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24.1.4 圆周角（第一课时） 分层作业
基础训练
1．下列图形中的 是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的 都不是圆周角，C中的 是圆周角，
故选C．
2．如图， 内接于 ， ， 的半径为2，则 的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选C．
3．如图，点A， ， 是 上的三点．若 ， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
4．如图， 是 的直径，点C，D，E在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
5．如图，在 中，点M是 的中点，连结 并延长，交 于点N，连结 ．若 ，
则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【详解】解：∵点M是 的中点，
⏜ ⏜
∴ AM=BM ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
根据圆周角定理可得： .
故选：A．
6．如图，在 中，点C在劣弧 上，D是优弧 的中点，若 ，则 的大小是（
）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，连接 ，∵D是优弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：D
7．足球盛事，四年一次，2022世界杯在卡塔尔激烈开赛，王老师想要在班里组织一次足球赛庆祝世界杯，
某位同学为这次足球赛设计了一个简单的图标．如图，已知这个图标由 和正方形 构成，正方形
的两个顶点 ， 在 上，等腰 内接于 ， ， ， 最高点 到边
的距离 ，则这个 的半径是（参考数据： ．答案精确到0.1）（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，连接 ， ．设圆的半径是 ，
，在直角 中， ，
∴
， 过圆心
∴
∵ 是正方形
∴
∵
∴
解得： ．
故选：C．
8．如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射
门较好（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴ 最大，∴小明将球传给丁球员射门较好，
故选：D．
9．如图， 为 的直径，弦 ， 为 上一点，若 ，则 的度数为（
）
A． B． C． D．无法确定
【详解】如图，连接 ，
∵ ， 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选B．
10．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得
AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．
【详解】解：连接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得： ，
所以圆形镜面的半径为 ，
故答案为： ．
11．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，且点A的坐标为 ，
D为第一象限内 上的一点，若 ，则 .
【详解】解：连接OD，BD，
∵ ，
∴∠EOD=2 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵AB为圆的直径，
∴ ,
∴BD= ，
∴ ，故答案为： ．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为
．
【详解】解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD= BC=3，
∵OB= AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD= =4．
故答案为4．
13．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴ 。
14．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD⊥AC，OD与AC交于点E．
(1)若∠CAB＝20°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝8，AC＝6，求DE的长．
【详解】（1）解：∵OD⊥AC，
∴∠AOD=90°-∠CAB=70°，
∵OA=OD，
∴∠OAD= =55°，
∴∠CAD=55°-20°=35°；
（2）解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵AB=8，AC=6，
∴BC= ，
∵OD⊥AC，
∴AE=EC，
∵OA=OB=OD=4，
∴OE= BC= ，
∴DE=4- ．
15．如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-∠ABC，
∴∠ECB=∠A．
又∵C是 的中点,
∴
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF；
（2）解：∵
∴BC=CD=6，
∵∠ACB=90°，
∴⊙O的半径为5，能力提升
1．如图， 是 的弦， ，点 是 上的一个动点，且 ，若点 、 分别是 、
的中点，则 的最大值是 ．
【详解】解：作直径 ，如图，
点 、 分别是 、 的中点，
为 的中位线，
，
为直径，
，
，
，
当 时， 的值最大，
最大值为 ， 的最大值为 ．故答案为 ．
2．如图， 、 是以 为直径的 的两条弦，延长 至点D，使 ，则当 时，
与 之间的数量关系为： ．
【详解】解：设AB的边长为x，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵AC是直径，
∴ ，
∴AC=2x，
根据勾股定理可得 ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．如图，AB是半圆O的直径，AC=AD，∠CAB=20°，OE⊥CD，OE= ，则半圆O的直径AB是【详解】解：∵AC=AD，∠CAB=20°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在△COD中， ，
∵OE⊥CD，
∴ ，
∴ ，
∵OE= ，
∴在 中， ，
即 ，解得∶ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
拔高拓展
1．（1）已知 是 的两条弦，且 ，如图①， 是 的直径．求证： ；
（2）如图②，连接 ．请用无刻度的直尺作出 的一条弦 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）如图③，四边形 是 的内接四边形， ．若 的半径为6， ，且
，则 的长度为__________．
【详解】解：（1）如图，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，则 即为所求，
理由如下，
连接 ,延长 交 于点
由（1）可知
∴
∵
∴
∵
即
∴
∴ 即为所求，
（3）如图，连接 ，过点 作 ，垂足分别为 ，∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
又
∴
在 与 中，∴ ，
∴
设 ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ， ，
∴ 或 ，
∵ ，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
2．已知钝角三角形 内接于 分别为 的中点，连接 ．
(1)如图1，当点 在同一条直线上时，求证： ．
(2)如图2，当 不在同一条直线上时，取 的中点 ，连接 交 于点 ，当
时．
①求证： 是等腰三角形；
②如图3，连 并延长交 于点 ，连接 ．求证： ．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点，点 在同一条直线上，∴ ，
⏜ ⏜
∴ AB=AC ，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ．
（2）①∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
②延长 交 于点 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
