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微考点 6-6 圆锥曲线中斜率和积与韦达定理的应用
【考点分析】
斜率和（积）构造与韦达定理
目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和（积）构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定
点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点. 倘若定点 ，在椭圆上的动点 ，
那么：
① ，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直
接代入韦达定理求解.
② ,这里对交叉项 的处理可进一步代入直线
方程： ，化简可得：
（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很
重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.
③ .
可进一步代入直线方程： ，化简可得：
【精选例题】
【例1】已知椭圆 的离心率为 ，点 在C上．过C的右焦点F的直线交C
于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；(2)若动点P满足 ，求动点P的轨迹方程．
【答案】(1) ；(2)x＝2
【详解】（1）由题意，b＝1， ，又 ，解得b＝1， ，c＝1．故椭圆C的方程为
．
（2）直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为 ．
设 ， ， ．将 代入 ，得 ．
于是 ， ．①由题意，有 ，即
．显然点 不在直线 上，∴ ，
从而
．将式①代入，得 ，化简得
．
当直线MN的斜率不存在时，经检验符合题意．故满足题意的点P的轨迹方程为直线x＝2．
【例2】已知点 在双曲线 上，直线 （不过点 ）的斜率为 ，且交双曲线于 、 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)求证：直线 、 的斜率之和为定值.
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【详解】（1）解：将点 的坐标代入双曲线 的方程可得 ，解得 ，所以，双曲
线 的方程为 .
（2）证明：由题意，设直线 的方程为 ，设 、
，
联立 可得 ，
，解得 或 ，由韦达定理可得 ， ，
所以，
.可得直线 、 的斜率之和为 .
【例3】已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，椭圆的上顶点到右顶点的距离为
．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为 、 ，过点 作直线与椭圆交于 、 两点，且 、 位于第一象限， 在线段 上，直线 与直线 相交于点 ，连接 、 ，直线 、 的斜率分别记为 、
，求 的值．
【答案】(1) ；(2)
【详解】（1）解：由题意知， ，椭圆的上顶点到右顶点的距离为 ，即
，解得 ， ， ，因此，椭圆的方程为 ．
（2）解：如下图所示：不妨设 、 ，由图可知，直
线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，因为点 ，
则 ，则 ，联立 可得
， ，可得 ，即
，解得 ，由韦达定理可得 ，解得 ，
所以， ，易知 、 ，由于 在直线 上，设 ，又由于 在直线 上，则 ，所以， ，
.
【例4】已知椭圆 的离心率是 ，且过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的左、右顶点分别为 ， ，且P，Q为椭圆C上异于 ， 的点，若直线 过点 ，是
否存在实数 ，使得 恒成立．若存在，求实数 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在实数 ，满足题设条件
【详解】（1）由题意， ， ，解得： ①．∵点 在椭圆C上，∴
②
联立①、②，解得 ， ，故所求椭圆C的标准方程是
（2）解法一：由（1）知 ， ．当直线 斜率不存在时， ．与椭圆联立可得
， ，则 ， ，故而 ，可得 ；得当直线 斜率存在且不为0时，设 ，令 ， ，则 ， ．联立
消去y并整理，
得 ，则由韦达定理得， ，假设存在实数 ，使得 ，
则 ，即 ，整理得
，
变形为 ，则
，即 ，
即 ，即 或 ，得 或 ．
当 时， ．此时， ，
整理得 ，解得 与题设矛盾，所以 ，所以 ．
解法二：由（1）知， ， ．可设 ， ， ．
联立 ，得 ，由韦达定理得： ，
，所以 ，所以
故存在实数 ，满足题设条件．
【例5】已知椭圆 ： 的右焦点 在直线 上， 分别为 的左、右顶
点，且 .
(1)求 的标准方程；
(2)已知 ，是否存在过点 的直线 交 于 ， 两点，使得直线 ， 的斜率之和等
于-1?若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)存在，其方程为：
【详解】（1）设右焦点 ，直线 与 轴的交点为 ，所以椭圆 右焦点 的坐标为
故在椭圆 中 ，由题意 ，结合 ，则 ，
所以椭圆 的方程为：
（2）当直线 的斜率为0时，显然不满足条件 ，当直线
的倾斜角不为 时，设直线 的方程为： ，
，由 ，可得 ，
由题意 ，则由
，化简可得 ，由 ，即
，故存在满足条件的直线，直线 的方程为：
【例6】双曲线C： 的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲
线C于B，D两点，且 是直角三角形．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k，k，若 ，试问：直线MN是否经过
1 2
定点？证明你的结论．
【答案】(1) ，(2)过定点，理由见解析
【详解】（1）根据题意可得 ， ，半焦距 ，则 ，当 时，
， ，所以 ，所以 ，由 ，得 ，
所以 ，
，解得 或 （舍去），所以 ，所以双曲线方程为 ，
（2）由题意可知直线 的斜率不为零，所以设直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，由 ，得
，
所以 ，由（1）知 ，所以 ，因为 ，所
以 ，所以 ，所以 ，化简得 ，所以
，
所以 ，化简得 ，解得 或 ，
因为M，N是C右支上的两动点，所以 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，所以直线
恒过定点
【跟踪训练】
1.已知椭圆 的左右顶点分别为 ，上顶点为 为椭圆 上异于四个顶点的任意一点，直
线 交 于点 ，直线 交 轴于点 .
(1)求 面积的最大值；
(2)记直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值.
【答案】(1) ；(2)证明见解析【详解】（1）方法1：如图所示，
由题意知， ， ， ，设 ，则 ，
点 到直线 的距离为： ，所以
，所以 .故△MBD面积的最大
值为： .
方法2：设与 平行的直线 ，联立 得 ，令
，显然当 时 与椭圆的切点与直线 的距离最大，
，所以 .故△MBD面积的最大值为： .
（2）如图所示，设直线 ，联立 得
，则点 的坐标为 ，设点 为 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，联立 得点 的坐标为 ，所以
， ，所以
.故 为定值 .
2.已知点 为双曲线 上一点， 的左焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)不过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线
过定点，并求该定点的坐标.
【答案】(1) ；(2)证明见解析，定点为 .
【详解】（1）设 到渐近线 ，即 的距离为 ，则 ，结合
得 ，又 在双曲线 上，所以 ，得 ，所以双曲线 的标准
方程为 .
（2）联立 ，消去 并整理得 ，则 ，，即 ，设 ， ，则 ，
，
则
，所以 ，
所以 ，所以 ，
整理得 ，所以 ，所以 ，
因为直线 不过 ，即 ， ，所以 ，即 ，所以直线
，即 过定点 .
3.已知椭圆 ： ， ，点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过点 且不与 轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点， ，证明 ， 斜率之积
为定值．解析：（1）由题意得 ，故椭圆 为 ，又点 在 上，所以 ，得
， ，故椭圆 的方程即为 ；
（2）由已知直线 过 ，设 的方程为 ，联立两个方程得 ，消去 得：
， 得 ，设 ， ，则
， （*），因为 ，故
，将（*）代入上式，可得： ，∴直线 与 斜率之积为定值
．
4.在平面直角坐标系中，已知两定点 ， ，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足
N介于A和B之间，且 ．
(1)求动点M的轨迹 ；
(2)设过 的直线交曲线 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为 ，
， ，且满足 ．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，
请说明理由．
【答案】(1) ；(2)在定直线y＝8（x≠0）上．【详解】（1）设 ，则 ，由题意知－4＜x＜4．
∵ ，∴ ，即 ，故动点M的轨迹 为 ．
（2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下：
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1．
设 ， ， ，则 ， ， ，由此知 ．
将y＝kx＋1代入 ，得 ，于是 ， ．①
条件 即 ，也即 ．
将 ， 代入得
．
显然 不在直线y＝kx＋1上，∴ ，从而得 ，即
．
将 ， 代入得 ．将式①代入得 ，
解得 ．当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意．因此存在满足题意的Q，在定直线y＝
8（x≠0）上．
5.设椭圆 的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为 ．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．【答案】(1) 或 ．(2)证明见解析
【详解】（1）由已知得 ，直线l的方程为x＝1．l的方程与C的方程联立可得 或
．
∴直线AM的方程为 或 ．
（2）证明：证法一（【通性通法】分类＋常规联立）当 与 轴重合时， ．
当 与 轴垂直时， 为 的垂直平分线，∴ ．当 与 轴不重合也不垂直时，设 的方
程为 ， ，则 ，直线 、 的斜率之和为
．
由 得 ．将 代入 得
．∴ ．则
．从而 ，故 、 的倾斜角互补，∴
．综上， ．
6.设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为 和 ．求证： 为定值．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【详解】（1）由题意， ，直线l的方程为 ，代入 ，得 ．于是
，∴焦点弦 ，解得p＝2．故抛物线E的方程为 ．
（2）因 在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为 ，代入 ，得
．由 ，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得
．易知直线MN的斜率存在，设其方程为 ，设 ， ．将 代
入 ，得 ．于是 ， ，且 ， ．
∴
．故 为定值2．
7.已知椭圆 经过点 ，离心率为 ．过点 的直线l与椭圆E交于不同的
两点M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为 和 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2)【详解】（1）由题意， ， ，且 ，解得 ， ．故椭圆E的方程为
．
（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋2，设 ， ．
将y＝kx＋2代入 ，消去y得 ；消去x得
．于是 ， ， ， ．
∴
．
当直线l的斜率不存在时， ， ，此时 ．综上，
1．已知 为坐标原点，过点 的动直线 与抛物线 相交于 两点．
(1)求 ；
(2)在平面直角坐标系 中，是否存在不同于点 的定点 ，使得 恒成立？若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在， .
【分析】（1）设出直线 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积的坐标表示计算即得.
（2）利用（1）中信息，结合斜率坐标公式列式求解即得.
【详解】（1）显然直线 不垂直于y轴，设直线 的方程为 ， ，由 消去x并整理得 ，显然 ，于是 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
假定存在不同于点 的定点 ，使得 恒成立，由抛物线对称性知，点 在x轴上，设
，
则直线 的斜率互为相反数，即 ，即 ，
整理得 ，即 ，亦即 ，而 不恒为0，则 ，
所以存在不同于点 的定点 ，使得 恒成立，点 的坐标为 .
2．设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为1的直线与 交于 两点，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知过点 的直线 与 交于不重合的两点 ，且 ，直线 和 的斜率分别为 和
.求证： 为定值.
【答案】(1) ;(2)证明过程见解析
【分析】（1）设出直线 方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由焦点弦公式得到方程，
求出 ，得到抛物线方程；（2）当直线 的斜率为0时不合要求，设直线 为 ，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之
积，求出 ，得到结论.
【详解】（1）由题意得 ，故直线 方程为 ，
联立 与 得 ，
设 ，
则 ，
则 ，所以 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 ；
（2）当直线 的斜率为0时，直线 与抛物线只有1个交点，不合要求，
设直线 为 ，联立 得， ，
设 ，
则 ，
则 ，
所以
.所以， 为定值.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
3．已知双曲线 的左､右顶点分别为 ，点 在 上，且 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与 交于 两点，记直线 的斜率分别为 ，若 ，求 的值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）将 代入，并结合 得到方程组，求出 ，， ，得到双曲线方程；
（2）联立 与 ，得到两根之和，两根之积，根据根的判别式得到 的取值范围，结
合 ，变形得到 ，求出答案.
【详解】（1）由题意得 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 或4，
当 时， ，解得 ，满足要求，当 时， ，无解，舍去；
所以 ；
（2）联立 与 得 ，
要想线 与 交于 两点，则要 ，
解得 且 ，
设 ， ，
则 ，
其中 ， ，
故
，
因为 ，所以 ，
即 ，
变形为 ，
即 ①，要想①恒成立，则 ，解得 ，满足 且 ，
故 .
【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，
再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中已经给出等量关系，只需代入化简整理即可.
4．已知椭圆 的离心率为 ， 、 分别为椭圆 的左、右顶点， 、 分别为椭
圆 的左、右焦点， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 、 两点（ 、 在 轴的两侧），记直线 ， ， ，
的斜率分别为 ， ， ， ．
（i）求 的值；
（ii）若 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ；(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）结合离心率与焦点到顶点的距离计算即可得；
（2）（i）设出直线，联立后消去 得与 有关的韦达定理后求解即可得；
（ii）借助（i）中的结论，将 面积用未知数表达后结合换元法借助函数性质求最最值即可得.【详解】（1）由于椭圆 的离心率为 ，故 ，
又 ，所以 ， ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）（i）设 与 轴交点为 ，由于直线 交椭圆Ｃ于 、 两点（ 、 在 轴的两侧），
故直线 的的斜率不为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，则 ，
则 ，
设 ， ，则 ， ，
又 ， ，
故 ，
同理 ．
（ii）因为 ，则 ， ．
又直线 交与 轴不垂直可得 ，所以 ，即 ．
所以 ， ，于是 ，
，
整理得 ，解得 或 ，
因为 、 在 轴的两侧，所以 ， ，
又 时，直线 与椭圆 有两个不同交点，
因此 ，直线 恒过点 ，
此时 ， ，
，
设 ，由直线 交与 轴不垂直可得 ，
故 ，
因为 在 上为减函数，
所以 面积的取值范围为 .
【点睛】本题关键在面积的表示及运算，结合换元法解决最后分式不等式的范围问题.
5．已知曲线C上的任意一点到直线 的距离是它到点 的距离的 倍.
(1)求曲线C的方程;
(2)设 ， ，过点 的直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的
斜率分别为 ， ，求直线l的斜率k的取值范围以及 的值.【答案】(1) ；(2) ，
【分析】（1）设出点的坐标，根据题意计算即可得；
（2）设出直线方程与两交点的坐标，将直线方程与曲线方程联立后得到与纵坐标有关的韦达定理，由交
点都在双曲线右侧计算可得斜率范围，计算 可得 ，即可得 .
【详解】（1）设 是曲线C上的任意一点，则 ，
化简得 ，
所以曲线C的方程为 ；
（2）设 ， ，直线AB的方程为 ，
由 ，消去x并整理得 ，
则 ， ，
则 ， ，
因为直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，即 ，解得 ，
即 ，解得 或 ，
所以直线l的斜率k的取值范围是 ，
又
，
即 ，所以 .
【点睛】关键点睛：求解圆锥曲线中与直线斜率有关问题时，常常将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合
韦达定理以及斜率公式求解.
6．已知椭圆 的离心率 ，短轴长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且斜率不为 的动直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是直线 上一定点，设直线
、 的斜率分别为 、 ，若 为定值，求点 的坐标.【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 的方程；
（2）设 、 、 ，设直线 的方程为 ，由根与系数的关
系可得出 ，进而可得出
，化简 的表达式，根据 为定值可得出关于 、
的等式，结合 可求得 、 的值，即可得出点 的坐标.
【详解】（1）解：因为椭圆 的离心率 ，短轴长为 ，
则 ，解得 ，故椭圆 的方程为 .
（2）解：设 、 、 ，
设直线 的方程为 ，
由 得 ，
因为 、 为方程 的两根，所以 ，
则 ，
由 ，得 ，
由 得 ，
同理可得 ，
则
，
若 为定值，则必有 ，
结合点 在直线 上，即 ，解得 ，
所以点 坐标为 ，则 ，
综上所述，当 时， 为定值.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
7．在平面直角坐标系内，已知 两点关于原点对称，且 的坐标为 . 曲线 上的动点 满足当直线 的斜率 都存在时， .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知直线 过点 且与曲线 交于 两点，问是否存在定点 ，使得直线 关于 轴对称？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1) ；(2)存在，
【分析】（1）由题意 ，化简并整理即可，注意 .
（2）设 ， ，由题意 ，即 ，将直线方程
与椭圆方程联立结合韦达定理即可求解.
【详解】（1）由题意设 ，且 ，
又 ，化简并整理得 ，
曲线 的方程为 .
（2）假设存在 满足题意，并设 ，
联立 ，得 ，
则 .
因为直线 关于 轴对称，所以 ，
即 ，
即 对任意 成立，所以 ，
即假设成立，存在定点 满足题意.8．在平面直角坐标系 中， 是直角三角形， ， ，点 ， 分别在 轴和 轴
上运动，点 关于 的对称点为 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 ， 两点， ，求直线 ， 的斜率之和.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）设 ， ， ，由题意可得 为 的中点，然后利用中点坐标公式可得
， ，再由 结合向量的数量积可求出动点 的轨迹方程；
（2）由题意设直线 的方程为 ， ， ，表示出 和 ，再将直线方程代入抛
物线方程，化简后利用根与系数的关系，然后计算化简 与 的和即可.
【详解】（1）设 ， ， ，由点 关于 的对称点为 ，得 为 的中点，
所以 ， ，
即 ， .
又 ，所以 ，即 ，
化简，得 ，
又 ， 不重合，所以 ， ，
故动点 的轨迹方程为 .（2）由题意知直线 的斜率存在，故设直线 的方程为 ， ， ，
则 ， ，
由 ，得 ，
所以 ， ， ，
所以 .
