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专题第 1 讲 解一元二次方程与实际应用（40 题）
解一元二次方程（15 题）
1．解方程：
（1）x2+6x﹣5＝0； （2）（3x﹣2）2＝（2x﹣3）2．
2．解下列方程：
（1）x2﹣10x+16＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0．
3．解方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0； （2）x（x﹣2）＝1；
（3）x2﹣2x+1＝9； （4）2x2﹣2x﹣1＝0．
4．解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x2﹣5x﹣1＝0．
5．解方程：（1）x2+8x﹣1＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
6．解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0； （2）3x2﹣5x+1＝0．
7．用指定的方法解下列方程：
（1）x2+6x﹣16＝0（配方法）； （2）x2+10x+9＝0（公式法）．
8．用适当的方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣6＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）．
9．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2+x﹣4＝0； （2）（2x+1）2+15＝8（2x+1）．
10．（2x2+3x）2﹣4（2x2+3x）﹣5＝0．11．计算：
（1）3x2﹣5x﹣3＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
12．解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
13．解下列方程：
（1） ； （2）x2﹣6x＝4；
（3）3x（2x+1）＝2（2x+1）； （4）2x2﹣7x+3＝0．
14．请用合适的方法解下列方程：
（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）； （2）2x2﹣3x﹣14＝0．15．解方程：
（1）x2+8x＝9（用配方法解）； （2）3x2﹣5x＝2（用公式法解）；
（3）（x﹣4）2＝9； （4）x2﹣7x+6＝0；
（5）（x+3）2＝2x+6； （6）（x+3）2＝（1﹣2x）2．
一元二次方程的实际应用（25 题）
16．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
17．2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要
场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末
累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+2x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
18．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由 16元降为9元，
设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9 C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
19．某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，
由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
D．200[1+x+（1+x）2]＝1000
20．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场
调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件
售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450
C．（20﹣x）（200+40x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450
21．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱
上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问
绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82
22．为了满足师生的阅读要求，某校图书馆的藏书逐年增加，从2018年年底至2020年年底该校的藏书由
4.5万册增加到6.48万册，设某校2018年年底至2020年年底藏书的年平均增长率为x，则可列方程为（
）A．4.5+4.5（1+x）+4.5（1+x）2＝6.48
B．4.5×2（1+x）＝6.48
C．4.5（1+2x）＝6.48
D．4.5（1+x）2＝6.48
23．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程得（ ）
A．2（x+1）＝121 B．x+x（1+x）＝121
C．1+x+x（1+x）＝121 D．1+（1+x）2＝121
24．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为 18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的
实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面
积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（ ）
A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144
C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144
25．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入 3
株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使
每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是
（ ）
A．（x﹣3）（10﹣x）＝40 B．（x+3）（10﹣x）＝40
C．（x﹣3）（10+x）＝40 D．（x+3）（10+x）＝40
26．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长 60cm，宽40cm，中间镶有宽
度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的
宽度；
27．昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，
进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则
月销售量将减少10个，设售价在40元/个的基础上涨价x元．
（1）用含有x的代数式表示月销售量y；
（2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
28．道州脐橙果大、皮薄，色泽鲜艳，果肉多汁化渣，风味浓郁，果汁中含有大量的维生素及对人体有益
的矿物质，深受消费者的喜爱．某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均
亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产
量达到2880千克．
（1）若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？
（2）2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发
现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下
降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？
29．2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，
该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价 80元的“冰
墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少
10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？30．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的
利润率年提高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为3.92亿元．
（1）求该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率；
（2）若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过5.5亿元？
31．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为
12.5万人．
（1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知
北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多
少万人？32．某商店经销一种销售成本为每千克30元的水产品．据某乐同学在市场分析，若按每千克40元销售，
一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．
（1）当销售单价是定为每千克45元时，求月销售利润；
（2）某商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为
多少？
33．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天
收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？34．2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为
“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月
生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情
况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
35．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的
快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10万件和12.1万件．现假定该公司每月
的投递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今
年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？36．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够
长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）．
（1）若花园的面积为400平方米，求AB的长；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树
围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；
若不能，请说明理由．
37．“杭州亚运•三人制篮球”赛将于9月25﹣10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮
球服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降
价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件．
（1）若降价5元，求平均每天的销售数量；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？38．2018﹣2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，
2020年新冠病毒爆发，目前各行各业都存在潜在的变化，例如 2019年猪肉价格持续高涨，引起了政府、
市场监督等部门的高度重视，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，由于猪瘟疫情，生猪
减少，市场对猪肉的需求量持续增加，所以猪肉价格持续上涨，已知2020年1月猪肉的售价比2019年
1月上涨了5a%，市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元．
（1）求a的值；
（2）双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售
出150千克，因为政府部门的高度重视，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，精品瘦肉的售价每千克
下降1元，其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，并尽
可能让消费者得到实惠，精品瘦肉的售价应为多少元？
39．今年元旦期间，某网络经销商进购了一批节日彩灯，彩灯的进价为每条40元，当销售单价定为52元
时，每天可售出180条，为了扩大销售，决定采取适当的降价措施，经调查：销售单价每降低 1元，则
每天可多售出10条．若设这批节日彩灯的销售单价为x（元），每天的销售量为y（条）．
（1）求每天的销售量y（条）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为2000元？40．滑雪运动是一种有氧运动，能锻炼人的意志，增强人体的平衡能力，锻炼协调能力，增强心肺功能，
振奋低落的情绪，大众参与度也逐年增高．丰都南天湖滑雪场推出了一种滑雪套票，采用网络购票和现
场购票两种方式，从网上平台购买4张套票的费用比现场购买2张套票的费用多80元，从网上购买点2
张套票的费用和现场购买3张套票的费用共520元．
（1）求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元；
（2）2023年元旦当天，该滑雪场按各自的价格在网上和现场售出的总票数为 300张．元旦刚过，玩滑
雪的人数下降，于是该滑雪场决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发
现现场购票每降价2元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加6张，经统计，1月3日的总票数
中有 通过现场售出，其余均由网上平台售出，且当天该滑雪场的总销售额为 29700元．请问该滑雪场
在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了多少元？
