文档内容
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时二
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆T： 经过以下四个不同点中的某三个点： ， ，
， ．
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的 倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的
坐标分别为 ， ，点F是直线 上的一个动点，且直线 ， 分别交椭圆E于G，H
（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若
不过定点，请说明理由．
随堂练习：已知椭圆 ： （ ）的左、右顶点分别为 ， ， 为坐标原点，直线 ：
与 的两个交点和 ， 构成一个面积为 的菱形.
（1）求 的方程；
（2）圆 过 ， ，交 于点 ， ，直线 ， 分别交 于另一点 ， .①求 的值； ②证明：直线 过定点.
典例2、已知椭圆 过点 ，椭圆的左、右顶点分别为 ，点P坐标为 ，
成等差数列．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若对斜率存在的任意直线l与椭圆恒有M，N两个交点，且 ．证明：直线l过定点．
随堂练习：已知椭圆 ： 过点 ，且点A到椭圆 的右顶点的距离为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 为坐标原点，直线 ： 与 交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交 于点Q，直线 交射线OP于点R，且 ，求证；直线 过定点.
典例3、如图，已知椭圆 ： 经过点 ，离心率为 .点 ，以 为
直径作圆 ，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆 与圆 于点A，B和点N.
（1）求椭圆 的标准方程； （2）当 的面积最大时，求直线 的方程.随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过点 且与x轴垂直的直线与椭圆C
在第一象限交于点P，且 的面积为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E， 轴，过点S的另一直线与
曲线C交于M，N两点，若 ，求 所在的直线方程．
知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线 的焦距为 ，且过点 ，直线 与曲线 右支相
切（切点不为右顶点），且 分别交双曲线 的两条渐近线与 、 两点， 为坐标原点.
（1）求双曲线 的方程；（2）求证： 面积为定值，并求出该定值.典例5、已知双曲线 ： 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，一条渐近线的
倾斜角为 ．
（1）求双曲线 的方程；（2）经过点 的直线与双曲线的右支交与 两点，与 轴交与 点，点
关于原点的对称点为点 ，求证： ．随堂练习：已知椭圆 与双曲线 的离心率互为倒数， 的左､右焦点
分
别为 ， ，且 到 的一条渐近线的距离为1.
（1）求 的标准方程；（2）若 是 与 在第一象限的交点， 与 的另一个交点为P，与 的
另一个交点为 ， 与 的面积分别为 ， ，求 .
典例6、已知圆 ： ，圆 ： ，圆 与圆 、圆 外切，
（1）求圆心 的轨迹方程 （2）若过点 且斜率 的直线与 交与 两点，线段 的垂直平分线交 轴与点 ，证明 的值是定值.
随堂练习：已知点 ， ，动点 满足直线 的斜率与直线 的斜率乘积为 ．当
时，点 的轨迹为 ；当 时点 的轨迹为 ．
（1）求 ， 的方程；
（2）是否存在过 右焦点的直线 ，满足直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，且
？若存在，求所有满足条件的直线 的斜率之积；若不存在，请说明理由，
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时二答案典例1、答案：（1） ；（2）直线 恒过定点 .
解:（1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即 ①， 若B在椭圆上，则 ②，
由①②可得 ，不存在， 所以D在椭圆上，可得 ③，
由①③可得 ， ， 所以椭圆的方程为： ；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的 倍，横坐标不变，
设E上的点为： ，对应的点 ，由题意可得 ， ， 所以 ， ，
所以E的方程 ， 设 ， ， ， ，
所以直线 的方程为： ，直线 的方程 ，
联立直线 与椭圆的方程 整理可得 ，
所以 ， ，即 ，
联立直线NF与椭圆的方程： 整理可得 ，
所以 ， 即 ，所以直线 的斜率为： ，
所以直线 的方程为： ，
整理可得 ，当 ， . 所以直线 恒过定点 ．
随堂练习：答案：（1） （2）① ②证明见解析
解：（1）因为直线 ： 与 的两个交点和 ， 构成的四边形是菱形，
所以 垂直平分 ，所以 ， .
设 为直线 与 的一个交点，则菱形的面积为 .
因为菱形的面积为 ，所以 ，解得 ，即 .
将点 代入 ，得 ，又因为 ，所以 .
故 的方程为 .
（2）①由题意，得 为圆 的一条弦，且直线 垂直平分该弦，
故直线 经过圆心 ，所以 为圆 的直径，因此 ，即 .
设 ， ，则 .
注意到 ， ，则 .
又因为 ， ，所以 .②易知直线 不可能平行于 轴，则设直线 的方程为 （ ）， ，
.
由 得 . ，（*）
， .①因为 ， ，所以 ，
即 ， 即 .
将①代入上式得 ，
化简得 ，解得 ，满足（*），
所以直线 的方程为 ， 故直线 过定点 .
典例2、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意知： ， ， 成等差数列．可得：
解得： 又 ， ，解得： 故椭圆标准方程为：
（2）设直线方程为联立 ，化简得：
可得： ， ，
则有：
可得： 解得： 或 故直线方程为： 或
所以直线恒过点 或
又因为直线l与椭圆恒有两个交点，故易知定点必在椭圆内，故直线l恒过点
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意得， ，解得 或 （舍去）， 则椭圆 的方程为
将 代入 ： 得， ，解得 ， 则椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ， ： ，
联立 ，得 ，
由 得 ，∴ ，∴ .由斜率公式可知 ，∴ ： ，∴ .
联立 ，得 ，即 .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，此时满足 ，
则直线 为： ，则直线 过定点 .
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）将点 代入 得， ， 又 ， ，得 ，
所以 ， ，即 .
（2）因为 ，设直线 的方程为 ，设 ， ，
联立 ，得 ， 且 ，则 ， ，
则 ，且 ， 直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离为 ， ∴ ，
∴ 面积 ，
当且仅当 时，取到等号，此时 ， 所以直线 的方程为 .随堂练习：答案： （1） （2） 或 .
解：（1）由题意知 ， ， 又 ，∴ ， ，
∴椭圆标准方程为 .
（2）∵ 轴，∴ ， 设 ，则 ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
设 ， ，则 ， ， ∴ .
①当直线 的斜率不存在时， 的方程为 ，此时∴ 不符合条件.
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 得 .
得 ， ∴ ，即 ，解得 .
故直线 的方程为 或 .典例4、答案：（1） ；（2）证明见解析， 面积为 .
解:（1）设双曲线 的焦距为 ，
由题意可得： ，则双曲线 的方程为 ；
（2）由于直线 与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），则直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ， 则 消 得 ，
，①
设 与 轴交于一点 ， ，
，
双曲线两条渐近线方程为： ，
联立 ，联立 ，
则 （定值）.
典例5、答案：（1） ；（2）证明见解析．
解：（1）由题意得 ， ，
解得 所以双曲线 的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为： ，得 ， ，设 ， ， 联立 ，整理可得
， 所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以 ，设 ，
所以
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线 的离心率为： 故椭圆 的离心率为：
双曲线 的一条渐近线方程为：
设 的坐标为： ，则 ，解得
又 ，解得 ， 故椭圆 的标准方程为：
（2）联立方程组： 解得： ，即 点坐标为：
直线 的斜率为： 则直线 的方程为：
联立方程组： 解得： 或即 点坐标为 ， 点到 的距离为
联立方程组： 解得： 或
即 点坐标为 ， 点到 的距离为 则 ，即
典例6、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）因为圆C与圆A、圆B外切， 设C点坐标 ，圆C半径为 ，
则 ， ， 所以 <4， 所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又 ， ， ， 所以其轨迹方程为 ；
（2）设直线为 ，
联立 ，消去y得： ， 所以 ，
设MN中点坐标为G，则 ，
所以 ， ，
直线GP的方程为: ， ，
所以 ， 所以 =1.
随堂练习：答案： （1）C： ，C： （2）存在，
1 2
解：（1）设 ， ． 对于 ，由题可得 ， 整理得 ，故 的方程为 ． 对于 由题可得 ，
整理得 ． 故 的方程为 ．
（2）由（1）可得 ， ，
的右焦点为 ，设 ， ， ， ．
当直线 的斜率不存在时，直线 与 无交点，不满足题意，故直线 的斜率存在，
于是可设直线 的方程为 ，
联立直线方程与椭圆方程可得 ，
恒成立， 由韦达定理： ， ．①
于是 ， 将①代人整理得 ．
同理 其中 ，故 ．
因为 ，所以 ．
设 ，则 即 ．
平方整理得 ， 因式分解得 ，
解得 ， ， （舍去）， 即 ， ．
于是所有满足条件的直线 的斜率之积为 ．
