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专题 01 与圆的性质有关的辅助线作法
类型一：连半径构造等腰三角形
类型二：作弦心距
类型三：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角
类型四：构造直径所对的圆周角
类型五：连接90°的圆周角的“斜边”
类型六：构造圆的内接四边形
类型七：构造隐形圆
类型一：连半径构造等腰三角形
1．如图，在圆O中，OA⊥BC，∠ADC＝30°，则 的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．240°
【分析】由圆周角定理可得∠AOC＝2∠ADC＝60°，由等腰三角形三线合一可得∠AOB＝∠AOC＝
60°，即可求解．
【解答】解：连接OB、OC，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
即 的度数为120°，
故选：C．
2．如图，△ABC内接于 O，∠CAB＝40°，连接OB，则∠OBC的度数为（ ）
⊙A．35° B．40° C．50° D．55°
【分析】根据圆周角定理求出∠BOC，根据等边对等角及三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：如图，连接OC，
∵△ABC内接于 O，∠CAB＝40°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝80°，
⊙
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
故选：C．
3．如图， O与△OAB的边AB相切干点B，将△OAB绕点B顺时针方向旋转得到△O′A′B，使得点
O′落在 O上，边A′B交线段AO于点C，若∠A'＝25°，则∠OCB的度数为（ ）
⊙
⊙
A．75° B．80° C．85° D．90°
【分析】连接OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB＝∠OBO′＝60°，由 O与△OAB的边
AB相切，可求∠CBO＝90°﹣∠OBO′＝30°，利用三角形内角和公式即可求解．
⊙
【解答】解：连接OO′，
∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'，
∴BO′＝BO＝OO′，
∴△BOO′为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∵ O与△OAB的边AB相切，
∴∠OBA＝∠O′BA′＝90°，
⊙
∴∠CBO＝90°﹣∠OBO′＝90°﹣60°＝30°，∵∠A′＝25°，
∴∠A′O′B＝90°﹣∠A′＝90°﹣25°＝65°，
∴∠AOB＝∠A′O′B＝65°，
∴∠OCB＝180°﹣∠COB﹣∠OBC＝180°﹣65°﹣30°＝85°．
故选：C．
4．如图，A、B、C是 O的圆周上三点，DE与 O相切于点C，连接AB、BC、AC，若AB＝AC，
∠BCD＝40°，则∠ACE的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．40° B．60° C．70° D．80°
【分析】连接OA、OB、OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，进而求出∠OCB＝50°，根据等腰三角形
的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵DE与 O相切于点C，
∴OC⊥DE，
⊙
∵∠BCD＝40°，
∴∠OCB＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝80°，
由圆周角定理得：∠BAC＝ ∠BOC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠OCA＝20°，
∴∠ACE＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．5．如图，EF、CD是 O的两条直径，A是劣弧 的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（ ）
⊙
A．37° B．74° C．53° D．63°
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA＝74°，再根据等腰
三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵A是劣弧 的中点，
即弧DA＝弧FA，
∴∠DOA＝∠FOA，
∵∠EOD＝32°，
∴ ，
∵OD＝OA，
∴ ，
即∠CDA＝53°．
故选：C．
类型二：与弦相关的计算，作弦心距
6．如图，已知直线PA交 O于A、B两点，AE是 O的直径，点C为 O上一点，且AC平分∠PAE，过
C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12， O的直径为20，则AB的长等于（ ）
⊙ ⊙ ⊙
⊙A．8 B．12 C．16 D．18
【分析】连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，过
O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，
由勾股定理得（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝12，
设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，
∵ O的直径为20，
∴DF＝OC＝10，
⊙
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，
解得x ＝4，x ＝18．
1 2
∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，
∴x＝4，
∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝12．
故选：B．7．如图，半径为 5 的 A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若 DE＝6，
∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
⊙
A．8 B．10 C．11 D．12
【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等
的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
∴CM＝ ＝ ＝4，
∴BC＝2CM＝8．故选：A．
8．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为
（ ）
A．3 B．4 C．3 D．
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定
四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
∴DN＝BM＝ ，
∵半径为5，
∴OM＝ON＝3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON＝3，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝3 ，
故选：C．
9．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（
）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，设OF＝x cm，则ON＝（8
﹣x）cm，NE＝NF＝4，然后在Rt△NOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝8，
设OF＝x cm，则OM＝OF，
∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，
在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2
即：（8﹣x）2+42＝x2
解得：x＝5，
故选：B．
10．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为 上一点，且AD＝4， ，则图中的阴影部分面积
为（ ）
A．5 ﹣10 B．5 ﹣14 C．10 ﹣20 D．10 ﹣24
【分析】取AD中点M，BD中点N，连接OM，ON，OD，AB，作AE⊥BD交BD延长线于点E，在
π π π π
Rt△ADE中，求出AE、DE，进而求出AB，再求出半径OA长，用扇形面积减去△AOB，△ABD即可得
出．
【解答】解：取AD中点M，BD中点N，连接OM，ON，OD，AB，作AE⊥BD交BD延长线于点E，∵OA＝OB＝OD，
∴OM⊥AD，ON⊥BD，OM平分∠AOD，ON平分∠BOD，
∴ ，
∴ ，
在四边形MOND中，∠MON＝360°﹣90°×2﹣45°＝135°，
∴∠ADE＝180°﹣135°＝45°，
在Rt△ADE中，AD＝4，
∴
∴
在Rt△ABE中，
，
在Rt△AOB中，
，
∴ ， ，
∴图中的阴影部分面积为5 ﹣10﹣4＝5 ﹣14，
故选：B．
π π
类型三：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角
11．如图，AB是 O的直径，C，D是 O上的两点，若∠DCB＝40°，则∠ABD＝（ ）
⊙ ⊙
A．80° B．50° C．40° D．20°
【分析】连接OD，利用圆周角定理求得∠DOB的度数，再利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定
理求解即可．
【解答】解：连接OD，∵∠DCB＝40°，
∴∠DOB＝80°，
又∵OB＝OD，
∴ ，
故选：B．
12．如图，AB、CD是 O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ）
⊙
A．42° B．44° C．46° D．48°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOD＝84°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝ （180°﹣∠AOC）＝ ×（180°﹣84°）＝48°，
故选：D．
13．如图，AB 为 O 的直径，C，D 为 O 上的点， ．若∠CBD＝35°，则∠ABD 的度数为
⊙ ⊙（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【分析】根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得∠BOC＝∠COD＝70°，从而求得∠AOD的度数，
再利用圆周角定理即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵∠CBD＝35°，
∴∠COD＝2∠CBD＝2×35°＝70°，
∵ ＝ ，
∴∠BOC＝∠COD＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOC﹣∠COD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠ABD＝ ∠AOD＝20°，
故选：A．
14．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠D＝80°，则∠AOB的度数为（
）
⊙
A．100° B．115° C．120° D．135°
【分析】连接 BD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDB＝∠CBD＝30°，求出
∠ADB，再根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ADB即可．
【解答】解：连接BD，∵∠C＝120°，BC＝DC，
∴∠CDB＝∠CBD＝ （180°﹣∠C）＝30°，
∵∠ADC＝80°，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝80°﹣30°＝50°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝100°，
故选：A．
15．如图，四边形ABCD内接于 O，AC为 O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，
若BE＝ CE，则∠BAD等于⊙（ ） ⊙
A．100° B．120° C．135° D．150°
【分析】连接BD，先由圆周角定理及“等弧对等弦”证得∠CAD＝45°，再由“同弧上的圆周角相等”
证得∠DBE＝45°，结合∠BED＝90°可推得DE＝BE，得出 ，则∠DCE＝60°，再根据四边形
内角和定理可得∠BAD的大小．
【解答】解：如图，连接BD．
∵AC为 O的直径，D为弧AC的中点，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
⊙
∴∠DAC＝∠ACD＝45°．
∴∠DBC＝∠DAC＝45°，∵DE⊥BC，则∠BED＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，又
∴ ，
在Rt△CDE中， ，
∴∠DCE＝60°．
∴∠BAD＝180°﹣∠DCE
＝120°．
故选：B．
类型四：构造直径所对的圆周角
16．如图，已知AB与 O相切于点A，AC是 O的直径，连接BC交 O于点D，E为 O上一点，连接
EC，ED，若∠CED＝ ，则∠B的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
α
A．90°﹣ B． C． D．
【分析】连接AE，根据直径所对的圆周角是直角得出∠AEC＝90°，即可求出∠AED的度数，再根据同
α α
弧所对的圆周角相等得出∠ACB＝∠AED＝90°﹣ ，再根据切线的性质得出∠CAB＝90°，即可求出∠B
的度数．
α
【解答】解：连接AE，
∵AC是 O的直径，
∴∠AEC＝90°，
⊙
∵∠CED＝ ，
∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝90°﹣ ，
α
∵ ， α
∴∠ACB＝∠AED＝90°﹣ ，
∵AB与 O相切于点A，AC是 O的直径，
α
⊙ ⊙∴∠CAB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（90°﹣ ）＝ ，
故选：B．
α α
17．如图，△BCD内接于 O，点B是弧CD的中点，CD是 O的直径．∠ABC＝60°，AC＝4 ，则BC
的长为（ ）
⊙ ⊙
A．5 B． C． D．
【分析】连接AD，先求得∠CAD＝∠CBD＝90°，进而得到∠ACD＝∠ABD＝30°，再利用直角三角形
的性质求得CD＝2AD＝8，又由点B是弧 的中点得BC＝BD，进而利用勾股定理即可得解．
【解答】解：如图，连接AD，
∵CD是 O的直径，
∴∠CAD＝∠CBD＝90°，
⊙
∵ ，
∴∠ACD＝∠ABD＝30°，
∴ ，
∴CD＝2AD＝8，
∵点B是弧 的中点，
∴BC＝BD，
∵∠CBD＝90°，
∴BC2+BD2＝CD2即2BC2＝64，
解得 ，
故选：C．
18．如图，AB是 O的直径，点C，D，E在 O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（ ）
⊙ ⊙A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求
∠BDE的度数．
【解答】解：连接AD，
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∵∠ACE＝20°，
∴∠ADE＝∠ACE＝20°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°，
故选：C．
19．如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上，∠ACD＝25°，则∠BAD的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．75° B．72° C．70° D．65°
【分析】连接BD，根据圆周角定理求出∠B和∠ADB，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：连接BD，
∵∠ACD＝25°，
∴∠B＝∠ACD＝25°，∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝65°，
故选：D．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交
BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，取BC的中点T，连接ET，CE，AT．解直角三角形求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，
可得结论．
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接ET，CE，AT．
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4，
∴AC＝BC＝2 ，
∵CT＝BT＝ ，
∴AT＝ ＝ ＝ ，
∵CD是直径，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴ET＝ BC＝ ，
∵AE≥AT﹣ET＝ ﹣ ，
∴AE的最小值为 ﹣ ．
故选：D．
类型五：连接90°的圆周角的“斜边”21．如图，四边形ABCD内接于 O，且∠A＝90°， ．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（ ）
⊙
A． B．5 C． D．10
【分析】根据勾股定理求得BD＝10，根据圆内接四边对角互补，得出∠BCD＝90°，继而根据勾股定理
即可求解．
【解答】解：如图所示，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，
∴ ，
∵四边形ABCD内接于 O，∠A＝90°，
∴∠BCD＝90°，
⊙
∵ ．
∴BC＝CD＝ ，
故选：A．
22．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°．若四边形ABCD的面积是S，AC的长是
x，则S与x之间的函数关系式是（ ）
A．S＝x2 B．S＝ x2 C．S＝ x2 D．S＝ x2
【分析】作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，连接BD，由条件推出△BAM≌△ADN（AAS），得到BM＝
AN，从而可以证明BM+DN＝AC，由三角形面积公式即可解决问题．【解答】解：作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，连接BD，
∴∠AMB＝∠AND＝90°，
∵∠ABM+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠DAN，
∵AB＝AD，
∴△BAM≌△ADN（AAS），
∴BM＝AN，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∵∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴∠NDC＝∠NCD＝45°，
∴DN＝NC，
∴BM+DN＝AN+CN＝AC＝x，
∴S＝△ABC的面积+△ACD的面积，
∴S＝ AC•BM+ AC•DN＝ AC•（BM+DN）＝ AC2＝ x2．
故选：B．
23．如图， O内接四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，CD＝6，BC＝8，分别以四边形
的四条边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
⊙
A．100 B．100 ﹣49 C．49 D．49
【分析】π连接BD，由圆周角定π理得出BD是 O的直π 径，由勾股定理求出BD＝10，AB＝AD＝5 ，S
⊙
阴影部分 ＝ • + • + • + • ﹣ • + •AD•AB+ •BC•CD，
代入计算，即可得出答案．
π π π π π
【解答】解：如图，连接BD，∵ O内接四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD是 O的直径，
⊙
∵CD＝6，BC＝8，
⊙
∴BD＝ ＝ ＝10，
∵AB＝AD，
∴AB＝AD＝ ＝ ＝5 ，
∴S 阴影部分 ＝ • + • + • + • ﹣ • + •AD•AB+
•BC•CD
π π π π π
＝ • + • + • + • ﹣ • + × × + ×8×6
π π π π π
＝ + +8 + ﹣25 +25+24
＝49，
π π π π π
24．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC＝4，则
O的半径为（ ）
⊙
A．4 B．4.8 C．2 D．3
【分析】以点O为圆心，以OB为半径画圆，延长CD交 O于点E，连接BE，BD，则BD＝5，BE为
O的直径，然后在Rt△BCE中，CE＝8，BC＝4，由勾股⊙定理得BE＝ ，据此可得半径OB的长．
【解答】解：以点O为圆心，以OB为半径画圆，延长CD交 O于点E，连接BE，BD，如图所示：
⊙
⊙在△BCD中，∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，
由勾股定理得：BD＝ ＝5，
∵∠BCD＝90°，
∴BE为 O的直径，
∴点B，O，E在同一条直线上，
⊙
∴OB＝OE，
∵∠AOB＝90°，
∴DE＝BD＝5，
在Rt△BCE中，CE＝CD+DE＝8，BC＝4，
由勾股定理得：BE＝ ＝ ＝ ．
∴OB＝OE＝ BE＝ ．
故选：C．
类型六：构造圆的内接四边形
25．如图，在圆O中，∠AOB＝118°，点C在劣弧AB上，∠BAC＝35°，则∠ABC＝（ ）
A．31° B．24° C．26° D．27°
【分析】在优弧AB上任取一点D，连接BD、AD，根据圆周角定理得∠D＝59°，再根据圆内接四边形
性质可得∠C＝121°，最后由三角形内角和即可求解．
【解答】解：如图，在优弧AB上任取一点D，连接BD、AD，∴ ，
∴四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝121°，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝24°，
故选：B．
26．如图，点A、B、C、D、E都在 O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝28°，则∠A的度数为（ ）
⊙
A．28° B．56° C．62° D．68°
【分析】连接 BC，根据平行线的性质求出∠ECD，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，进而求出
∠BCD，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：如图，连接BC，
∵BE∥CD，∠E＝28°，
∴∠ECD＝∠E＝28°，
∵BE是 O的直径，
∴∠BCE＝90°，
⊙
∴∠BCD＝90°+28°＝118°，
∵四边形ABCD为 O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
⊙
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝62°，
故选：C．27．如图，点A、B、C、D、E在 O上，且∠B+∠E＝165°，则 的度数为（ ）
⊙
A．15° B．20° C．30° D．35°
【分析】连接ED，根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠AED＝180°，根据题意求出∠CED，根据圆周
角定理求出 的度数．
【解答】解：如图，连接ED，
∵四边形ABDE为 O的内接四边形，
∴∠B+∠AED＝180°，
⊙
∵∠B+∠AEC＝165°，
∴∠CED＝180°﹣165°＝15°，
∴ 的度数为30°，
故选：C．
28．如图，点A，B，C，D在 O上，OA⊥BC，∠ADC＝25°，则∠CAB的度数是（ ）
⊙
A．140° B．130° C．120° D．110°
【分析】连接DB，根据垂径定理得到 ＝ ，得到∠ADB＝∠ADC＝25°，进而求出∠CDB，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接DB，
∵OA⊥BC，
∴ ＝ ，
∴∠ADB＝∠ADC＝25°，
则∠CDB＝50°，
∵四边形ACDB为 O的内接四边形，
∴∠CDB+∠CAB＝180°，
⊙
∴∠CAB＝180°3﹣50°＝130°，
故选：B．
29．如图，点A，B，C，D，E在 O上顺次排列，已知AB＝BC，∠ABD＝∠BCE．
（1）求证：BD＝CE；
⊙
（2）若直线AE过圆心O，设∠BCE的度数为 ， 的度数为 ．
①当 ＝60时，求 的值；
α β
②探索 和 满足的等量关系．
β α
α β
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理进行解答即可；
（2）根据圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝BC，
∴ ＝ ，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴ ＝ ，即 + ＝ + ，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
即 ＝ ，∴BD＝CE；
（2）解：①∵ 的度数 ＝60°，
β
∴ ＝ ＝ ，其度数都等于 ＝40°，
∴∠AOB＝40°，
∵点A、点B、点C、点E在 O上，
∴∠BCE+∠A＝180°，
⊙
∴∠BCE＝180°﹣（ ）
＝180°﹣70°
＝110°，
即 ＝110°；
②6 + ＝720°，理由如下：
α
∵ α的β度数 ，
β
∴ ＝ ＝ ，其度数都等于 ，
∴∠AOB＝ ，
∵四边形ABCE是 O的内接四边形，
∴∠BCE+∠A＝180°，
⊙
∴∠BCE＝180°﹣∠A
＝180°﹣（ ）
＝90°+ ∠AOB
＝90°+ × ，
即 ＝90°+ × ，
∴6 + ＝720°．
α
α β
类型七：构造隐形圆
30．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【分析】根据题意得到四边形ABCD的四个顶点共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度
数．
【解答】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故选：B．
31．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成
立的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADB
B．∠ABC+∠ADC＝180°
C．∠ABD＝∠ACD
D．若∠ABD＝2∠CBD，则AD＝2CD
【分析】根据圆的判定和基本性质判断即可．
【解答】解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
故点A，B，C，D都在以点O为圆心，OA为半径的圆上，且AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB，
故A正确；四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
故B正确；
根据同弧上的圆周角相等，得到∠ABD＝∠ACD，
故C正确；
作∠ABD的平分线BE，交圆于点E，
则 ，
又∠ABD＝2∠CBD，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠CBD，
∴AE＝DE＝CD，
∵AE+DE＞AD，
∴2CD＞AD．
故D错误，
故选：D．
32．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝
90°，点C（0，3），则BC的最小值为 ﹣ 2 ．
【分析】以OA为直径作 D，连接CD，交 D于B，此时BC长最小，根据勾股定理求出CD，再求出
答案即可．
⊙ ⊙
【解答】解：如图，以OA为直径作 D，连接CD，交 D于B，此时BC长最小，
⊙ ⊙∵A（4，0），C（0，3），
∴OC＝3，OA＝4，
∴OD＝DB＝2，
∴CD＝ ＝ ＝ ，
∴BC＝CD﹣BD＝ ﹣2，
故答案为： ﹣2．
33．如图，在 Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，满足∠PAB＝
∠PBC，则线段CP的长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【分析】首先证明点P在以AB为直径的 O上，当O、P、C共线时PC最小，利用勾股定理求出OC
即可解决问题．
⊙
【解答】解：如图所示
∵AB⊥BC，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的 O上，当O、P、C共线时PC最小，
在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4，
⊙
∴OB＝ AB＝3，
∴OC＝ ，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：A．
34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，平面上有一点P，AP＝1，连接AP，BP，取
BP的中点G．连接CG，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．2
【分析】利用中位线的性质，求出点G的运动轨迹即可解决问题．
【解答】解：取AB的中点H，连接GH，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ．
∵点G为BP中点，点H为AB中点，
∴GH为△ABP的中位线，
∴GH＝ ，
则点G在以点H为圆心， 为半径的圆上，
连接CH，
∴CH＝ ，
则CG的最大值为： ．
故选：A．
