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2023CEE-01
数学
重 庆 缙 云 教 育 联 盟
2023 年高考第一次诊断性检测
数学参考答案及评分标准
1-8 CBDCDDCC
【7题解析】由条件有 ，即 ，因为
，所以 的最小值为 .故选：C.
【8题解析】 为奇函数， 图像关于点 对称，由 得：
，则方程的根即为 与直线 的交点，作出 图像如图所示，
①当 ，即 时，如图中 所示时， 与直线 有 个交点
，
与 均关于 对称， ；
②当 ，即 时，如图中 所示时， 与直线 有
个交点 ，
与 均关于 对称， ；
③当 ，即 时，如图中 所示时， 与直线 有
个交点 ，与 均关于 对称， ；
④当 时，如图中 所示时， 与直线 有 个交点 ，
与 均关于 对称， ；
⑤当 ，即 时，如图中 和 所示时， 与直线
有且仅有一个交点 ， .
综上所述： 取值的集合为 .故选：C.
9.CD 10.BC 11.ACD 12.ACD
【11题解析】由于1， ， ，…， ，2为等差数列，所以
，
对于A， ，所以A正确，对于C， ， 随着n的增大而增大，故正确，
对于B, 1， ， ，…， ，2,公差为 ,所以
，因此
，
不为常数，故B错误，
对于D, ,所以
，
令 ，则 在 恒成立，所以
，即 ，( ）,因此
，所以 ,
进而 ，所以，故 随着n的增大而增大，D正确，故选：ACD
【12题解析】对A选项， 底面 ，且 平面 ， , ，
，且 平面 ， 平面 , 平面 ， ，
， ，且 平面 ， 平面 ， 平面
， ，故A正确，对B选项，当 时,无法得出 一定为直角三
角形，例如 点取点 不是直角三角形，若 ，则 ，又
， ， 平面 ，则 平面 ， 平面 ，
则 ，而 ， ， 平面 ，则 平面 ，
平面 ，则 ，显然不成立，故此时 ，若 ，则
， ， ， 平面 , 平面 ，
平面 ， ，显然不成立，故此时 ，
若 ，则 ，而 ， 平面 ， ，所以
平面 ， 平面 ， ，显然不成立，故 ，故B错
误，对C选项，由A选项证得 平面 ， ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ，故C正确，对D选项，在平面 内，过点 作
的垂线，垂足为 ，
假设平面 平面 ， 平面 平面 ， ，且 平面
， 平面 ，而若此时 平面 ，这与过平面外一点作平面的垂线有
且只有一条矛盾，故当 平面 时,平面 与平面 不可能垂直，故D正确，
故选：ACD.
13．
14．
15．185
16.
【15题解析】由题得从上述12个景区中选3个景区，共有 个结果，由题得从上述12个景区中选3个景区，全部不是传统红色旅游景区的选法有 ，所以至少含有
1个传统红色旅游景区的选法有220-35=185种.故答案为：185
【16题解析】由两点间的距离公式可知 ，则 是边长为 的等边
三角形，
设 的内切圆的半径为 ，则 ，解得 ，因为点 、 关
于 轴对称，所以， 的内切圆圆心在 轴上，
易知直线 的方程为 ，原点 到直线 的距离为 ，所以， 的内切圆为
圆 ，设点 ，
，其中点 ，
所以， ，当且仅当点 为射
线 与圆 的交点时，等号成立，故 的最小值为 .故答案为： .
17．(1)解：由图可知，小正方形的边长为 ，且 ，
大正方形的边长为 ，
所以，
，
………………………………………………3分
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以 ，可得 ，设 且满足 ，
所以， ， ，锐角 满足 .
……………………………………5分
(2)解： ，锐角 满足 ，
因为 ，则 ，
且 ，则 ，
因为 ，且 ，所以， ，
所以 ，此时 ，则 ，因此，面积 的最小值为
．………10分
18．（1）如图，以D为原点，DA，DC， 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角
坐标系 ，
……………
……………2分
则 ， ， ， .因为 ， ，
所以 .所以 ，故 .
………………………4分
（2）由（1）中的坐标系及题意可知 ， ， ， .
………………5分因为 ， .
所以 ，
…………………………………………………8分
又 ， ，
所以 ，
故直线 与 所成角的余弦值为 .
…………………………………………………………12分
19．（1） ， ，故 ， ，
所以 年末该市普通汽车的保有量 （万辆）.
……………………………………4分
（2） 得 ，而 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
…………………………………………………………6分
所以 ，即 ，
…………………………………………………………8分
解 得 ，求得 ，
………………………………11分
即从 年末开始，该市普通汽车的保有量首次少于 万辆.
…………………………………………12分
20．（1）X可能的取值为0，1，2，4（显然，若小狗取对了三件物品，则第四件物品也
一定是取对的，故X不可能为
3．）………………………………………………………………………………………………1
分
，
．
…………………………………………………………4分故分布列为：
X 0 1 2 4
P
………………………
…………6分
．
……………………………………………………………………8分
（2）小狗连续两次得分都大于2分，即小狗每一次都得四分．若小狗取物品都是随机的，
那么连续两次得4分的概率仅为 ，这个概率非常小，所以小明认为小
狗取物品应该不是随机的，是他对小狗的训练起了作用，这个认为是合理的．
………………………………………………………………12分
21．（1）解：设椭圆的标准方程为 ，
由题意可得 ，解得 ， ，
……………………………………………………4分
所以椭圆的标准方程为 ；
……………………………………………………………………5分
（2）解：设点P，O，R的坐标分别为 ， ， ，由题设知 ， ，
由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，
得方程组 ，解得 ①， ②，
……………………………………7分
由点O、Q、P共线，得 ，即 ③，
……………………………………………………8分
因为 ，所以 ，则 ，
…………………………………………10分
将①、②、③式代入上式，
整理得点Q的轨迹方程为 ．
……………………………………………………12分
22．（1）函数 在定义域 上可导，
①…………………………………………1分
令 ，得 ．
…………………………………………………………………………2分
显然，对于满足上述方程的 有 ，
上述方程化简为 ．此方程一定有解． 的极值点 一定满足 ．
由 ，得 ．
因此， ．
…………………………………………………………5分
（2）设 ， ， ，则 ，
……………………6分
所以 在 ， ，上单调递增，
由于 为奇函数，所以不妨设 ，其中 ，且 为相邻的两个
零点，
即 ， ， ，
……………………………………………………8分
，
由于 在 ， ，上单调递增，
所以 ，
因此 ， ．
所以 ，因此 ，故 ，
…………………………………………10分由于当 时，令 ，所以 在
单调递增，所以当 时， ，由于
，
则 ，所以
，
记 在 单调递增，
由于 ， ， ，所以 ，
所以
综上， ．
………………………………………………………………12分
