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专题 07 平行四边形易错必刷题型专训（81 题 27 个考点）
【易错必刷一 利用平行四边形的性质求解】
1．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图， 的对角线 相交于点 ．已知
的周长比 的周长多 ，则 的长为（ ） ．
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是牢记平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分．
根据平行四边形对角线互相平分可得 ，再由 的周长比 的周长多 ，可以求出 ，
根据 即可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ．
∵ 的周长比 的周长多 ，
∴ ，
，
，
．
故选：C
2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，平行四边形 中，P是四边形内任意一点， ，
， ， 的面积分别为 ， ， ， ，则 (填“>”、“<”、“=”)【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据题意得出 为平行四边形 面积的一半， 也
为平行四边形 面积的一半，即可得解，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ 为平行四边形 面积的一半， 也为平行四边形 面积的一半，
∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形 是平行四边形．
(1)当 时，求其余各内角的度数；
(2)当 ，四边形 的周长等于22时，求其余三边的长．
【答案】(1) ；
(2) ，
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质：
（1）平行四边形的两组对边分别平行，据此根据平行线的性质求解对应角的度数即可；
（2）平行四边形两组对边分别相等，则可得到 的长，再根据四边形周长计算公式求出 的长即
可．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 的周长为22，
∴ ，
∴ ．【易错必刷二 利用平行四边形的性质证明】
4．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）（1）如图，在 中，E、F是对角线 上的两点，并且
，求证： ．
（2）如图，已知 和 的顶点A、E、F、C在同一条直线上，求证： ．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过平行四边形的性质
找出边角关系证明三角形全等．
（1）先证 ，再证 ，问题即可得证；
（2）连接 ，交 于点 ，证 问题即可得证．
【详解】证明：（1）在 中， ，
，
，
，
；
（2）如图，连接 ，交 于点 ，
在 中， ，
在 ， ，
，即 ．5．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在 的边 、 上截取线段 、 ，使 ，
连结 ，M、N是线段 上的两点，且 ，连结 、 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用平行线的性质，根据 证
明 ，由此得 ，进而可证 ．
【详解】证明： 四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
6．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在
中，连接对角线 于点E，过点B作 的垂线 ，垂足为F，试证明线段 与
相等．小刚的思路是证三角形全等解决问题．请根据小刚的思路完成下面作图和解答：
用直尺和圆规，完成基本作图：过点B作 的垂线，垂足为点F（保留作图痕迹，不写作法）．
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴____________①， ．．（____________②）
，
∴____________③．
．
．
于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到____________④相等．
【答案】作图见解析；① ；②两直线平行内错角相等；③ ；④对角线的距离
【分析】本题主要考查了尺规作垂线，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，先以点B为圆心，
任意长为半径画弧，交 于M、N两点，再分别以M、N为圆心大于 为半径画弧，两弧交于点P，
连接 ，交 于点F，根据平行四边形的性质和平行线的性质，证明 即可得出答案．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ①， ．
．（两直线平行内错角相等②）
，
∴ ③，
，
．
于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到对角线的距离④相等．
【易错必刷三 平行四边形性质的其他应用】
7．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶
点称为格点．点 、 、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作平行四边
形 ，使点 、 均在格点上．(1)在图①中，点 是平行四边形 对称中心；
(2)在图②中，点 在平行四边形 的边上且不与顶点重合；
(3)在图③中，点 在平行四边形 的内部且不是对称中心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的性质；
（1）根据平行四边形的性质画图即可；
（2）根据平行四边形的性质画图即可；
（3）根据平行四边形的性质画图即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示
（3）如图所示
或
8．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在 的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点 和点 都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．
(1)图1中，以 为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；
(2)图2中，以 为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10．
（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据平行四边形的面积公式及对边平行的性质即可求解；
(2)根据平行四边形的面积公式，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】（1）解：如下图所示，均以AB为边作平行四边形，且面积为6．
（2）解：如下图所示，均以AB为对角线作平行四边形，且面积为10．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、性质及平行四边形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用数
形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
9．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点 ， 均在格点上．(1)在图1中画出以 为边且面积为6的 ，点 和点 均在格点上（画出一个即可）．
(2)在图2中画出以 为对角线且面积为6的 ，点 和点 均在格点上（画出一个即可）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的面积等于底乘以高=6画图即可；
（2）以AB为边画两个全等的直角三角形，且每个的面积为3即可．
【详解】（1）（1）
（2）（2） （答案不唯一）
【点睛】此题考查了画平行四边形，正确理解平行四边形的定义是解题的关键．【易错必刷四 添一个条件成为平行四边形】
10．（23-24八年级下·山东济宁·期末）四边形 的对角线 相交于点O， ，添加下列
条件， 能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，
熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：如图：
A、∵ ， ， 不是夹角，∴不能判定四边形 是平行四边形；故该选
项是错误的；
B、∵ ， ，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形 为平行四边形；
故该选项是正确的；
C、∵ ， ， 不是夹角，∴不能判定四边形 是平行四边形；故该选
项是错误的；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形 为平行四边形；
D、∵ ， ， ，∴不能判定四边形 是平行四边形；故该选项
是错误的；
故选：B
11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中，若 ，在不添加任何辅助线的情
况下，请你添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论．
【详解】解：添加条件 ，可得四边形 为平行四边形，理由如下：
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
故答案为： （答案不唯一）．
12．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在 中，连接BD，点E、F在线段BD上，连接AE、
EC、CF、FA．
(1)请你添加一个条件：__________，使四边形AECF是平行四边形；（只填一个）
(2)根据已知及（1）中你所添加的条件，证明：四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)BE＝DF；
(2)见解析
【分析】（1）本题答案不唯一，可以添加BE=DF；
（2）根据平行四边形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，然后求出EO＝FO，再利用平行四边形判定定理证
明．
【详解】（1）添加BE＝DF，使四边形AECF是平行四边形；
故答案为：BE＝DF；
（2）证明：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．【易错必刷五 数图形中平行四边形的个数】
13．（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图所示的 正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段
的两个端点都在格点上，若线段 为 的一边， 的四个顶点都在 正方形网格的格
点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型．
根据平行四边形的判定定理，即可解决问题．
【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个，
故选：D．
14．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是由小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做
格点，线段 的两个端点都是格点，以 为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的
平行四边形最多可以作（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题．
【详解】如图所示，根据网格的特点可得，
四边形 ， ， ， ， ，为平行四边形，
所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故选C．
15．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图
中平行四边形的个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第
个图中平行四边形的个数为 是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是
个，第二个图中平行四边形的个数是 ，第三个图中平行四边形的个数是 ，
由此发现规律解答即可．
【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是 个，
第二个图中平行四边形的个数是 ，
第三个图中平行四边形的个数是 ，
∴第 个图中平行四边形的个数是 ，
故答案为： ．【易错必刷六 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】
16．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画
平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 ．
【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3)
【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点
坐标．
【详解】解：如图，
以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四
个顶点D；
1
以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四
个顶点D；
2
以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（6，3）就是第四个
顶点D；
3
∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3），
故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）．
【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，
平移的性质是解题关键．
17．（23-24九年级上·山东烟台·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是 ， ，
，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有 个．
【答案】3
【分析】作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解．
【详解】解：如图所示，①AB为对角线时，点D的坐标为（3，-3），
②BC为对角线时，点D的坐标为（7，3），
③AC为对角线时，点D的坐标为（-3，3），
综上所述，点D的坐标是（7，3），（-3，3），（3，-3）．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定，根据题意作出图形，注意要分情况进行讨论．
18．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，若建立平面直角
坐标系，则图中点A、B的坐标分别为 ， ．
(1)请在图中建立满足条件的平面直角坐标系，并写出点C关于x轴对称的点 的坐标；
(2)你认为 是直角三角形吗？并说明理由；
(3)网格内是否存在点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请在网格内画出图
形并直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)图见解析，
(2)不是，理由见解析(3)存在，图见解析，
【分析】本题考查了图形与坐标，涉及根据坐标建立直角坐标系，关于x轴对称的点的特征，勾股定理逆
定理，平行四边形的判定，熟练掌握这些方法是解题的关键．
（1）根据两点坐标建立坐标系即可，再利用关于x轴对称的点的特征求点 的坐标；
（2）分别求出 ， ， ，利用勾股定理逆定理判定方法判定即可；
（3）图中只有以 为对角线时，点A、B、C、D为顶点的平行四边形才能在网格内，画出图形即可得．
【详解】（1）解：建立直角坐标系如图：
由图知： ，
则点C关于x轴对称的点 的坐标为 ；
（2）解： 不是直角三角形，理由如下：
，
，
，
∵ ，∴ 不是直角三角形；
（3）存在点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
当以 和 为对角线时，以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，此时点 不在网格内；
当以 为对角线时，如图，
此时 ．
【易错必刷七 利用平行四边形的判定与性质求解】
19．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，在 中， ， 为 边上一点，连接
， 为 中点，过点 作 交 的延长线于 ，连接 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）通过平行线的性质证得 ，可得 ，结合题意的 即可求证四边
形 是平行四边形；
（2）设 ，根据题意可得 ，通过勾股定理求出 ，即可求解 ．
【详解】（1）证明： 为 中点，
，，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
在 中， ，
设 ，则 ，
，
解得 （负值舍去），
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 的直角三
角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
20．（23-24八年级下·重庆永川·期中）如图，在平行四边形 中，点E、F分别是边 的中点．
(1)求证： ；
(2)若四边形 的周长为12， ， ，求平行四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的
关键．
（1）证明 且 得到四边形 为平行四边形，继而得证；
（2）利用四边形 的周长为12， ，求出 ，继而求出 ，从而得解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ， ，
又∵点E，F分别是边 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ；
（2）解：由（1）得：四边形 是平行四边形，
又∵四边形 的周长为12，即 ，
∴ ，
∴ ，，
又∵ ，
∴平行四边形ABCD的周长 ．
21．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，已知平行四边形 中， 的平分线 交 于点
， 的平分线 交 于点 ， 、 交于点 ．．
(1)求证： ．
(2)若 ， ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由角平分线知 ，由平行知 ，于是得到 ，即
，同理 ，又 ，所以 ，去掉公共部分，则有 ；（2）过点 作 ，交 的延长线于 ，证出 ，证明四边形 是平行四边形，由
平行四边形的性质得出 ， ，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：证明： 四边形 为平行四边形，
， ， ，
， ，
、 分别平分 和 ，
， ，
， ，
， ，
，
；
（2）过点 作 ，交 的延长线于 ，
，
，
平分 交 于点 ， 平分 交 于点 ，
，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得， ．
【点睛】此题考查了平行四边形判定与性质，勾股定理，平行线的性质以及直角三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．
【易错必刷八 利用平行四边形的判定与性质证明】
22．（2025·浙江嘉兴·一模）如图， 是 的中线，点 是线段 的中点，连结 并延长至点 ，
使得 ，连接 ．求证：
(1) ；
(2) 与 互相平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．
（1）根据平行四边形的判定得出四边形 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出 即可；
（2）连接 ，证明四边形 为平行四边形，得出 与 互相平分．
【详解】（1）证明：∵点 是线段 的中点， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ；
（2）证明：连接 ，如图所示：
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，∴ 与 互相平分．
23．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在 中，点 、 在 上，且 ．
求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见详解
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．由平行四边形可知 ， ，又 ，所以
，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
即 ．
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
24．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】
小明的作法：
（1）连接 ，相交于
老师的问题：
点O；
如图，在 中，点E在 上，连接 ，只用一
（2）连接 并延长，交
把无刻度的直尺，求作四边形 ，使得四边形
于点F；
是平行四边形．
（3）连接 ．四边形
即为所求．
【解答问题】请根据材料中的信息，对小明的作法进行证明．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得
， ，得 ，进而证明 ，得到 ，再根据对角线
互相平分的四边形是平行四边形即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
【易错必刷九 与三角形中位线有关的求解问题】
25．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形 中， ，点 是对角线 的中点，
点 和点 分别是 与 的中点．若 ，求 的度数．
【答案】
【分析】此题考查三角形的中位线的性质，等边对等角，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键．
根据中位线定理推出 ， ，然后由 ，得到 ，然后根据等边对等角求
解即可．
【详解】∵在四边形 中， 是对角线BD的中点， ， 分别是 ，
的中点，
， 分别是 与 的中位线，
， ，
，，
．
26．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， 过 的中点O，与边 分别
相交于点 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 的周长是 分别是 边上的中点，求 周长．
【答案】(1)见详解
(2)20
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由四边形 是平行四边形，得出 ， ，证明 ，得出 ，
结合 ，即可作答．
（2）先得出 是 的中位线，再结合周长，即 ， 代入化简
，结合四边形 是平行四边形，即可得出周长，进行作答．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ 分别是 边上的中点，
∴
∵∴ 是 的中位线
∴
∵ 的周长是
∴
∴
则
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 的周长是 ．
27．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，已知 中，D、E、F分别为 、 、 边上的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 的周长为12，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查三角形的中位线及平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质并灵
活运用．
（1）由中位线的性质分别得出 ， 即可求证．
（2）由中位线的性质分别得出 ， ， ，进而得出 的周长等于
周长的一半，代入即可得出答案．
【详解】（1）∵D、E是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
同理： ，
∴四边形 是平行四边形．（2）由题知 ，
∵E、F、D分别为 、 、 边上的中点，
∴ ， ， 是 的中位线，
∴ ．
即 的周长等于6．
【易错必刷十 与三角形中位线有关的证明】
28．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图， 是四边形 的对角线，E、F分别为
的中点，G、H分别为 的中点．请你判断 与 的关系，并证明你的结论．
【答案】 与 互相平分，证明见解析
【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．熟练掌握平行四边形的判定和性质，
三角形中位线定理是解题的关键．
连接 ，根据三角形中位线定理可得 ，从而证
得四边形 是平行四边形，即可解答．
【详解】解： 与 互相平分，证明如下：
如图，连接 ，
∵E、F分别为 的中点，G、H分别为 的中点，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ 与 互相平分，
29．（24-25八年级上·山西大同·期末）综合与实践
问题呈现：
如图①，在四边形 中， ， ，
求证： 平分 ．
问题解决：
小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案：
方案一：如图②，过 作 于 ， 于 ；
方案二：如图③，延长 至 ，使 ．
（1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程．
思维发散：
（2）如图④，在等边 中，点 是 的中点， ， 与 交于点 ， 与 交于
点 ，请直接写出 ， 和 的数量关系．
【答案】（1）证明过详解
（2） ，理由见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，中位线的判定和性质，掌握全等三
角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键．
（1）方案一：先证明 ，得到 ，再证明 ，得到
，即可求解；
方案二：证明 ，得到 ，则有 ，即可求解；
（2）如图所示，取线段 的中点 ，连接 ，可得 ，再证明 ，得
到 ，即可求解．【详解】解：（1）方案一：如图②，过 作 于 ， 于 ，
证明：在四边形 中， ，
∴ ，
∵ 共线，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
方案二：如图③，延长 至 ，使 ，
证明：在四边形 中， ，
∴ ，
∵点 三点共线，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2） ，理由如下，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵点 是 中点，
∴ ，
如图所示，取线段 的中点 ，连接 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
30．（24-25九年级上·北京密云·期中）如图， 中， ，O是
中点，D在线段 上（不与 重合），点E是 内部一点， ．
(1)求 的大小（用含 的式子表示）；
(2)已知点F是 的中点，连接 ．用等式表示 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作辅助线
构造全等三角形是解题关键．
（1）根据等腰三角形的性质可得 ，再根据题意得出 即可得出结论；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，根据全等三角形的判定定理，证明出 ，
推出 ，即可得出结论．
【详解】（1） ，
，
，
，
，
，
，
．
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，，即 垂直平分 ，
∴ ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
∵点F是 的中点即 ，
，
．
【易错必刷十一 三角形中位线的实际应用】
31．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小
明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在 外选一点C，然后步测出 的中点M，N，并测
出 的长，如果M，N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？说明你的理由．【答案】用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长，解答见详解．
【分析】用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长便可求出AB，利用中位线性质可得DE=
，MN= ，可得AB=2MN=4DE即可．
【详解】解：用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长便可求出AB，
∵点D、E分别为CM，CN的中点，
∴DE= （三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
又∵点M，N分别为 的中点，
∴MN= （三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
∴AB=2MN=4DE．
∴只要测量出DE长便可求AB．
【点睛】本题考查三角形中位线性质在生活中运用，掌握三角形中位线性质是解题关键．
32．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）数学综合与实践活动课上，某兴趣小组要测定被池塘隔开的A、B
两点间的距离，他们在 外选一点C，连接 ，并分别找出它们的中点M、N，连接 ．现测得
，则A、B两点间的距离为 m．【答案】36
【分析】本题主要考查了三角形中位线的应用．根据三角形中位线定理得到 ，求出结果即可．
【详解】解：∵点M、N分别是 、 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即A、B两点间的距离为 ．
故答案为：36．
33．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地 已知 分
别是 的中点，测得 ，李叔叔想把四边形 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的
长是
【答案】
【分析】由等边三角形的性质得到 ，由中点定义得到
，由三角形中位线定理得到 ，即可解决问题．
【详解】解： 是等边三角形，
∴ ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ 为等边三角形，
，
分别是 的中点，
，
是 的中位线，
，
需要篱笆的长是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到 ．
【易错必刷十二 矩形的性质理解】
34．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ，下列结论不
一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可得到答案．
【详解】解：在矩形 中，对角线 相交于点 ，
∴ ， ， ，
故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误，
故选：C
35．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，以下说法
中错误的是（ ）A． B．
C．若 ，则 是等边三角形 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定，矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对
角线互相平分且相等，根据矩形的性质和等边三角形的判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，故A、B说法正确，不符合题意，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，故C正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明 ，故D说法错误，符合题意．
故选：D．
36．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，P是矩形 内的任意一点，连接 ， ， ，
，得到 ， ， ， ，设它们的面积分别是 ， ， ， ．给出以下结论：①
；② ；③若 ，则 ，其中正确结论的序号是 ．
【答案】②
【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对边相等可得 ， ，设点 到 、 、
、 的距离分别为 、 、 、 ，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三
角形的面积公式即可判断③．
【详解】解： 四边形 是矩形，， ，
设点 到 、 、 、 的距离分别为 、 、 、 ，
∴ ，
不能得出 ，故①错误，②正确；
根据 ，能得出 ，不能推出 ，即不能推出 ，故③错误；
故答案为：②．
【易错必刷十三 矩形的性质】
37．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）如图，矩形 的两条对角线相交于点 .若 ，
，则边 的长为 .
【答案】
【分析】本题考查了30度所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，先根据矩形的性质得
，再运用30度所对的直角边是斜边的一半得出 ，结合勾股定理列式计
算，即可作答．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
38．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形 中， ， ，作对角线 的垂直
平分线 交 、 于 、 ，则 的长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得
到 ，再由矩形的性质得到 的长，设 ，则 ，利用勾股定理可得
方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解；∵对角线 的垂直平分线 交 、 于 、 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：5．
39．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形 中， ， ， ．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)点E是 上一点，点F是 的中点，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质，解决
本题的关键是掌握矩形的判定和性质．
（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质可知 ，然后可求 的长．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：∵ ，点F是 的中点，
∴ ，
，
∵四边形 是矩形，
∴ ．
【易错必刷十四 求矩形在坐标系中的坐标】
40．（23-24八年级下·天津东丽·期末）如图，四边形 是矩形， 三点的坐标分别是 ，
， ，对角线交点为 ，则点 的坐标是 ．【答案】
【分析】根据题意，可得 ，由中点坐标公式直接求解即可得到答案．
【详解】解：四边形 是矩形， 三点的坐标分别是 ， ， ，
，
矩形 对角线交点为 ，
由平面直角坐标系中中点坐标公式可得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形性质及中点坐标公式，熟记矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．
41．（23-24八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 ，
，点 在 轴上，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】由两点距离公式可求 的长，由矩形的性质可求 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，点 ， ，
，
四边形 是矩形，
，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
42．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形 中，点 、 分别在 轴、 轴正半轴上，点
在第一象限， ， ．点 在 上，连接 ，把 沿着 折叠，点 刚好与线段
上一点 重合．
(1)请直接写出点C的坐标．
(2)求线段CF的长度．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由矩形的性质可得 ， ， ， ，即可求解；
（2）设把 沿着 折叠，设点 刚好与线段 上一点 重合，由折叠的性质的可得 ，
， ，由勾股定理可求 的长．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
， ， ， ，点 的坐标 ；
（2） ， ，
，
把 沿着 折叠，设点 刚好与线段 上一点 重合，
， ， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理得出方程是解题的关键．
【易错必刷十五 矩形与折叠问题】
43．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图所示，矩形纸片 中， ， ，折叠纸片，
使 边与对角线 重合，折痕为 ，求 及 的长．
【答案】 ；
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，设 先由矩形的性质与勾股定理求出 的长，
再由折叠的性质可得 的长，则可求出 ，再在 中利用勾股定理建立方程求出 的长
即可．
【详解】解：设
∵四边形 是矩形，∴ ，
，
由折叠的性质可得： ，
，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得：
44．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，在长方形 中，E是边 上一点，连接 ，
沿直线 翻折后，点A恰好落在长方形 的对称轴 上的点 处，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)延长 交 于点F，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查了矩形与翻折的性质，对称轴的性质，等边三角形的判定与性质以及含 直角三角形，
熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据翻折以及对称轴证明 即可．
（2）根据 是等边三角形与翻折求出 ，然后得到 ，根据
角度关系判断出 ，然后得到 即可求出 的长．
【详解】（1）解：∵直线 是长方形 的对称轴，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
由翻折得 ，∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
由翻折得 ， ，
在长方形 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
45．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，将长方形纸片 进行折叠，使折痕的两个端点P、F分
别在 边上，顶点B落在边 的E点处．已知 ．
(1)试求出 的长度；
(2)请求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟记翻折前后两个图形能够重合得
到相等的线段和角是解题的关键．
（1）过P作 于H，根据勾股定理求出 ，进而可以解决问题；
（2）设 ，则 ，根据勾股定理求出x，得 ， ，然后利用三角形的
面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过P作 于H，在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【易错必刷十六 矩形的判定定理】
46．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点O，则
添加下列结论中的一个条件后，能判定平行四边形 是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形或者有一个
直角的平行四边形是矩形进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵四边形 是平行四边形， ，则 ，证明不了平行四边形
是矩形，故该选项不符合题意；
B、∵四边形 是平行四边形， ，则四边形 是菱形，证明不了平行四边形 是矩
形，故该选项不符合题意；
C、∵四边形 是平行四边形，则 ，证明不了平行四边形 是矩形，故该选项不符合题
意；
D、∵四边形 是平行四边形， ，则四边形 是矩形，故该选项符合题意；故选：D
47．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在 中，O是 的中点，连接 ，并延长交
的延长线相交于点E，连接 ．
(1)求证： ；
(2)请添加一个条件______，使四边形 为矩形．（不需要说明理由）
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定，
对于（1），根据平行四边形的性质得 ，即可得 ，再根据
可得结论；
对于（2），由（1）可知 ，即可知四边形 是平行四边形，再添加一个内角等于 或对角
线相等，答案不唯一．
【详解】（1）证明：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
∵点O是 的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 时，四边形 是矩形．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
当 时，
∴四边形 是矩形．故答案为： （答案不唯一）．
48．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，E，F是 的对角线 上两点，且 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，请添加一个条件，使四边形 为矩形．
【答案】(1)见解析
(2) （答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握相关的知识是
解题的关键．
（1）利用平行四边形的对边平行且相等得到 ， ，再由平行线的性质和平角的定义
证明 ，最后根据 证明 得到 ，进而可证明 ；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，根据一组对边平行且相等证四边形 为平行四边形，再
根据矩形的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：添加的条件： ，证明如下：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为矩形．
【易错必刷十七 利用菱形的性质求解】
49．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形 的对角线 相交于点O，过点B作
，过点C作 ， 与 相交于点E．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】对于（1），先说明四边形 是平行四边形，再根据菱形的性质得 ，即可得出答
案；
对于（2）根据菱形得性质得 ，再根据勾股定理得 ，
进而得出 ，然后根据矩形的性质，结合勾股定理求出答案.
【详解】（1）证明：∵ ，
∴四边形 是平行四边形.
∵四边形 是菱形，∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：如图，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵四边形 是矩形，
∴ .
在 中，由勾股定理得： .
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，理解特殊平行四边形之间的关系是
解题的关键，勾股定理是求线段长的常用方法．
50．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，四边形 是菱形，对角线 相交于点 ，且
．
(1)求菱形 的周长；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)8
(2)【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；
（2）利用勾股定理可求出 的长，进而解答即可．
本题主要考查菱形的性质，能够利用勾股定理求出 的长是解题关键．
【详解】（1）解： 四边形 是菱形， ，
则
菱形 的周长为8；
（2）解： 四边形 是菱形， ，
， ，
，
．
51．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，在四边形 中， ， 平分 ，
，E为 中点，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由E为 中点，可得 ，则 ，可证四边形 是平行四边形，
由 平分 ， ，可得 ，则 ，进而结论得证；
（2）证明 是等边三角形，则 ， ， ，勾股定理求
，根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵E为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形;
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
又 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的面积为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，角平分线，等角对等边，等边三角形
的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，角平分线，等
角对等边，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
【易错必刷十八 添一个条件使四边形是菱形】
52．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在 中，E，F分别是 的中点，连接 ．如果
只添加一个条件即可证明四边形 是菱形，那么这个条件可以是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质．先证明四边形 是平行四边形，再根据菱
形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵E，F分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
A、当 时，四边形 是矩形，故本选项不符合题意；
B、当 时，无法得到四边形 是菱形，故本选项不符合题意；
C、当 时，无法得到四边形 是菱形，故本选项不符合题意；
D、当 时， ，此时四边形 是菱形，故本选项符合题意；
故选：D
53．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在 中（ ）， 为锐角，将 沿对角线
方向平移，得到 ，连接 和 ，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形 是菱
形，只需添加的一个条件是 ．
【答案】 （答案不唯一）【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，先根据题意可知四边形 是平行四边形，再根
据菱形的判定定理即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
由平移可得 ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
若 ，则 ，
∴四边形 是菱形．
故答案为： （答案不唯一）．
54．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平行四边形 中，F是对角线的交点，E是边 的
中点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当 与 满足________时，四边形 是菱形，并证明你的结论；
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，三角形中位线定理．
（1）根据平行四边形的性质，结合三角形中位线定理求证即可；
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，补充条件并证明即可．
【详解】（1）∵在平行四边形 中，F是对角线的交点，
∴ ，
∵E是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
即
（2）当 时，四边形 是菱形，证明如下：
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
【易错必刷十九 菱形的面积计算】
55．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在菱形 中， ，P是菱形 内
的一点，连接 ，且 ，则 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，根据题意可推出 ；当 的面积最小时，
点P到 的距离最小，即点P到 的距离最大；当 是等腰直角三角形时，即点P到 的距离最
大.据此即可求解.
【详解】解：在菱形 中，
∵
∴ .
∴ ，
∴ ，
∴ ．
当 的面积最小时，点P到 的距离最小，即点P到 的距离最大；
当 是等腰直角三角形时，即点P到 的距离最大.
如图，过点C作 于点F， 于点E.
在菱形 中， ，∴
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴点P到 的距离为 ，
∴ 的面积的最小值为 .
故选：C．
56．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图， 是菱形 的对角线， 是 上的一个动点，过点
分别作 和 的垂线，垂足分别是点 和 ，若菱形的周长是 ，面积是 ，则 的值
是 ．
【答案】1.5
【分析】此题考查菱形的性质， 是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和
数形结合思想的应用．连接 ，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得
， 把相应的值代入即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 四边形 是菱形，且周长是 ，面积是 ，
∴ ，
∵ 是菱形 的对角线，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
57．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，菱形 对角线交于点 ， ， ，
与 交于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)96
【分析】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱
形的性质，矩形的判定与性质．
（1）先证明四边形 是平行四边形，再根据菱形的性质可得 ，推出平行四边形 是矩
形，即可证明；
（2）根据矩形的性质可得 ， ，利用勾股定理求出 ，再结合菱形的性质求
出 、 ，最后根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
，
平行四边形 是矩形；
（2）解： 四边形 是矩形，， ，
，
四边形 是菱形，
， ，
菱形 的面积为： ．
【易错必刷二十 正方形的性质】
58．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，正方形 在平面直角坐标系中，B的坐标是 ，D
是 的中点， ．
(1)写出点D，E的坐标；
(2)问： 是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，
（1）根据题意B的坐标是 ，D是 的中点， ，即可求出点D，E的坐标；
（2）在 、 、 中，分别求出 ， ， ，然后在 中，利用
，即可证明 是直角三角形．
【详解】（1）解： B的坐标是 ，D是 的中点，
，又 ， ，
．
（2）由题意可知， ， ， ， ，
根据勾股定理，得：
在 中， ；
在 中， ；
在 中， ；
在 中， ，
是直角三角形．
59．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，已知四边形 是正方形，点E、F分别在 、 上，
与 相交于点G，且 ．
(1)求证： ；
(2)如果正方形 的边长为5， ，点H为 的中点，连接 ．求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，
（1）根据正方形的四条边都相等可得 ，然后利用“斜边直角边”证明
，从而得到 ，进一步得到 ，即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得 ，利用勾股定理求出 的长即可得出答
案．
【详解】（1）证明：∵四边形 为正方形，∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，点H为 的中点，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
∵在 中， ，
根据勾股定理，得： ，
∴ ．
60．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图， 中， ， 、 的角平分线交于点
， 于 ， 于 ；
(1)问四边形 是正方形吗？请说明理由．
(2)若 ， ，则 的长为多少？
【答案】(1)是，理由见解析
(2)2
【分析】（1）首先利用垂直的定义证得四边形 是矩形，然后利用角平分线的性质得到 ，
从而判定该四边形是正方形．（2）由勾股定理求出 ，由正方形的性质得出 ，设 ，则 的面积
的面积 的面积 正方形 的面积 的面积，解方程即可．
【详解】（1）解：四边形 是正方形，理由如下：
， 于点 ， 于点 ，
四边形 为矩形，
、 的平分线交于点 ，
在 的平分线上，
，
四边形 是正方形．
（2） ，
，
四边形 是正方形，
，
设 ，
则 的面积 的面积 的面积 正方形 的面积 的面积
，
解得： ，
即 的长为2．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是利用正方形的判定方法证得四边形 是正方
形．
【易错必刷二十一 正方形的判定】
61．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，四边形 的对角线 、 互相垂直平分，请从
以下三个选项中① ；② ；③ ，选择一个合适的选项作为已知条件，
使四边形 是正方形．(1)你选择的条件是______；（填序号，填一个即可）
(2)根据你选择的条件写出证明过程．
【答案】(1)①
(2)见解析
【分析】根据正方形的判定定理即可求证．
【详解】（1）解：选择①
（2）证明：∵四边形 的对角线 、 互相垂直平分
∴四边形 是菱形
∵
∴四边形 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
法二：选②
证明：∵四边形 的对角线 、 互相垂直平分
∴四边形 是菱形
∵
∴四边形 是正方形（对角线相等的菱形是正方形）
法三：选③
证明：∵四边形 的对角线 、 互相垂直平分
∴四边形 是菱形
∵
∴四边形 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
【点睛】本题考查正方形的判定．熟记相关判定定理是解题关键．
62．（2023·陕西咸阳·三模）如图，已知 ，过点D作 交 的延长线于点E，过点C作
交 的延长线于点F．
(1)求证：四边形 是矩形；(2)请添加一个条件：______，使得四边形 是正方形，不用说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) （答案不唯一）
【分析】（1）四边形 是平行四边形，则 ，由 ，得到四边形 是平行四边形，
由 得到 ，即可得到结论；
（2）根据矩形成为一个正方形的条件添加即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2） ，理由是：
∵四边形 是矩形， ，
∴四边形 是正方形．
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定、
正方形的判定是解题的关键．
63．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在四边形 中， ，E是 的中点， 的延长
线交于点F， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)当 满足条件 ___________时，四边形 是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，根据全等三角形的判定和性质得
到 ，推出四边形 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到 ，求得 ，得到 ，根据正方
形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：当 时，四边形 是正方形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴四边形 是正方形，
故答案为： ．．
【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形和正方形
的判定定理是解题的关键．
【易错必刷二十二 正方形的折叠问题】
64．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知在正方形 中， ，
．将正方形 折叠，使点B落在 边的中点Q处，点A落在P处，折痕
为 ．已知 长为 ．
(1)求线段 和线段 的长；
(2)连接 ， ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）由对角线为 ，易知边长为8．设 ，由折叠可知在 中，由勾股定理有
，解得 ，即可得 ；
（2）连接 ，作 于点G，连接 交 于点H，由折叠知 ，可证明，则 ， ，在 中由勾股定理可求 ．
【详解】（1）解：∵对角线 ，
∴ ，
设 ，由折叠可知 ，
由于Q为 中点，
则 ，
在 中，由勾股定理可得：
，
解得： ．
故 ；
（2）解：如图所示，连接 ，作 于点G，连接 交 于点H，
由折叠可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
由折叠可得 ，由勾股定理有 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟悉折叠的性质、
掌握以上定理并利用勾股定理建立关于x的方程是解题的关键．
65．（2022·广东珠海·一模）如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将 ABF沿BF折叠，
点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点． △
(1)求证：CE＝BF；
(2)若AB＝4，求GF的值．
【答案】(1)见解析
(2)GF的值为 ．
【分析】（1）先判断出AF=BE，进而得出 FAB≌△EBC（SAS），即可得出结论；
（2）连接BG，根据HL证明Rt BQG≌Rt △BCG，得QG=GC，设QG=b，在Rt DFG中，根据勾股定理
列方程可得b，从而可得结论．△ △ △
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠ABC=90°，
∵E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，
∵AF=BE，
∴△FAB≌△EBC（SAS），
∴CE=BF；
（2）解：如图，连接BG，
由折叠得：AB=BQ，∠BQF=∠A=90°，
∵AB=BC，
∴BC=BQ，∵BG=BG，
∴Rt BQG≌Rt BCG（HL），
∴QG△=GC， △
∵AB=4，F是正方形ABCD边AD的中点，
设QG=b，
则DF=AF=FQ=2，FG=2+b，DG=4-b，
在Rt DFG中，∵DF2+DG2=FG2，
△
∴ ，
∴b= ，即QG= ，
∴GF=FQ+QG=2+ = ．
∴GF的值为 ．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是本
题的关键．
66．（23-24七年级上·江西上饶·期末）如图是正方形纸片ABCD，分别沿AE、AF，折叠后边AB与AD恰
好重叠于AG，求∠EAF的大小．
【答案】45°【分析】由折叠的性质可得， ，再根据角的和差可
得答案．
【详解】解：依题意得，正方形纸片 ，∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查折叠的性质及正方形的性质，是一题比较基础的题目，折叠的性质是证明线段相等、
线段垂直及角相等的重要依据．
【易错必刷二十三 中点四边形】
67．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图， ， 是四边形 的两条对角线，顺次连接四边形
各边中点得到四边形 ，要使四边形 为菱形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键．
根据三角形的中位线定理可得 ， ， ， ， ， ，
得到四边形 为平行四边形，再结合选项逐个分析判断即可得出结论．
【详解】解： 分别为 的中点，
， ， ， ， ， ，， ，
四边形 为平行四边形，
A、添加条件 ，则有 ，此时 为矩形，不符合题意；
B、添加条件 ，此时 为平行四边形，不符合题意；
C、添加条件 ，此时 为平行四边形，不符合题意；
D、添加条件 ，则有 ，此时 为菱形，符合题意；
故选：D．
68．（24-25八年级下·山东威海·阶段练习）如图，顺次连接任意四边形 各边中点，所得的四边形
是中点四边形．
下列四个叙述：
①中点四边形 一定是平行四边形；
②当四边形 是矩形，中点四边形 也是矩形；
③当四边形 是菱形，中点四边形 也是菱形；
④当四边形 是正方形，中点四边形 也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号）
【答案】 /
【分析】①此题④考④查①了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．
熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接 ， ，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边
的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，
， ， ， 分别是四边形各边的中点，
，四边形 是平行四边形；（①正确）
若四边形 是矩形，
＝ ，
＝ ， ＝ ，
＝ ，
四边形 是菱形；（②错误）
若四边形 是菱形，
，
∵ ，
，
四边形 是矩形，不一定是菱形；（③错误）
四边形 是正方形，
＝ ， ，
＝ ， ＝ ，
＝ ，
四边形 是菱形；
， ，
，
，
四边形 是正方形．（④正确）
正确的是①④．
故答案为：①④．
69．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次
连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩
形的面积是 ．
【答案】
【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到
菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的
性质，是一道找规律的题目．
【详解】已知第一个矩形的面积是1，
第二个矩形的面积为
第三个矩形的面积是
则第n个矩形的面积是
故答案为： ．
【易错必刷二十四 平行四边形的动点问题】
70．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形 中， 、 分别是边 、 上的动点，连接
， ， 、 分别为 、 的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角形中位线定理可得 ，则当 有最小值时， 有最小值，即当 时，
有最小值，由等腰直角三角形的性质可求 的最小值，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
、 分别为 、 的中点，，
当 有最小值时， 有最小值，
当 时， 有最小值，
四边形 是菱形，
， ，
当 时， ，
的最小值 ，
的最小值为 ．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是作
出正确的辅助线构造以 为中位线的三角形．
71．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形 中， ， ，点 ， 分别是
， 上的动点， ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，若 ，则 的
最大值为 ．
【答案】
【分析】连接 交 于点 ，作 交 的延长线于点 ，由平行四边形的性质得 ，
， ，则 ，而 ，可证明 ，由
，求得 ，再由勾股定理求得 和 ，证明 后，可得
，因为 于点 ，所以 的最大值为 ．
【详解】解：连接 交 于点 ，作 交 的延长线于点 ，则 ，四边形 是平行四边形， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
于点 ，
，
，
的最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、勾股定理解直角三角形、全等三角形的判定与性质，解
题关键是作出合适的辅助线．
72．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，
，并且a，b满足 ．一动点P从点A出发，在线段 上以
每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C
运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t
（秒）．
(1)B，C两点的坐标分别为：B（______，______），C（______，______）；
(2)当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(3)当t为何值时， 是以 为腰的等腰三角形？
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据二次根式的性质及解一元一次不等式组得出 的值进而得出答案；
（2）由题意得∶ 根据平行四边形的判定可得 ，再
解方程即可；
（3）①当 时， ，解方程得到 的值；②当 时， 由题意得：
，进而得到方程： 再解方程即可．【详解】（1）解： ，
，
解得∶ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ；
（2）解：由题意得∶ ，
则∶ ， ，
∵ ，
∴当 时， 四边形 是平行四边形，
∴ ，
解得∶ ，
故当 时，四边形 是平行四边形；
（3）解：∵ 是以 为腰的等腰三角形，
∴分两种情况∶ 或 ．
①当 时， 如图， 过 作 于 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
∴ 中∶
∵ ，
，即
解得：
②当 时， 过 作 轴于 ，
∴ ，
由题意得∶ ，
则 ，
解得：
，
综上所述，当 或 时， 是以 为腰的等腰三角形．
【点睛】此题考查了二次根式性质、解不等式组，平行四边形和矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾
股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解．
【易错必刷二十五 平行四边形中的最值问题】
73．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，将面积为8的正方形 和面积为2的正方形 拼在
一起，点E在 边的延长线上，点G 在 边上，连接 ．(1)求 的长．
(2)求 的面积．
(3)在直线 上是否存在点P，使 最小？若存在，请作出点P，并直接写出最小值．
【答案】(1)
(2)4
(3)作图见解析， 的最小值为4
【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、轴对称、勾股定理等知识点，掌握运用轴对称的
性质求最值成为解题的关键．
（1）由正方形的性质以及已知条件可得 ，再根据线段的和差即可解答；
（2）根据 求解即可；
（3）先说明直线 是 的垂直平分线，如图：连接 ，延长 交 于 ，然后说明当
三点共线时， 最小，最后运用勾股定理求得 的长即可．
【详解】（1）解：∵面积为8的正方形 和面积为2的正方形 ，
∴ ，
∴
（2）解∶ ∵ ， ，
，
∴ ．
（3）解：∵ ， ，∴ ，
∴直线 是 的垂直平分线，
如图：连接 ，延长 交 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，且最小值为 ．
74．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，C为线段 上一动点，分别过点B、D作 ，
，连接 ，已知线段 ， ， ，设 ．
(1)用含x的代数式表示 的长；
(2)请问点C满足什么条件时， 最小？最小为多少？
(3)根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式 的最小值．
【答案】(1)
(2)点 在 上距离点 距离为 时， 最小
(3)25
【分析】本题考查勾股定理，两点之间直线最短，矩形性质等．
（1）根据勾股定理可得本题答案；（2）利用两点之间直线最短可知当 三点为一条直线时，即点 为 和 交点时， 最小，
（3）过点 作 ，过点 作 ，连接 交 于点 ，构造矩形 ， ，利用
矩形性质和直角三角形性质可求 即为代数式最小值．
【详解】（1）解：∵ ，设 ．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ；
（2）解：∵两点之间直线最短，
∴当 三点为一条直线时，即点 为 和 交点时， 最小，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即： ，
，即： ，
∴点 在 上距离点 距离为 时， 最小；
（3）解：过点 作 ，过点 作 ，连接 交 于点 ，使得 ， ，∵ ，
∴ 的长即为代数式 的最小值，
∴过点 作 交 的延长线于点 ，得到 矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴即 的最小值为25，
∴代数式 的最小值为25．
75．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知
（1）如图①，已知点 ， 和直线 ，如何在直线 上确定一点 ，使 最小？将下面解决问题的思
路补充完整．
解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在 上任取一点 ，作点 关于 的对称点
， 与直线 相交于点 ．连接 ，易知 ______，从而有 ．这样，在 中，
根据“_______”可知 与 的交点 即为所求．
解决问题（2）如图②，在 中， ， ， ， 为 上的两个动点，且 ，求
的最小值．
变式研究
（3）如图③，在 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 上的动点，且
，请直接写出 的最小值．
【答案】（1） ；两点之间，线段最短；（2） ；（3）
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理以及对称的性质，通过全等将
目标线段集中在同一个三角形中是解题关键.
（1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解；
（2）作 ，使得 ，连接 交 于点 ，连接 ，可得四边形 为平行四边形，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出 的长，故 ，据此即可求
解；
（3）作 ，使得 ，作 ，连接 ，证 得 ，推出
，即可求解；
【详解】解：（1）由对称可知： ，
在 中，根据两点之间，线段最短可知 与 的交点 即为所求，
故答案为： ；两点之间，线段最短；
（2）作 ，使得 ，连接 交 于点 ，连接 ，如图所示；则四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（3）作 ，使得 ，作 ，连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值 ．
【易错必刷二十六 平行四边形的旋转问题】
76．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，菱形 的对角线 、 交于点O， ，
，将 绕着点C旋转 得到 ，连接 ，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据
菱形的性质可知 ， ， ，结合旋转的性质可得 ， ，
，从而可得 的长，最后根据勾股定理即可求得 的长．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
， ， ，
， ，
， ，
绕着点C旋转 得到 ，
， ， ，
，
．
故选：C．
77．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形 是菱形， ，点 为平面内一点，连接 ，将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，连接 ． 点 在直线
上， ，则线段 的长为 ．
【答案】5或3/3或5
【分析】本题考查旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，分类画出图形是解题的
关键．
分点E在菱形 内部和外部两种情况，分别连接 ，证明 可得 ，然
后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：①如图：当点E在菱形 内部时，连接 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图：当点E在菱形 外部时，连接 ，
同理可证： ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：5或3．
78．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形 是正方形， ， 分别是 和 的延长线
上的点，且 ，连接 ， ， ．
(1) 可以看作是 经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到 的变换过程；
(2)已知 ， ，直接写出四边形 的面积为________．
【答案】(1) 是由 绕点A顺时针旋转 得到
(2)25
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．
（1）根据正方形的性质得 ， ，则可根据“ ”证明 ，
于是根据旋转的定义，将 绕A点顺时针方向旋转90度得到 ；（2）由 得 ，所以 ，然后根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解： 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中 ，
，
∴ ，
∴ ，
可以由 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
，
，
．
【易错必刷二十七 平行四边形的新定义问题】
79．（23-24九年级上·广东深圳·期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非
直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1， ，四边形 是损矩形，则该损
矩形的直径是线段 ．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两
个角是相等的．如图1中： 和 有公共边 ，在 同侧有 和 ，此时
；再比如 和 有公共边 ，在 同侧有 和 ，此时
．(1)请在图1中再找出一对这样的角来： ；
(2)如图2， 中， ，以 为一边向外作菱形 ， 为菱形 对角线的交点，连
接 ．
①四边形 损矩形（填“是”或“不是”）；
②当 平分 时，判断四边形 为何种特殊的四边形？请说明理由；
③若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)①是；②见解析；③
【分析】（1）根据材料所给出的定义即可得到结论；
（2）①根据损矩形的定义即可得到结论；②根据菱形的性质及损矩形的定义即可得到结论；③根据菱形
的性质及损矩形 ，再利用勾股定理及解直角三角形即可得到．
【详解】（1）解：∵损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的，
∴ 和 有公共边 ，
∴在 同侧有 和 ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：①∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ 中， ，
∴四边形 是损矩形，
故答案为：是．
②四边形 是正方形，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵四边形 是损矩形，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
③过点 作 ，交 延长线于点 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵四边形 是损矩形，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，【点睛】本题考查了菱形的性质，损矩形，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定，
读懂材料理解新定义，正确作出辅助线是解题的关键．
80．（2023·贵州遵义·一模）综合与实践
新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
(1)【初步尝试】如图1，已知 中， ， ， ， 为 上一点，当
______时， 与 为积等三角形；
(2)【理解运用】如图2， 与 为积等三角形；若 ， ，且线段 的长度为正整数，
求 的长；
(3)【综合应用】如图3，已知 中， ，分别以 ， 为边向外作正方形 和正
方形 ，连接 ，求证： 与 为积等三角形．
【答案】(1)1.5
(2)2或3
(3)见详解
【分析】（1）利用三角形中线的性质即可解决问题
（2）证明 ，推出 ， ，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（3）过点 作 ，交延长线于点H，先证明 ，则 ， ，然后
再依据积等三角形的定义进行证明即可．【详解】（1）如图，在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 与 不全等 与 为积等三角形，
∴． ，
∴ ．
当 时， 与 为积等三角形．
（2）如图，过点C作 ，交 的延长线于点E，
∵ 与 为积等三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为正整数，
∴ ．
∴ 的长为2或3．
（3）如图，过点 作 ，交延长线于点H，
∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 为积等三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的
定义，是解题的关键．
81．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．(1)四边形ABCD是等对角四边形， A≠ C，若 A＝50°， B＝100°，则 C＝_____， D＝_____．
(2)图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求以AB、BC为边在图①、
图②中各画一个等对角四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．
(3)如图③，在平行四边形ABCD中， A＝60°，AB＝12，AD＝6，点E为AB的中点，过点E作EF
DC，交DC于点F．点P是射线FE上一个动点，设FP＝x，求以点A、D、E、P为顶点的四边形为等对角
四边形时x的值．
【答案】(1)110°；100°
(2)见解析
(3)x= 或
【分析】（1）由等对角四边形得出 ，再由四边形内角和即可求出 ；
（2）根据题目已给信息作图即可；
（3）过D点作DH AB于H，则四边形DHBE为矩形，根据含30°的直角三角形的性质求出AH和HD，
分两种情况讨论进行求值即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是等对角四边形， ，
∴ D= B=100°，
∴ C=360°- A- B- D=360°-50°-100°-100°=110°．
故答案为：110°；100°．
（2）由题意可得：等对角四边形ABCD如图所示
（3）如图③，作DH AB于H，∵在Rt ADH中， A=60°，
∴ ADH=30°，
∴AH= AD=3，
∴DH=3 ，
∵点E为AB的中点，
∴AE= AB=6，
∴DF=HE=6-3=3，
如图③，当 ADP= AEP=90°时， DPE=120°，
∴ DPF=60°，
在含30°的Rt DFP中，
FP=x= ，
如图④，连接DE，
∵AD=AE=6， A=60°，
∴ ADE为等边三角形，
当 APE= ADE=60°，
在含30°的Rt AEP中
EP=2 ，
∴x=EF+EP= ．
综上所述x= 或 ．
【点睛】本题考查了四边形内角和定理、等腰三角形的判定和性质、含30°的直角三角形和矩形的判定和
性质；解决本题的关键通过作辅助线运用以上的性质即可得出结果．
