数学答案_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_3数学高考模拟题_新高考_2023届北京市昌平区高三上学期期末质量抽测数学_2023届北京市昌平区高三上学期期末质量抽测数学

昌平区 2022~2023 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷 2023.1 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项. 1. 已知集合 ，则集合 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意 . 故选：C 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，且满足 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得 ，结合复数的几何意义可得 ，由此求得答案. 详解】由 得 ， 【 又复数 对应的点的坐标是 ，即 ， 故选：A3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反例或基本初等函数的性质可得正确的选项. 【详解】对于A，设 ，则 ， 故 在定义域内不是减函数，故A错误. 对于B，设 ，其定义域为 且 ， 故 为奇函数，而 为 上的增函数， 故 为 上的减函数，故B正确. 对于C，设 ，因为 ，故 在定义域内不是减函数，故C错误. 对于D， 的定义域为 ，故该函数不是奇函数，故D错误. . 故选：B 4. 若 ， ，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特例法，判断选项即可. 【详解】解：不妨令 ，则 ，∴A、B不正确； ，∴D不正确，C正确. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式比较大小，特值法有效，是基础题. 5. 已知二项式 的展开式中 的系数是10，则实数 （ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式 的展开式为 ， 令 ，解得 ， 所以 . 故选：B 6. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】 ，所以 ， 所以 . 故选：D 7. 在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，则“角 与角 的终边关于 轴对称”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断命题“角 与角 的终边关于 轴对称”和“ ”之间的逻辑推理关系，可得答案. 【详解】由题意知，角 与角 的终边关于 轴对称时，则 ， 故 ，则 ，即 ； 当 时，此时 ，角 与角 的终边不关于 轴对称， 即“ ”成立不能得出“角 与角 的终边关于 轴对称”成立， 故“角 与角 的终边关于 轴对称”是“ ”的充分而不必要条件， 故选：A 8. 图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为 通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向 右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（ ）A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】由上而下依次归纳小球到每一层相邻两球空隙处的线路数后可正确的选项. 【详解】第一层只有一个小球，其左右各有一个空隙，小球到这两个空隙处的线路数均为1； 第二层有两个小球，共有三个空隙，小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为：1,2,1， 第三层有三个小球，共有4个空隙，小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为： 即为 ， 第四层有四个小球，共有5个空隙，小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为： 即 为 ， 第五层有五个小球，共有6个空隙，小球到这六个空隙处的线路数从左到右依次为： 即为 ， 第六层有六个小球，共有7个空隙，小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为： 即为 ， 故小球落入D区的路线数有20条. 故选：C. 9. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 .斜率为 的直线经过焦点 ，交抛物线 于点 ，交准线 于点 （ 在 轴的两侧）.若 ，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线 的斜率以及 求得 ，从而求得抛物线的方程. 【详解】直线 的斜率为 ，倾斜角为 ， 过 作 ，垂足为 ，连接 ， 由于 ，所以三角形 是等边三角形， 所以 ， 由于 ，所以 ， 所以抛物线方程为 . 故选：B 10. 已知向量 满足 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把 平移到共起点以 的起点为原点， 所在的直线为 轴， 的方向为 轴的正方向，求出 的坐标，则根据 得 的终点得轨迹，根据 的意义求解最大值. 【详解】把 平移到共起点，以 的起点为原点， 所在的直线为 轴， 的方向为 轴的正方向，见 下图，设 ，则 又 则点 的轨迹为以 为直径的圆，又因为 所以 故以 为直径的圆为 ，所以 的 最大值就是以 为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为 故选：C 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知数列 中， ，则数列 的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案. 【详解】数列 中， 则 ，否则与 矛盾， 故 ，即数列 为首项为2，公比为2的等比数列， 所以 ， 故答案为： 12. 已知双曲线 的焦点为 ，点 在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为__________； 若 ，则 __________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求得 ，由此求得双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义求得 【详解】依题意 ，所以双曲线的渐近线方程为 ， 由于 ，所以 在双曲线的左支，所以 . 故答案为： ； 13. 在 中， ，则 __________， __________.【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据余弦定理可求 ，再根据余弦定理看可求 . 【详解】由余弦定理可得 ， 故 ，故 （舍）或 ， 故 ，而 为三角形内角，故 . 故答案为： ， . 14. 若直线 与圆 有公共点，则 的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】求出直线 所过的定点，当点 在圆上或圆内时，直线 与圆 总有公共点,列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知 ,直线 过定点 ， 当点 在圆上或圆内时，直线 与圆 总有公共点, 即 ， 即 的最小值为5， 故答案为：5 15. 已知正三棱锥 的六条棱长均为 是底面 的中心，用一个平行于底面的平面截三棱 锥，分别交 于 点（不与顶点 ， 重合）. 给出下列四个结论：①三棱锥 为正三棱锥； ②三棱锥 的高为 ； ③三棱锥 的体积既有最大值，又有最小值； ④当 时， . 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】建立正四面体模型，数形结合分析. 【详解】如图所示 ∵用一个平行于底面的平面截三棱锥， 且 为正三棱锥， 是底面 的中心 ∴三棱锥 为正三棱锥，故①正确； ∵正三棱锥 的六条棱长均为 , 是底面 的中心， ∴三棱锥 的高为 , 的高为 ，且 , , ∴ ，故②正确，∵ 点不与顶点 ， 重合， ∴ ，设 的高为 ，则 ，得 ， ∴ ， ，在 上 ， 上 ， 所以 在 上递增， 上递减，故在 上有最大值，无最小值，故③错误； 当 时，点 分别为线段 的三等分点， ∴ ，且 ∴ . 故④正确; 故答案为：①②④ 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数 ，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知， （1）求 的解析式； （2）当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 条件①：函数 的图象经过点 ；条件②：函数 的图象可由函数 的图象平移得到； 条件③：函数 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 . 注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） ; （2） . 【解析】 【分析】（1）化简 ，若选①，将点 代入求得 ，可得答案；选②，根 据三角函数图象的平移变化规律可得 ，可得答案；选②，由函数的最小正周期可确定 ，可得答 案； （2）由 确定 ，从而求得 的范围，根据不等式恒成立即可确定实数 的取 值范围. 【小问1详解】 ; 选①：函数 的图象经过点 ，则 ， 所以 ，则 ， 由 ，可得 ，则 ； 选②：函数 的图象可由函数 的图象平移得到， 即 的图象可由函数 的图象平移得到，则 ，则 . 选③：函数 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ， 则函数的最小正周期为 ，故 ， 故 . 【小问2详解】 当 时， ,则 ， 故 ， 又当 时，关于 的不等式 恒成立，故 , 即实数 的取值范围为 . 17. 不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品， 并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项 目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性､耐磨性､耐碱性､手柄温度､温度均匀性和使用体验等6个指标. 其中消费者关注最多的两个指标“不沾性､耐磨性”检测结果的数据如下： 检测结果 序号 品牌名称 不粘性 耐磨性 1 品牌1 Ⅰ级 Ⅰ级 2 品牌2 Ⅱ级 Ⅰ级 3 品牌3 Ⅰ级 Ⅰ级 4 品牌4 Ⅱ级 Ⅱ级 5 品牌5 Ⅰ级 Ⅰ级6 品牌6 Ⅱ级 Ⅰ级 7 品牌7 Ⅰ级 Ⅰ级 8 品牌8 Ⅰ级 Ⅰ级 9 品牌9 Ⅱ级 Ⅱ级 10 品牌10 Ⅱ级 Ⅱ级 11 品牌11 Ⅱ级 Ⅱ级 12 品牌12 Ⅱ级 Ⅱ级 （Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好） （1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概 率； （2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，求随机变量 的分布列 和数学期望； （3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设 为性能都是Ⅰ级的品牌个数，比较随机变量 和随 机变量 的数学期望的大小（结论不要求证明）. 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P （3） 【解析】 【分析】(1)直接计算事件发生概率； (2) 可能取值为0,1,2，分别计算出概率，再列分布列，计算期望值； (3 可能取值为0,1,2，分别计算出概率，计算期望值，再比较大小. 【小问1详解】 “不粘性”性能都是Ⅰ级的品牌有5个，记事件A为两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级， 则 【小问2详解】 前六个品牌中性能都是Ⅰ级的品牌有3个， 可能取值为0,1,2, ; ; ; ∴ 分布列为 X 0 1 2 P 【小问3详解】 后六个品牌性能都是Ⅰ级的品有2个， 可能取值为0,1,2, ； ； ； ∴ 数学期望为 18. 如图，在多面体 中，侧面 为矩形， 平面 ， 平面. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求直线 到平面 的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）先证明 平面 ，进而证明 ，从而根据线面平行的判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标和相关向量坐标，求出平面 的法向量，根据空间向量的 夹角公式即可求得直线 与平面 所成角的正弦值； （3）结合（2）的结果，利用空间距离的向量求法，先求点 到平面 的距离，即可求得直线 到 平面 的距离. 【小问1详解】 证明：由题意 平面 ， 平面 ,故平面 平面 ， 又侧面 为矩形，故 ,, 而 平面 平面 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 ,而 平面 ， 平面 ， 故 平面 . 【小问2详解】 因为 平面 ， 平面 ，故 ， 而 平面 ， 故以A为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系， 因为 , 则 , , 则 设平面 的法向量为 ，则 , 即 ，令 ，则 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 . 【小问3详解】 因为侧面 为矩形，所以 , 而 平面 , 平面 ,故 平面 ， 则直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离， ，平面 的法向量为 ， 故点 到平面 的距离为 , 即直线 到平面 的距离为 . 19. 已知椭圆 过点 ，且离心率是 . （1）求椭圆 的方程和短轴长； （2）已知点 ，直线 过点 且与椭圆 有两个不同的交点 ，问：是否存在直线 ，使得 是以点 为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1） , . （2）存在,直线 . 【解析】 【分析】（1）由题意椭圆过点 可得 ，根据离心率求得c,继而求得b，可得答案. （2）假设存在直线 ，使得 是以点 为顶点的等腰三角形，讨论直线斜率是否存在的情况，存在时 设出直线方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，设 的中点为点D，根据题意可得 ， 化简计算，求得k的值，进行判断，可得结论.【小问1详解】 由题意知椭圆 过点 ，且离心率是 ， 则 ，且 ， 故椭圆 的方程为 ，短轴长为 . 【小问2详解】 假设存在直线 ，使得 是以点 为顶点的等腰三角形, 由于直线 过点 ,当直线斜率不存在时,直线l为 ， 此时 为椭圆的短轴上的两顶点，此时 是以点 为顶点的等腰三角形； 当直线 斜率存在时，设直线方程为 ， 联立 ，得 ， 当直线 与椭圆C有两个不同的交点 时， 该方程 ，整理得 ， 设 ， 则 ， 所以 ， 设 的中点为点D，则 ，即 ，则 , 当 时， 斜率不存在， 此时 的斜率k为0，不满足 ，故 ， 由题意可知 ,即 ， 解得 或 ，由于 ，故 或 不适合题意， 综合以上，存在直线 ，使得 是以点 为顶点的等腰三角形. 【点睛】关键点点睛：解决直线和椭圆的位置关系中是否存在的问题时，一般是先假设存在，然后设直线 方程，联立椭圆方程，结合根与系数的关系化简求值，解答的关键点是要能根据题设即 是以点 为 顶点的等腰三角形，设 的中点为点D，得到 ，然后结合根与系数关系化简求值，即可解 决问题. 20. 已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）讨论函数 的单调性； （3）当 时，证明：对任意的 恒成立. 【答案】（1） （2）答案详见解析 （3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程. （2）求得 ，对 分类讨论，由此来求得 的单调区间.（3）结合（2）求得 在区间 上的最小值，由此证得结论成立. 【小问1详解】 当 时， ， ， 所以切线方程为 . 【小问2详解】 依题意， ， ， 当 时， ，解得 , 则 在区间 递减；在区间 递增. 当 时， 解得 或 , 当 时， 在区间 递增； 在区间 递减. 当 时， 在 上递增. 当 时， 在区间 递增； 在区间 递减. 【小问3详解】 当 时， ， 由（2）可知， 在 递减，在 递增， 所以， 所以对任意的 恒成立. 【点睛】利用导数研究含参数的复杂函数的单调性，要注意两点，一个是尽量进行因式分解，将复杂的问 题转化为较为简单的问题来进行求解；第二个是对参数进行分类讨论，要做到不重不漏，分类标准要根据 导函数的结构来制定. 21. 已知数列 满足： ，且 .记集合 . （1）若 ，写出集合 的所有元素； （2）若集合 存在一个元素是3的倍数，证明： 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合 的元素个数的最大值. 【答案】（1） （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可求 的所有元素； （2）根据递推关系结合数学归纳法可得相应的证明； （3）利用列举法可求 的元素个数的最大值 【小问1详解】 若 ，则 ， ， ， ，故 中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2. 故 . 【小问2详解】 设 ，若 ，则 ，因 互质，故 为3的倍数； 若 ，则 即 ，因 互质， 故 为3的倍数， 依次类推，有 均为3的倍数. 当 时，我们用数学归纳法证明： 也是3的倍数. 当 时，若 ，则 ，故 为3的倍数； 若 ，则 ，故 为3的倍数， 设当 时， 是3的倍数即 为3的倍数， 若 ，则 ，故 为3的倍数； 若 ，则 ，因 为3的倍数，故 为3的倍数， 故当 时， 是3的倍数也成立， 由数学归纳法可得 是3的倍数成立， 综上， 的所有元素都是3的倍数. 【小问3详解】 当 ，则 ， ， ， ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为4； 当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为4； 当 ，则 ，故 的元素个数为5；当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为4； 当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为4； 当 ，则 ，故 的元素个数为5； 当 ，则 ，故 的元素个数为1； 当 时， 的元素个数不超过为5， 综上， 的元素个数的最大值为5. 【点睛】思路点睛：根据递推关系研究数列的性质时，可根据局部性质结合数学归纳法去研究整体性质， 另外对于数学有限情况的研究，可结合列举法讨论解决.