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专题第 01 讲 全等三角形的判定与性质
1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
【分析】（1）利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD；
（2）先利用全等三角形的性质得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理计算出AC，
从而得到AB的长，然后计算AB﹣AD即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝6，
在Rt△ACD中，AC＝ ＝ ＝10，
∵AB＝AC＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
2．（2022秋•黔江区期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．
3．（2022秋•鼓楼区期末）如图，点A、C、D在同一直线上，BC⊥AD，垂足为C，BC＝CD，点E在BC
上，AC＝EC，连接AB，DE．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）写出AB与DE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）在Rt△ACB和Rt△ECD中，由ASA证明三角形全等；
（2）根据（1）得出∠AFD＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵BC⊥AD，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
在Rt△ACB和Rt△ECD中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）解：AB⊥DE．理由：
如图延长DE交AB于点F，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠B＝∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠A＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴AB⊥DE．4．（2023•黄石模拟）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD
＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【分析】（1）由ASA证明△ABD≌△COD即可；
（2）理由全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．5．（2023春•嘉定区期末）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E为对角线 BD上一点，∠A＝
∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝BC，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ADB＝∠CBD＝30°．
6．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，
∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故CD的长为4．
7．（2023•朔城区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF＝BE，连接
AE，CF．
（1）若AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF；
（2）在（1）的条件下，连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CDF；
（2）由全等三角形的性质可得AB＝CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDF，
∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）解：AF＝CE，理由如下：
如图：
∵△ABE≌△CDF，
∴AB＝CD，AE＝CF，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AF＝CE．
8．（2023春•岑溪市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BE＝DF；AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分
别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CDF；
（2）由全等三角形的性质可得AE＝CF，可证四边形AECF是平行四边形，可得AO＝CO．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）如图，
∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥BD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO＝CO．
9．（2023春•梅州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝42°，点D在线段BC上运动（点D不与
点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝42°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝118°时，∠EDC＝ °，∠AED＝ °；
（2）若DC＝3，试说明△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是以AE为腰的等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度
数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD＝25°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝42°，
根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）当DC＝3时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB
＝DC＝3，证明△ABD≌△DCE；
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝42°，
∵∠ADE＝42°，∠BDA＝118°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝20°+42°＝62°，
故答案为：20；62；
（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB＝3，DC＝3，
∴AB＝DC，
∵∠C＝42°，
∴∠DEC+∠EDC＝138°，
∵∠ADE＝42°，∴∠ADB+∠EDC＝138°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+42°＝112°；
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝42°＝∠C，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝42°，
∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝42°+42°＝84°；
综上所述，当∠BDA的度数为112°或84°时，△ADE的形状是等腰三角形．
10．（2023春•甘州区校级期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点
E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，∠A+∠BEC＝ 度；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．
【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC+∠BEC＝180°，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到∠EBC＝ ABC，∠ECB＝ ACB，于是得到结论；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°+ BAC＝120°，求得
∠FEB＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形
的性质得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠FAC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAC，∠DEC+∠BEC＝180°，
∴∠BAC+∠BEC＝180°；故答案为：180．
（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ EBC＝ ABC，∠ ECB＝ ACB，∠ BEC＝180°﹣（∠ EBC+∠ECB）＝ 180°﹣
（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ （180°﹣∠BAC）＝90°+ ∠BAC；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BEC＝90°+ BAC＝120°，
∴∠FEB＝∠DEC＝60°，
∵EM平分∠BEC，
∴∠BEM＝60°，
在△FBE与△EBM中，
，
∴△FBE≌△EBM，
∴EF＝EM，同理DE＝EM，
∴EF＝DE．
11．（2023春•佛山月考）已知，如图1，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD上一个动点（不与
点A，D重合）．分别过点E和点C作AB与AD的平行线交于点F，连AF．
（1）求证：AF＝BE；
（2）如图2，延长BE交AC于点G，若BG⊥AC，且AD＝BG，请判断EG与AE的数量关系，并说明
理由．【分析】（1）过点D作DM∥AB交FC于点M，连接AM，证明△ABD≌△MDC（ASA），推出AB＝
MD，再证明四边形EDMF和四边形ABEF是平行四边形，可得结论；
（2）过点D作DN∥BG交AC于点N，根据平行线分线段的性质得 CN＝GN，根据三角形中位线定理
得DN＝ BG，再根据直角三角形边角的关系得∠DAN＝30°，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
过点D作DM∥AB交FC于点M，连接AM，
∵DM∥AB，
∴∠MDC＝∠ABD，
∵CF∥AD，
∴∠MCD＝∠ADB，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴△ABD≌△MDC（ASA），
∴AB＝MD，
∵AB∥EF，
∴EF∥DM，∵DE∥FM，
∴四边形EDMF是平行四边形，
∴DM＝EF，
∴AB＝EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE；
（2）解：EG＝ AE，
理由：如图2中，过点D作DN∥BG交AC于点N，
∵BD＝CD，DN∥BG，
∴CN＝GN，
∴DN＝ BG，
∵AD＝BG，
∴DN＝ AD，
∵BG⊥AC，DN∥BG，
∴DN⊥AC，
∴∠AND＝90°，
∴∠DAN＝30°，
∴EG＝ AE．
12．（2023春•子洲县期末）【问题背景】
如图，AB∥CD．连接BC，点E，F在BC上，且BF＝CE，连接AE，DF，且∠A＝∠D．
【问题探究】
（1）试说明：AE＝DF：
（2）若AB＝CF，
①试判断△CDF的形状，并说明理由：
②若∠B＝30°，求∠DFB的度数．【分析】（1）根据 AB∥CD 可证明∠B＝∠C，根据 BF＝CE 可证明 BE＝CF，再依据 AAS 证明
△ABE≌△DCF即可得到结论；
（2）①证明CD＝CF即可得出结论；
②由平行线的性质得出∠C＝30°，再根据△CDF是等腰三角形求底角的度数即可解答．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF．即BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，BE＝CF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE＝DF；
（2）①△CDF是等腰三角形；
理由：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，
∵AB＝CF，
∴CD＝CF，
∴△CDF是等腰三角形；
②∵AB∥CD，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵△CDF是等腰三角形，
∴ ，
∴∠DFB＝180°﹣∠CFD＝105°．
13．（2023春•漳州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接AE，BD交
于点F，∠BAC＝∠BFE＝2∠AEB．
（1）说明：∠EAC＝∠ABD；
（2）若BD平分∠ABC，BE＝15，AF＝6，求△BEF的面积；
（3）判断EF，BF，AF之间的数量关系，并加以说明．【分析】（1）根据∠BAE+∠EAC＝∠BAC，∠BAE+∠ABD＝∠BDC，∠BAC＝∠BFE，即可证明结论；
（2）过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，求出∠ABE+∠AEB＝90°，得出∠BAE＝180°﹣90°＝90°，证明
FA⊥ AB ， 根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 出 FG ＝ AF ＝ 6 ， 根 据 三 角 形 面 积 公 式 求 出
；
（3）在BD上截取BH＝AE，连接AH，证明△ABH≌△CAE（SAS），得出∠AHB＝∠AEC，∠C＝
∠BAH，证明∠HAF＝∠AHF，得出AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，即可证明结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAE+∠EAC＝∠BAC，∠BAE+∠ABD＝∠BDC，
又∵∠BAC＝∠BFE，
∴∠BAE+∠EAC＝∠BAE+∠ABD，
∴∠EAC＝∠ABD；
（2）解：过点F作FG⊥BC于点G，如图所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABE＝∠C，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABE，
∴ ，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣90°＝90°，
∴FA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，FG⊥BC，
∴FG＝AF＝6，
∴ ；
（3）解：2AF＝BF﹣EF；理由如下：
在BD上截取BH＝AE，连接AH，如图所示：在△ABH和△CAE中，
，
∴△ABH≌△CAE（SAS），
∴∠AHB＝∠AEC，∠C＝∠BAH，
∴ ，
根据解析（2）可知，∠BAE＝90°，
∴∠HAF＝90°﹣∠BAH＝90°﹣∠C，
∴∠HAF＝∠AHF，
∴AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，
∴2AF＝BF﹣EF．
14．（2023春•宣汉县校级期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，
E，
（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．
①线段CD和BE的数量关系是：CD＝BE；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
解：①结论：CD＝BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝
在△ACD和△CBE中，（ ）
∴△ACD≌△CBE，（ ）
∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴
∵CE＝CD+DE＝BE+DE，
∴AD＝BE+DE．
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明
理由．
【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；
（2）结论：DE﹣BE＝AD，只要证明△ACD≌△CBE即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE
在△ACD和△CBE中，（ ）
∴△ACD≌△CBE，（ AAS）
∴CD＝BE．
②结论：AD＝BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE
∵CE＝CD+DE＝BE+DE，
∴AD＝BE+DE．
故答案为：∠CBE， ，AAS，AD＝CE．
（2）不成立，结论：DE﹣BE＝AD．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，（ AAS）∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE﹣BE＝DE﹣DC＝CE＝AD．
15．（2022秋•邹城市校级期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分
别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且
∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且
∠EAF＝ ∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ．
【分析】（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝
AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题；
（2）如图2，同理可得：EF＝BE+DF；
（3）如图 3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF 和
△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【解答】解：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝ ∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝ ∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（3）当（1）结论EF＝BE+FD成立，
当图三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝ ∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
同理可得：∴EG＝EF
∵EG＝BG﹣BE
∴EF＝FD﹣BE．
故答案为：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
16．（2023春•荣成市期末）已知在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B两点作互相平行的直线AM，BN，
过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．
（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；
（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判断线段AD，DC与BE之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）延长AC交BN于点F，证明△ADC≌△FEC（ASA），即可得出结论；
（2）在EB上截取EH＝EC，连接CH，证明△DAC≌△HCB
（AAS），得出AD＝CH，DC＝BH，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，延长AC交BN于点F，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
又∵AB⊥AM，
∴∠BAM＝90°，
又∵AM∥BN，
∴∠BAM+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴BC＝CF，
∴AC＝FC，又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，
在△ADC和△FEC中， ，
∴△ADC≌△FEC（ASA），
∴DC＝EC；
（2）解：AD+DC＝BE；理由如下：
如图2，在EB上截取EH＝EC，连接CH，
∵AC＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠DEB＝60°，
∴△CHE是等边三角形，
∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∵AM∥BN，
∴∠ADC+∠BEC＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DAC+∠DCA＝60°，
又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，
∴∠DCA+∠BCH＝60°，
∴∠DAC＝∠BCH，
在△DAC与△HCB中， ，
∴△DAC≌△HCB（AAS），
∴AD＝CH，DC＝BH，
又∵CH＝CE＝HE，
∴BE＝BH+HE＝DC+AD，
即AD+DC＝BE．
17．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．
（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终
点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；
（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它
们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再加上BP＝CQ＝3，PC＝BD＝5，则可判断
△BPD与△CQP全等；
（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解方程得到点P运动的路程为
3×10＝30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．
【解答】解：（1）∵BP＝3×1＝3，CQ＝3×1＝3，
∴BP＝CQ，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝5，
∵CP＝BC﹣BP＝5，
∴BD＝CP，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，
解得：x＝10，
∴点P运动的路程为3×10＝30，
∵30＝28+2，
∴此时点P在BC边上，
∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．
18．（2022秋•葫芦岛期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为CD的中点．
（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC ＝6，EH＝2，求AB的长．
（2）如图2，F为AC上一点，连接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求证：BD+CF＝AB．【分析】（1）利用三角形面积之间的关系进行转化，可得：S△AEC ＝6，再利用三角形面积公式可求得
AB＝6；
（2）通过倍延中线构造全等三角形的方法，延长BE至G，使EG＝BE，连接CG，则△BED≌△GEC
（SAS），再证明：△ABF≌△GBC（AAS）即可．
【解答】（1）解：∵AD＝2BD，S△BDC ＝6，
∴S△ACD ＝2S△BCD ＝2×6＝12，
∵E为CD中点，
∴S△ACE ＝ S△ACD ＝6，
∵EH⊥AC，
∴ AC•EH＝6，
∵EH＝2
∴AC＝6
∵AB＝AC
∴AB＝6
（2）证明：如图2，延长BE至G，使EG＝BE，连接CG，
在△BED和△GEC中，
，
∴△BED≌△GEC（SAS），
∴BD＝CG，∠ABE＝∠G，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
即：∠ABF+∠CBF＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠CBF，
∴∠ABF+∠BAC＝∠ACB，
∵∠BFC＝∠ABF+∠BAC，∴∠BFC＝∠ACB，
∴BF＝BC，
∵∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，
∴∠BAC＝∠G，∠ABF+∠EBF＝∠CBG+∠EBF，
∴∠ABF＝∠GBC，
在△ABF和△GBC中，
，
∴△ABF≌△GBC（AAS），
∴AF＝CG，
又∵BD＝CG，
∴AF＝BD，
∵AF+CF＝AC，AB＝AC，
∴BD+CF＝AB．
19．（2022秋•莱州市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE＝
AD，且∠DAE＝∠BAC＝ ．
（1）如图1，若 ＝60°，连接CE，DE．则∠ADE的度数为 ；BD与CE的数量关系是 ．
α
（2）如图2，若 ＝90°，连接EC、BE．试判断△BCE的形状，并说明理由．
α
α
【分析】（1）根据已知条件证明△ADE是等边三角形，然后证明△ABD≌△ACE（SAS），即可解决问
题；
（2）根据已知条件证明△ABC，△ADE是等腰直角三角形，然后证明△ABD≌△ACE（SAS），可得
∠ABD＝∠ACE＝45°，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）当∠DAE＝∠BAC＝ ＝60°时，
∵AE＝AD，∠DAE＝60°，
α
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：60°，BD＝CE；
（2）△BCE是直角三角形，理由如下：
当∠DAE＝∠BAC＝ ＝90°时，
∴△ABC，△ADE是等腰直角三角形，
α
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴△BCE是直角三角形．
20．（2023春•本溪期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝
CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F．
（1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF．
（2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？
【分析】（1）过点D作DG∥AC，交BC于点G，利用平行线的性质和等边对等角证明∠DGB＝∠B，
得到BD＝GD，进而推出GD＝CE，再证明△DGF≌△ECF，即可证明DF＝EF；
（2）分当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O，当点D在BA的延长线上时，
过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O，先证明△DHB≌△EOC，得到BH＝CO，进而求出HO＝4，
再证明△DHF≌△EOF，得到HF＝OF＝2，再根据线段之间的关系求出BH的长即可．
【解答】（1）证明：过点D作DG∥AC，交BC于点G．∴∠DGB＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠DGB＝∠B，
∴BD＝GD，
∵BD＝CE，
∴GD＝CE，
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，
在△DGF和△ECF中
，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DF＝EF；
（2）解：如图所示，当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠OCE，
又∵∠DHB＝∠EOC＝90°，BD＝CE，
∴△DHB≌△EOC（AAS），
∴BH＝CO，
∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4，
∵∠DHF＝∠EOF＝90°，∠DFH＝∠EFO，DF＝EF（由第一小问已经证明），
∴△DHF≌△EOF（AAS），
∴ ，
∵CF＝1，
∴BH＝CO＝OF﹣CF＝2﹣1＝1；
当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O，同理可证△DHB≌△EOC，△DHF≌△EOF，
∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4，
∴ ，
∵CF＝1，
∴BH＝CO＝OF+CF＝2+1＝3；
综上所述，BH的长为1或3．
21．（2023春•东源县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，
沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点
同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
【分析】（1）证明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可得
出结论；
（2）分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣
（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，进而可以解决问题；
（3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况列方程求解即可．
【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE；（2）解：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，
当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，
∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，
∴线段AP的长为2tcm或（16﹣2t）cm；
（3）解：根据题意得DQ＝tcm，
则EQ＝（8﹣t）cm，
由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝8cm，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤4时，2t＝8﹣t，
解得：t＝ ；
当4＜t≤8时，16﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝8；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为 或8．
22．（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的
速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运
动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动 秒时，AE＝ DC；
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝ ，则∠ADE＝ （用含 的式子表示）．
α α
【分析】（1）依据BD＝CE＝2t，可得CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，再根据当AE＝ DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），可得t的值；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，根据12﹣2t＝8，可得t的值；
（3）依据∠CDE＝∠BAD，∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，即可得
到∠ADE＝∠B，再根据∠BAC＝ ，AB＝AC，即可得出∠ADE．
【解答】解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，
α
∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，
∴当AE＝ DC，时，8﹣2t＝ （12﹣2t），
解得t＝3，
故答案为：3；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，
∴12﹣2t＝8，
解得t＝2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；
（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠BAC＝ ，AB＝AC，
α
∴∠ADE＝∠B＝ （180°﹣ ）＝90°﹣ ．
α α
故答案为：90°﹣ ．
α
23．（2022秋•通川区期末）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，
点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延
长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE．
（1）如图，当∠ACB＝90°时；
①求证：△BCM≌△ACN；
②求∠BDE的度数；
（2）当∠ACB＝ ，其它条件不变时，∠BDE的度数是 ．（用含 的代数式表示）
α α【分析】（1）①首先证明CM＝CN，再利用SAS证明△BCM≌△ACN；
②由平行线的性质和等腰三角形的性质可知∠BDE＝∠CAN+∠EAD，从而解决问题；
（2）由②同理可解决问题．
【解答】（1）①证明：∵CA＝CB，BN＝AM，
∴CM＝CN，
在△BCM和△ACN中，
，
∴△BCM≌△ACN（SAS）；
②解：∵△BCM≌△ACN，
∴∠CBM＝∠CAN，
∵AG∥BC，
∴∠CBM＝∠ADM，
∴∠ADM＝∠CAN，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAG＝90°，
∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD＝90°；
（2）解：当点E在直线AG上方时，由②同理可得∠BDE＝∠CAN+∠EAD，
∵∠ACB＝ ，
∴∠CAG＝ ，
α
∴∠BDE＝∠CAN+∠EAD＝180°﹣ ，
α
当点E在直线AG下方时，
α同理可得∠DBC＝∠CAN＝∠ADB，∠ACB＝∠DAC＝ ，
∵EA＝ED，
α
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠BDE＝∠DAC＝ ，
故答案为：180°﹣ 或 ．
α
24．（2023春•菏泽月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE
α α
交BC的延长线于点F．
（1）△DAE和△CFE全等吗？说明理由；
（2）若AB＝BC+AD，说明BE⊥AF；
（3）在（2）的条件下，若EF＝6，CE＝5，∠D＝90°，求E到AB的距离．
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE＝EF，AD＝CF，由于AB＝BC+AD，等量代换得到AB＝
BC+CF，即AB＝BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论；
（3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，得到∠ABE＝∠FBE，根据角平分线的性质即可得到结果．
【解答】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF，
∵AB＝BC+AD，
∴AB＝BC+CF，
即AB＝BF，在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SSS），
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
∴BE⊥AE；
（3）在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，
∴∠ABE＝∠FBE，
∴E到BF的距离等于E到AB的距离，
∵CE⊥BF，CE＝5，
∴点E到AB的距离为5．
25．（2023•宁阳县一模）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一
点，且DH＝AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
（1）求证：HC＝HB；
（2）判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）求证：∠BEH＝45°．【分析】（1）根据∠BCH＝∠HBC＝45°可得HC＝HB；
（2）利用SAS证明△AHC≌△DHB，得BD＝AC，∠1＝∠2，从而说明BD与AC垂直且相等；
（3）过点H作HF⊥HE交BE于点F，利用ASA证明△CHE≌△BHF，得EH＝FH，即可证明结论．
【解答】（1）证明：∵CH⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠BCH＝180°﹣（∠CHB+∠HBC）＝45°，
∴∠BCH＝∠HBC，
∴HC＝HB；
（2）解：BD＝AC；BD⊥AC；证明如下：
如图，
在△AHC和△DHB中，
∴△AHC≌△DHB（SAS），
∴BD＝AC，∠1＝∠2，
∵∠CDE＝∠BDH，
∴∠AEB＝∠BHC＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）证明：过点H作HF⊥HE交BE于点F，∴∠FHE＝90°，
即∠4+∠5＝90°．
又∵∠3+∠4＝∠BHC＝90°，
∴∠5＝∠3，
在△CHE和△BHF中，
∴△CHE≌△BHF（ASA），
∴EH＝FH，
又∵∠FHE＝90°，
∴ ．
26．（2023春•榆林期末）如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高
OM，AF⊥OM于F，BE⊥OM于E．小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角
∠OAF＝ ，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OBE＝ ．已知C，M，D
三点共线， 与 互余，且OA＝OB，AF＝8m，ME＝3m，求办公楼的高度OM．
α β
α β
【分析】根据余角的定义可得∠OAF+∠OBE＝90°，再根据垂直定义可得∠AFO＝∠OEB＝90°，从而利
用直角三角形的两个锐角互余可得∠OAF+∠AOF＝90°，进而可得∠AOF＝∠OBE，然后利用AAS证明
△AFO≌△OEB，从而利用全等三角形的性质可得OE＝AF＝8m，最后利用线段的和差关系进行计算，
即可解答．
【解答】解：∵a与 互余，
∴∠OAF+∠OBE＝90°，
β
∵AF⊥OM，BE⊥OM，∴∠AFO＝∠OEB＝90°，
∴∠OAF+∠AOF＝90°，
∴∠AOF＝∠OBE，
在△AFO和△OEB中，
，
∴△AFO≌△OEB（AAS），
∴OE＝AF＝8m，
∵ME＝3m，
∴OM＝OE+EM＝AF+EM＝8+3＝11（m），
∴办公楼的高度OM为11m．
27．（2023春•分宜县期末）如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二
象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：DA平分∠CDE；
（2）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，
请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
【分析】（1）由“AAS”可证△ACM≌△ABN，可得AM＝AN，由角平分线的性质可得结论；
（2）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求
∠BAC的度数．
【解答】（1）证明：如图，过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，
则∠AMC＝∠ANB＝90°．
∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
在△ACM和△ABN中，
，∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE；
（2）解：∠BAC的度数不变化．
如图，在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD+BD，
∴AD＝PD，
在△ABD和△ACP中，
，
∴△ABD≌△ACP（SAS），
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，
∴AD＝AP＝PD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°．
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝∠BAP+∠BAD＝60°．
28．（2023春•萧县期末）在△ABC中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称△ABC
为n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝120°，则称△ABC为6倍角三角形．
（1）在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，则△ABC为 倍角三角形；
（2）若一个等腰三角形是2倍角三角形，求最小内角的度数；
（3）如图，点E在DF上，BE交AD于点C，AB＝AD，∠BAD＝∠EAF．∠B＝∠D＝25°，∠F＝
75°，找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．【分析】（1）根据三角形内角和求出∠C，再利用n倍角三角形定义即可求得△ABC为3倍角三角形；
（2）设最小内角的度数为x°，根据“一个等腰三角形是4倍角三角形”可得最大角为4x°，再利用三角
形内角和即可求得x，即最小角的度数；
（3）利用ASA证明△BAE≌△DAF，得到AE＝AF，求得∠EAF，进而得到∠ACB，即可得到△ABC为
5倍角三角形，同理可得△DEC为5倍角三角形．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
∵105°÷35°＝3，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）设最小内角的度数为x°，则最大角为2x°，
当最小角是等腰三角形的顶角时，则底角为2x°，得：2x+2x+x＝180，
解得x＝36，
当最小角是等腰三角形的底角时，则底角为x°，得：2x+x+x＝180，
解得x＝45，
∴最小内角的度数为36°或45°；
（3）∵∠BAD＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠DAF，
在△BAE和△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠F＝75°，
∴∠EAF＝180°﹣75°×2＝30°，
∴∠BAD＝∠EAF＝30°，
∵∠B＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝125°，
∵125°÷25°＝5，
∴△ABC为5倍角三角形，∵∠D＝25°，∠DCE＝∠ACB＝125°，
∴∠CED＝180°﹣∠D﹣∠DCE＝30°，
∵125°÷25°＝5，
∴△DEC为5倍角三角形，
∴图中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它们都是5倍角三角形．
29．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝
BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可；
（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．
【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
，
∴△CBD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△CBD≌△CAE，
∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），
故答案为：8；
（3）AE⊥BD，理由如下：
AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，
∴∠ADO＝∠CEO，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠OAD＝∠OCE＝90°，
∴AE⊥BD．
30．（2023春•达州期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，D为AC边上的一点，连接BD，E为BD上的一点，
连接CE，∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE，垂足G．AG交ED于点F．
（1）判断AF与AD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若AC＝CE，D为AC的中点，AB与AC相等吗？为什么？
【分析】（1）利用三角形的内角和定理，构建关系式解决问题即可．
（2）证明△ABF≌△CED（AAS）即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：AF＝AD．
理由：如图1中，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABD，
∵AG⊥CE，
∴∠FGE＝90°，
∴∠EFG＝∠AFD＝90°﹣∠CED，
∵∠CED＝∠ABD，∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD．
（2）结论：AB＝AC．
理由：如图2中，
∵∠AFD＝90°﹣∠CED，∠ADB＝90°﹣∠ABD，∠CED＝∠ABD，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，∠BFA＝180°﹣∠AFD＝180°﹣∠ADF＝∠CDE，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AF，
∴△ABF≌△CED（AAS），
∴AB＝CE，
∵CE＝AC，
∴AB＝AC．
