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2023年高考押题预测卷01【云南，安徽，黑龙江，山西，吉林
五省专用】
数学•全解全析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解出集合 ,再根据 列不等式直接求解.
【详解】集合 ， .
要使 ，只需 ，解得： .
故选：A
2．设i为虚数单位，且 ，则 的虚部为（ ）
A． B．2 C．2i D．
【答案】B
【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出 ，即可求出 的虚部.
【详解】由 可得： ，
则 ，所以 的虚部为2.
故选：B.
3．设向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】首先根据 ，求 的值，再判断充分，必要条件.
【详解】由条件可知， ，
得 ，化简得 ，
得 或 ，
即 或
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
4．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择
一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于
10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为 ，每名业余
棋手与乙比赛获胜的概率均为 ，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋
手人数至少为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】A
【分析】由二项分布及其期望计算即可.
【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜
的业余棋手人数为Y；
设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-
n．
X所有可能的取值为0，1，2， ，n，则 ， ；
Y所有可能的取值为0，1，2， ，32-n，则 ， ，
所以获胜的业余棋手总人数的期望 ，
第2页（共30页）解得 ．
故选：A．
5．若 ，则 （ ）
A． B．1 C．15 D．16
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件即得.
【详解】因为 ，
令 得， ，
令 得， ，
所以， ．
故选：C.
6．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若
正整数 只有1为公约数，则称 互质，对于正整数 是小于或等于 的正
整数中与 互质的数的个数，函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例
如： ， .记 为数列 的前 项和，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得 ，结合等比数列求和公式运算求解.
【详解】由题意可知：若正整数 与 不互质，则 为3的倍数，共有 个，
故 ，
∵ ，即数列 是以首项 ，公比 的等比数列，故 .
故选：D.
7．已知函数 ， ，下列命题中：
① 的最小正周期是 ，最大值是 ；
② ；
③ 的单调增区间是 （ ）；
④将 的图象向右平移 个单位得到的函数是偶函数，
其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】化简可得 ，即可求出周期、最大值，得出①；代入
化简 ，即可得出②；解 ，即可得出③；
根据图象平移，得出 ，求出 即可判断④.
【详解】
.
第4页（共30页）对于①， ，
因为 ，所以 的最大值为 ，故①正确；
对于②，
，故②正确；
对于③，由 可得，
，
所以， 的单调增区间是 （ ），故③正确；
对于④，将 的图象向右平移 个单位得到的函数为
，
，故④错误.
综上所述，①②③正确.
故选：C.
8．已知 是定义在 上的奇函数， ，且 在 上单调递增，则不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意不等式 等价于 ，再根据函数的单调性分和 两种情况讨论即可得解.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数， ，且 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知点 ， ，点P为圆C： 上的动点，则
（ ）
A． 面积的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A，点P动到圆C的最低点 时， 面积的最小值，利用三角形面
积公式；对于B，当点P动到 点时， 取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；
对于C，当 运动到与圆C相切时， 取得最大值，利用正弦值，求角即可求
解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.
【详解】 ，
圆C是以 为圆心， 为半径的圆.
第6页（共30页）对于A， 面积的最小值为点P动到圆C的最低点 时， ，
，故选项A错误；
对于B，连接 交圆于 点，当点P动到 点时， 取到最小值为
，故选项B正确；
对于C，当 运动到与圆C相切时， 取得最大值，设切点为 ,
， ，
，故选项C正确；
对于D， ，当点P动到 点时， 取得最
大值，即 在 上的投影，
，故选项D正确；
故选：BCD.
10．如图，在正方体 中，点P为线段 上的一个动点（不包含端
点），则（ ）A．
B．直线PC与直线 异面
C．存在点P使得PC与 所成的角为60°
D．存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°
【答案】ABD
【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；证明 平面 ，PC 平面
，可判断B；求出PC与 所成的角的最大值恒小于60°可判断C；求出PC
与底面ABCD所成的角为60°时， 的长度可判断D.
【详解】对A，在正方体 中，易得 ， 底面 ，
平面 ， ，
， 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，故A正确；
对B，因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，且 ，
所以直线PC与直线 异面，故B正确；
第8页（共30页）对C，因为 ，所以PC与 所成的角即为PC与 所成的角，
由图可知，当点 位于点 处时， 最大，此时 ，
所以PC与 所成的角恒小于60°，故C不正确；
对D，过点 作 平面 交直线 于点 ，则 ，
设正方体的边长为 ，PC与底面ABCD所成的角即为 ，
若 ，则 ，
则 ，所以存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°.
故D正确.
故选：ABD.
11．以下说法正确的是（ ）
A．89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95
B．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据 ， ， ， ，
由此得到的线性回归方程为 ，回归直线 至少经过点 ，
， ， 中的一个点
C．相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
D．已知随机事件A，B满足 ， ，且 ，则事件A与B
不互斥
【答案】ACD
【分析】对于A选项：结合百分位数的定义即可求解；对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；
对于C选项：根据相关系数的性质即可判断；
对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.
【详解】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则 不是整数，则
第75百分位数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95，所以A选项正
确；
对于B选项：线性回归方程 不一定经过点 ， ， ，
中的任何一个点，但一定经过样本的中心点即 ，所以B选项错误；
对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的绝
对值越接近于 ，所以C选项正确；
对于D选项：因为 ，则 ，
则事件 与 相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确；
故选：ACD.
12．已知函数 满足：① 为偶函数；② ， ．
是 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 关于 对称 B． 的一个周期为
C． 不关于 对称 D． 关于 对称
【答案】ABD
【分析】A选项，对 两边求导可判断选项正误；
B选项，由①②可知 的一个周期为 ，即可判断选项正误；
C选项，验证 是否等于2d即可判断选项正误；
D选项，验证 是否成立可判断选项正误.
第10页（共30页）【详解】A选项，由 两边求导得 ，即
关于 对称，故A正确；
B选项，由 为偶函数，知 .
又 ，
则
，即 的一个周期为 ，则 的一个周期为 ，
故B正确；
C选项，注意到当 时， .
则 ，即此时
关于 ，即 对称，故C错误；
D选项，由 为偶函数，知 关于 对称，即 ，则
，即 关于 对称，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ，若对任意 ，都有 ，则
的最大值为________.
【答案】 /0.5
【分析】运用整体法，根据正弦型函数的图像求解.
【详解】由题意， ， ，又 ，，
由正弦函数 的单调性和周期性可知： ；
故答案为： .
14．平面四边形 中， ， ， ， ， ，点
在直线 上，点 在直线 上，且 ， ，
，则 的最小值为______.
【答案】
【分析】过点 作 于 点，以点 为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据
已知得出点以及向量的坐标，根据 ，得出 ，然后根据基本不等式
“1”的代换，即可得出答案.
【详解】过点 作 于 点.
因为 ， ，
所以 ， ， .
如图，以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
第12页（共30页）所以， ， ， ， ，
所以， ， ，
所以， ， .
因为 ，
所以有 ，
所以 ，所以 ，
所以， ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故答案为： .
15．如图，多面体 中，面 为正方形， 平面 ，且
为棱 的中点， 为棱 上的动点，有下列结论：
①当 为 的中点时， 平面 ；
②存在点 ，使得 ；
③三棱锥 的体积为定值；
④三棱锥 的外接球的体积为 .
其中正确的结论序号为__________.
【答案】③
【分析】根据线面平行的判定定理，及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，
以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】①：当H为DE的中点时，取 中点为 ，连接 ，如下所示：
因为 分别为 的中点，故可得 // ， ，
根据已知条件可知： // ，故 // ，
故四边形 为平行四边形，则 // ，显然 与面 ，
故 与面 相交，即不平行，故①错误；
②：因为 面 面 ，故 ，
又四边形 为矩形，故 ，则 两两垂直，
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
则 ，设 ， ，
所以 ，故不垂直，故②错误；
③： ，因为 均为定点，故 为定值，
又 // 面 面 ，故 //面 ，
又点 在 上运动，故点 到面 的距离是定值，
第14页（共30页）故三棱锥 的体积为定值，则③正确；
④：取△ 的外心为 ，过 作平面 的垂线 ，
则三棱锥 的外接球的球心 一定在 上，
因为 面 ， 面 面 ，则 ，又 ，
面 ，故 面 ,即 面 ，
则 // ，故 在同一个平面，过 作 ，连接 如图所示.
在△ 中，容易知 ，
由余弦定理得 ，故 ，
由正弦定理得 ；
设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，且P为BC中点，
在△ 中 ， ，又 ，
由勾股定理知： ，即 ，
该棱锥外接球的体积 ，故④错误.
故答案为：③.
16．已知双曲线C： 的左顶点为A，P为C的一条渐近线上一点，
AP与C的另一条渐近线交于点Q，若直线AP的斜率为1，且A为PQ的三等分点，则C的离心率为______．
【答案】
【分析】写出直线 的方程为 ，将其分别与双曲线渐近线联立解出 的纵
坐标，根据 为 的三等分点，得到关于 的方程，最后化为关于 的齐次方程，
即可得到离心率.
【详解】不妨设点 在第二象限，直线 的方程为 ，
联立 ，得点 的纵坐标 ;
联立 ，得点 的纵坐标 .
由 为 的三等分点,可知 ，则有 ，整理得 ,
则 ，则 ，故 的离心率 .
故答案为： .
四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
第16页（共30页）.
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系得 ，根据余弦定理
求 的余弦值，进而确定其大小；
（2）由已知和余弦定理得 ，再由 求面积最大值，
注意取值条件.
【详解】（1）由已知 ，
即 ，由正弦边角关系得 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）由余弦定理，得 ，又 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故 的面积的最大值为 .
18．（12分）已知数列 中， ， ．
(1)记 ，证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【分析】（1）由已知可推出 ，即可得出证明；
（2）求出 ，写出 的通项公式，即可得出 ；
（3）将 的表达式代入 ，裂项可推得 ，然后求和即可
得出答案.
【详解】（1）因为 ，
故数列 是公比为2的等比数列.
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
（3）因为 ，
所以
．
第18页（共30页）19．（12分）在四棱锥 中，四边形 为等腰梯形， ，
， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在等腰梯形 中， ， ， ，
过点C作 于E，则 ，可知 ，
由余弦定理知 ，
则 ，所以 .
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：因为 平面 ， ，所以C为坐标原点， ， 的方向分
别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系.则 ， ， ， ，
， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，即 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20．（12分）今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预
订人数也开始增多.某调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200
名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段所占百分比如图所示：
第20页（共30页）年龄在19-35岁的人群称为青年人群，已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预
订的青年游客概率为 .
(1)请将下列 列联表补充完整，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，
认为旅游预订与是否为青年有关；
预定旅游 不预定旅游 合计
青年
非青年
合计
(2)按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意选取3人，
求3人中至少有2人是青年人的概率.
附：① ，其中 .
②
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表答案见解析，能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预
订与是否青年有关
(2)
【分析】（1）先求出青年游客预订旅游人数，再求出青年游客不预订旅游的人数，从
而得到 列联表，再利用 列联表求出 的值，从而得到结论；
（2）先求出每层抽取的人数，再求出基本事件的个数和事件 包含的个数，利用古典概率公式即可求出结果.
【详解】（1）200名有预订的游客中，青年游客人数为 ，
200名不预订的游客中，青年游客人数为 ，
可知 列联表如下
预订旅游 不预订旅游 合计
青年 120 75 195
非青年 80 125 205
合计 200 200 400
所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否青年有关.
（2）按分层抽样，从预定游客中选取5人，
其中青年游客的人数为 人，非青年游客2人，
所以从5人中任取3人，其中至少有2人是青年人的概率为
.
21．（12分）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ， 与
轴交于两点 ， ，过点 的直线 与 交于另一点 ，并与 轴交于
点 ，直线 与直线 交于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为原点，当点 异于点 时，求证： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
第22页（共30页）【分析】（1）由椭圆过点 及离心率，可得椭圆方程；
（2）法一：设直线 方程，联立方程组确定点 ，联立直线 ， 方程可得 ，从
而确定 ；法二：设 ，分别表示直线 ， ，进而表示点 ，即可
确定 ，若直线 过点 ，可得 ，当直线 不过点 时，要证
，即证 ，化简即可得证；法
三：设 ，分别表示直线 ， ，进而表示点 ，即可确定 ，化简
即可.
【详解】（1）由题意得 ，
又因为 ，解得 ， ，
所以 的方程为 ；
（2）
法一：
若 的斜率不存在，则 ，
此时 ， ，不符合题意，
若 的斜率存在，则设 的斜率为 ，则 的方程为 ，联立方程 ，得 ，
解得 ， ，
所以 ，
所以 ，
，
则 ，
又 ，
，
联立 ， 的方程，解得： ， ，
所以 点坐标为 ，
直线 ，令 ，解得： ，
所以 ，
所以 为定值.
法二：
若 在 轴上，则 ，
第24页（共30页）此时 ， ，不符合题意，
设 ， 则 ，且 ， ，
， ， ，
， ，
消去 得 ，
，
解得 ，
， ，
令 ，解得 ，
，
特别地，当 过点 时， ， ，此时 ，
要证 恒成立，即 恒成立，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
即 ，
上式显然成立，所以 .
法三：
若 在 轴上，则 ，
此时 ， ，不符合题意，
设 ， 则 ，且 ， ，
， ， ，
， ，
消去 得 ，
，
解得 ，
， ，
令 ，解得 ，
第26页（共30页）所以 为定值.
22．（12分）已知函数 ， 为 的导数．
(1)讨论 的单调性；
(2)若直线 与曲线 有两个交点，求a的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）设 ，对 求导，分 和 讨论即可；
（2）分离参数得 ，设 ，利用导数研究其值域与图像即
可.
【详解】（1）设 的定义域为 , .
当 时, 在 上为增函数,在 上单调递增;
当 时,令 ,得 .
若 ,则 单调递增,
若 ,则 单调递减.
综上,当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.（2）直线 与曲线 有两个交点,即关于 的方程 有两个解,
整理方程,得 .
令 ,其中 ,
则 .
令 ，则 .
当 时, ,此时函数 单调递增,
当 时, ,此时函数 单调递减.
由 ,
得 时, ,则 ,
当 时, ,则 ,
当 时, ,则 ,
则函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
则 .
当 趋近于 时, 趋近于0,即当 时, ;
当 趋近于0时, 趋近于 ,
作出如图所示图象：
第28页（共30页）故要使直线 与曲线 有两个交点,则需 ,
即 的取值范围是 .第30页（共30页）
