BC的中点，
∴S△ABE ＝2S△EDB ＝8，
故答案为：8．
【考点3利用中心对称的性质-找对称中心】
【典例3】（2023秋•张北县期中）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，
H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（ ）
A．点G B．点H C．点M D．点N
【答案】C
【解答】解：AD、CF、BE相交于点M，
∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，
故选：C．
【变式3-1】（2023春•渭南期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称
变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
【答案】B
【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）
对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，
所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，
故选：B．【变式3-2】（2023春•高碑店市期末）如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其
对称中心是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【解答】解：如图，连接BE、CF，发现其交于点M，
根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心．
故选C．
【考点4 利用中心对称的性质-求边长长度】
【典例4】（2023秋•仪陇县期中）如图，菱形 ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝
2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（
）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝ AC，OB＝ BD，
∵AC＝2，BD＝8，
∴OC＝1，OB＝4，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，
∴∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4，
∴AO′＝AC+O′C＝3，
∴AB′＝ ＝5．
故选：C．
【变式4-1】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝
90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴BB′＝2AB＝4．
故选：A．
【变式4-2】（2023秋•富县期末）如图，△ABC与△AB'C'关于点A对称，若∠C＝90°，
∠B＝30°，AC＝1，则BB'的长为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：如图，∵△ABC与△AB'C'关于点A对称，
∴△ABC≌△AB′C′，
∴AB＝AB′，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴BB′＝2AB＝4，
故答案为：4．
【变式4-3】（2023秋•前郭县期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知
∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，则AD的长为 2 ．
【答案】2 ．
【解答】解：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，
∴AO＝CO＝3，CD＝AB＝4，∠C＝∠BAO＝90°，
∴AD＝ ，
故答案为：2 ．
【考点5 利用中心对称的性质-求点坐标】
【典例5】（2023秋•青岛月考）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，
3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（ ）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
【答案】B
【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，
＝1， ＝0，
∴点P的坐标为（1，0）．
设点C（x，y），
∵A（3，3），
∴ ＝1， ＝0，
∴x＝﹣1，y＝﹣3．
∴C（﹣1，﹣3）．
故选：B．
【变式5-1】（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于
D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）
【答案】B
【解答】解：设点A'的坐标是（a，b），
根据题意知： ＝﹣1， ＝0．解得a＝1，b＝2．
即点A'的坐标是（1，2），
故选：B．
【变式 5-2】（2022 春•青州市期末）如图，将△ABC 绕点 C（0，1）旋转 180°得到
△A'B'C，设点A的坐标为（﹣2，3），则点A'的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣1，2） C．（2，﹣2） D．（2，﹣1）
【答案】D
【解答】解：设A′（m，n），
∵AC＝CA′，A（﹣2，3），C（0，1），
∴ ＝0， ＝1，
∴m＝2，n＝﹣1，
∴A′（2，﹣1），
故选：D．
【考点6 利用中心对称的性质-求面积】
【典例6】（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图，正方形边长为a，则阴影部分面积为
．
【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：S阴影 ＝ S正方形 ＝ ，
故答案为： ．
【变式6-1】（2022春•南关区期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O
成中心对称，点A的对称点是点A ，AB⊥a于点B，A D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝
1 1
3，则阴影部分的面积之和为 1 5 ．
【答案】15．
【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称
点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3，
∴AB＝3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15．
故答案为：15．
【变式6-2】（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面
积为 9 ．【答案】9．
【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩
形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．
故答案为：9．
【变式6-3】（2023秋•东湖区期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏
喂鱼台，已知OA＝OB＝2米．求阴影部分的面积．
【答案】8 平方米．
【解答】解π：因为观赏鱼池是中心对称，且OA＝OB＝2米，
所以阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆，
所以阴影部分的面积为2× ×22＝8 （平方米），
答：阴影部分的面积为8 π平方米．π
【考点7 利用中心对称的性π质-作图】
【典例7】（2023秋•浦北县期末）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）15．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE＝6，AC＝DF＝5，BC＝EF＝4，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝6+5+4＝15；
答：△DEF的周长为15．
【变式7-1】（2023春•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点
坐标分别为A（1，4），（4，2），C（3，5）．
（1）请画出△A B C ，使△A B C 与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A ，B ，
1 1 1 1 1 1 1 1
C 的坐标．
1
（2）求△A B C 的面积？
1 1 1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求．
1 1 1
A （﹣1，﹣4），B （﹣4，﹣2），C （﹣3，﹣5）；
1 1 1（ 2 ） 根 据 中 心 对 称 的 性 质 可 得 S ＝ 3×3﹣
＝9﹣ ﹣1﹣3＝ ．
【变式7-2】（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某
一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形 ABC和线段BC的对
应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求；
一、单选题
1．下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是轴对称图形和中心对称图形．根据轴对称以及中心对称的概念，得出答案．轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条
直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一点
旋转180度，如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,
这个点叫做对称中心．
【详解】解：轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那
么这样的图形就叫做轴对称图形；
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这
个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心．
故选：B．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．等腰梯形是中心对称图形 B．平行四边形是轴对称图形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，菱形的性质、正方形的性
质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项是错误的；
B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项是错误的；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，不是相等，故该选项是错误的；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等．故该选项是正确的；
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中，A(0,1)、B(−1,0)、C(1,0)，请确定一点D，使得以点
A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，则点D的坐标可能是（
）
A．(−2,1) B．(0,−1) C．(2,1) D．(0,−2)【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称图形和中心对称图形的识别，在坐标平面内
准确画出图形是解决本题的关键．
根据各选项所给点的坐标判所构成的图形逐一进行判断即可．
【详解】A． 如图所示，若点D的坐标为(−2,1)，
则四边形ADBC是平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称对称图形，故此选项不符合
题意；
B．如图所示，若点D的坐标为(0,−1)，
则四边形ABDC是正方形，既是轴对称图形，也是中心对称对称图形，故此选项不符合题
意；
C．如图所示，若点D坐标为(2,1)，
则四边形ABCD是平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称对称图形，故此选项不符合题意．
D． 如图所示，若点D的坐标为(0,−2)，
则四边形ABDC是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
4．一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,−6)，若点A与点B关于原点对称，则
这个正比例函数的表达式为 （ ）
1 1
A．y=3x B．y=−3x C．y= x D．y=− x
3 3
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横
纵坐标均互为相反数，求出A,B的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．
【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，
∴m=6,n=−2，
∴A(2,6)，B(−2,−6)，
设正比例函数的解析式为：y=kx(k≠0)，把A(2,6)代入，得：k=3，
∴y=3x；
故选A．
5．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，棋盘上有1个白子和3个黑子，若再放入
一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置是（
）A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果
旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对
称中心，进而得出答案．
【详解】解：当放入白子的位置在点C处时，是中心对称图形．
故选：C．
6．点P(2,−3)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(−2,−3) B．(2,3) C．(−2,3) D．(−3,2)
【答案】C
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点横纵坐标
都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：点P(2,−3)关于原点对称的点的坐标是(−2,3)，
故选：C．
7．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕
某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图
形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是中心对称图形，此项不符合题意；
B、是中心对称图形，此项符合题意；
C、不是中心对称图形，此项不符合题意；
D、不是中心对称图形，此项不符合题意；
故选：B．
8．如图，△AOB与△COD关于点 O 成中心对称，连接AD，BC．下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA=OC B．AD∥BC C．AC⊥BD D．△AOD≌△COB
【答案】C
【分析】本题考查了成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等
知识．熟练掌握成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题
的关键．
由△AOB与△COD关于点 O 成中心对称，可得△AOB≌△COD，则OA=OC，
OB=OD，可判断A；证明△AOD≌△COB(SAS)，可判断D；由∠OAD=∠OCB，可
得AD∥BC，可判断B；AC⊥BD不一定成立，可判断C．
【详解】解：∵△AOB与△COD关于点 O 成中心对称，
∴△AOB≌△COD，
∴OA=OC，OB=OD，故A不符合要求；
∵OA=OC，∠AOD=∠COB，OD=OB，
∴△AOD≌△COB(SAS)，故D不符合要求；
∴∠OAD=∠OCB，
∴AD∥BC，故B不符合要求；
AC⊥BD不一定成立，故C符合要求；
故选：C．
二、填空题
9．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成
阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为
．【答案】30
【分析】本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等
于菱形的面积的一半是解题的关键．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分
的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
【详解】
解：如图所示：∵菱形ABCD的两条对角线的长分别为8和15，
1
∴菱形ABCD的面积= ×8×15=60 ，
2
∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，
1 1
∴阴影部分的面积= S ❑ = ×60=30．
2 菱形 ABCD 2
故答案为30．
10．将点P(−2,−3)向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B
关于原点对称，则点B的坐标是
【答案】(−1,1)
【分析】本题考查坐标与平移及关于点对称．根据点的平移规则：左减右加，上加下减确
定Q(1,−1)，然后进行求解即可．
【详解】解：点P(−2,−3)向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，
∴Q(−2+3,−3+2)，即：Q(1,−1)；
∵Q与B关于原点对称，
∴点B的坐标是(−1,1)
故答案为：(−1,1)．
11．已知点P(a+b,−2)与点Q(−6,2a+b)关于原点对称，则3a+2b= ．
【答案】8
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的坐标特征是解题的关键．
根据关于原点对称的坐标特征：横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标互为相反数，构建方程{a+b=−(−6)
)
组 ，求解得出a、b值，再代入3a+2b中计算即可．
2a+b=−(−2)
{a+b=−(−6)
)
【详解】解：由题意， ，
2a+b=−(−2)
{a=−4)
解得 ；
b=10
∴3a+2b=3×(−4)+2×10=8，
故答案为：8．
三、解答题
12．（1）解方程：x2−5x+6=0；
（2）如图，△ABC与△DEC关于C点成中心对称，若AC=1，AB=2，∠BAC=90°，
求AE的长．
【答案】（1）x =2，x =3；（2）2❑√2
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，中心对称图形的性质，全等的性质，勾
股定理等知识．
（1）利用因式分解的方法解出方程即可；
（2）根据△ABC与△DEC关于C点成中心对称，可得△ABC≌△DEC，即可得
∠CAB=∠CDE=90°，AB=DE=2，AC=DC=1，进而有AD=2，在Rt△ADE中，
利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵x2−5x+6=0，
∴(x−2)(x−3)=0，
则x−2=0或x−3=0，
解得x =2，x =3；
1 2
（2）解：∵△ABC与△DEC关于C点成中心对称，∴△ABC≌△DEC，
∴AB=DE，AC=DC，∠CAB=∠CDE，
∵AC=1，AB=2，∠BAC=90°，
∴∠CAB=∠CDE=90°，AB=DE=2，AC=DC=1，
∴AD=2，
∴在Rt△ADE中，有：AE=❑√AD2+DE2=2❑√2．
即AE=2❑√2．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,2)，B(0,1)，
C(1,−1)．
(1)画出将△ABC向左平移4个单位后得到的图形△A B C ；
1 1 1
(2)画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转180°后得到的图形△A B C，并直接写出四边
2 2
形A B AB的形状；
2 2
(3)在平面内有一点D，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点
D的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，四边形A B AB是平行四边形
2 2
(3)(2,4)或(4,0)或(−2,−2)
【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的判定与性质，中心对称等知识，解题的关
键是∶
（1）根据平移规则，确定A ,B ,C 的位置，再进行连线即可得到△A B C ；（2）根据
1 1 1 1 1 1
成中心对称的性质，画出△A B C，然后根据中心对称的性质、平行四边形的判定即可得
2 2出结论；（3）分①以AB，CD为对角线，②以AC，BD为对角线，③以AD，BC为对角
线，三种情况讨论，然后利用平行四边形的性质，中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解∶如图， △A B C 即为所求；
1 1 1
（2）解：如图，△A B C即为所求，
2 2
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转180°后得到的图形△A B C，
2 2
∴BC=B C，AC=A C，
2 2
∴四边形A B AB是平行四边形；
2 2
（3）解：设D(m,n)，
①以AB，CD为对角线，
3+0 1+m
{ = )
2 2
则 ，
2+1 −1+n
=
2 2
{m=2)
解得 ，
n=4
∴D(2,4)；②以AC，BD为对角线，
3+1 0+m
{ = )
2 2
则 ，
2+(−1) 1+n
=
2 2
{m=4)
解得 ，
n=0
∴D(4,0)；
③以AD，BC为对角线，
3+m 1+0
{ = )
2 2
则 ，
2+n −1+1
=
2 2
{m=−2)
解得 ，
n=−2
∴D(−2,−2)
综上，D的坐标为(2,4)或(4,0)或(−2,−2)．
14．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶
点均在格点上，点C的坐标为(3,3)．
(1)试画出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A B C；
1 1
(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A B C ，写出点B 的坐标为
2 2 2 2
______；
3
(3)请在x轴上找一点D得到▱ACBD，则点D的坐标为_______，若直线y= x+b平分
2
▱ACBD的面积，则b=______．
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析，(−5,−2)；
(3)D(3,0)，−3．
【分析】本题考查了作旋转后的图形，作中心对称图形，坐标与图形，平行四边形的性质，
待定系数法求一次函数解析式，掌握旋转、中心对称图形及平行四边形的性质是解题的关
键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据中心对称图形的性质作图即可；
（3）根据平行四边形的性质找到点D，得出平行四边形对角线中心点的坐标，由平行四边
形的性质可知，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：如图，△A B C即为所求；
1 1
（2）解：如图，△A B C 即为所求，点B 的坐标(−5,−2)，
2 2 2 2
故答案为：(−5,−2)；
（3）解：如图，平行四边形ACBD即为所求，D(3,0)，
∵平行四边形的中心点的坐标为(3,1.5)，3
又∵直线y= x+b平分▱ACBD的面积，
2
3
∴直线y= x+b经过点(3,1.5)，
2
9
∴1.5= +b，
2
∴b=−3，
故答案为：D(3,0)，−3．
