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专题 11 锐角三角函数重难点模型（五大模型）
【题型1：背靠背模型】
【题型2：母子型】
【题型3：三角形—+矩形型】
【题型4：拥抱型】
【题型5：锐角三角函数的新定义综合】
【题型1：背靠背模型】
【方法技巧】
通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和
Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下：
特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高
【典例1】图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如
图②所示的示意图．在其附近高为4m的高台CD上的D处测得塔顶A处的仰角为45°，塔底部B处的俯
角为22°．求亚帆灯塔的高AB．（结果精确到1m）【参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，
tan22°≈0.40】【变式1-1】如图是某市体育中心运动场主席台侧面．若顶棚顶端D与看台底端A连线和地面垂直．测
得看台AC的长为13.5米，∠BAC=30°，∠ACD=45°．
(1)求看台高BC的长；
(2)求顶棚顶端D到地面的距离AD的长．（结果精确到1m，取❑√3≈1.7，tan15°≈0.3）
【变式1-2】如图，为了测量某建筑物BC的高度，测最员采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在
同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后
至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、
E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=1：2.4．根据测量员的测量数据，
(1)求坡顶D到AB的距离.
(2)求建筑物BC的高度．（参考数据：❑√3≈1.732）【变式1-3】如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点
C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i =1: 2.4，在D处测
得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为多少米？（精确到0.1米，参考数据：
sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【题型2：母子型】
【方法技巧】
通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和
Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下：特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高
【典例2】如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测
量黄龙塔的高度AB的过程中，绘制了如图②的示意图．在C处用高为1.2m的测角仪CD测得塔顶端A
的仰角为45°，再向黄龙塔方向前进到达距C处22m的E处，又测得塔顶端A的仰角为64°．求黄龙塔
的高度AB（结果精确到1m）．【参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05】
【变式2-1】如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰
角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了20m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1:❑√3，沿着斜
坡前进40m到达F处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i=1:❑√3是指坡面的铅直高度FE与水平宽
度DE的比）．
(1)求斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为多少米？
(2)求建筑物BC的高度为多少米？
(3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为2(❑√3+3)m/s，同
时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速
的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？
【变式2-2】高楼AB和斜坡CD的纵截面如图所示，斜坡CD的底部点C与高楼AB的水平距离CB为30米，斜坡CD的坡度（坡比）i＝1:2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝10米，在点D处测得高楼楼
顶点A的仰角为50°，求楼的高度AB（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin50°≈0.766，
cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
【变式2-3】如图，有一塑像DE在高13.4m的假山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿
AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求塑像DE的高度．（精确到1m．参考数
据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，❑√3≈1.73）
【题型3：三角形—+矩形型】
【典例3】如图．某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方
一座楼亭前的台阶上点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得
树顶端D的仰角为60°．已知点A的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1:❑√3，且B，C，E三点在同一
条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计）【变式3-1】如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1：2的山坡CF，点C与点B在
同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶
A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20❑√5米（即CD=20❑√5米）到达点D处，此时在D处测得楼
顶A的仰角为26.7°．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.5）
(1)求点C到点D的水平距离CE的长；
(2)求楼AB的高度．
【变式3-2】贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索
道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到
达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水
平线的夹角为45°，A，B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在
同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）
(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；
(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，
tan15°≈0.27，❑√2≈1.41）【变式3-3】如图，为测量公园内宝塔AB的高度，在距离宝塔中心20m处（AC=20m）的一个斜坡
CD上进行测量．已知斜坡CD与地面AF的夹角为30°，斜坡CD长10m，DF垂直于地面，在点D处竖
直放置测角仪DE，测得宝塔顶部B的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5m，点A，B，C，D，E，
F在同一平面内．求宝塔AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据；sin37°=0.60，cos37°=0.80，
tan37°=0.75，❑√3≈1.73）
【变式3-3】为测量底部不能到达的建筑物AB的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物
顶部A的仰角为20°，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为60°，若山坡CD的坡度i=1:❑√3，坡长
CD=20米，求建筑物AB的高度．（精确到1米)（参考数据： sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，
tan50°≈1.19，❑√2≈1.41，❑√3≈1.73）
【题型4：拥抱型】
【方法技巧】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对
应的数量关系如下：分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，
BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下：
【典例4】如图，在同一水平地面上有AB和CD两栋楼，从楼AB顶部A点处测得楼CD的底部D点的
俯角为45°，从楼CD顶部C点处测得楼AB的G点的俯角为33.5°，且BG=1米，已知楼AB高25米，
求楼CD的高度．（精确到1米，参考数据：sin33.5°≈0.55，cos33.5°≈0.83，tan33.5°≈0.66）
【变式4】在数学综合实践活动中，小林和小溪利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树AB的高
度，树的底部不可直接到达，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小林把支架EF放在离树AB适
当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架EF上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，
这时恰好在镜子里看到树的顶端A，即∠CEM=∠AEN，然后小林又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为26.6度；小溪用皮尺分别测量DF、EF及小林目高CD的长．已知CD⊥BD于点
D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，MN∥BD，DF=2.0米，EF=0.3米，CD=1.8米，请
你利用测得的数据求出这棵树AB的高度（结果保留整数．参考数据：
sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【题型5：锐角三角函数的新定义综合】
【典例5】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，
底边 BC
AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA= = ．容易知道一个角的大小与这个角的正对
腰 AB
值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad90°=________．
(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．
3
(3)如图②，已知sin A= ，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
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【变式5-1】综合与实践课上，老师让同学们以“旋转”为主题开展数学活动．
[问题情景]如图1：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm．将边AB绕点A逆时针旋转α度(α≠180°)，得到线
段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F．
[初步感知]
（1）当α=90°时．四边形ABFE的形状为________．周长为________cm（直接写出答案）．
[深入探究]
（2）定义：若一个四边形有两组邻边分别相等，那么这个四边形叫做筝形．请你仅以图1判定四边形
ABFE是否为筝形，说明理由，并求出此时四边形ABFE的周长（用含α的代数式表示）．
[拓展提升]
（3）在[问题情景]的条件下，连接CE，当△FEC是以点E为直角顶点的直角三角形时，请直接写出此
时BF的长度．
【变式5-2】【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：如下图，
直线x=1与y轴的距离为1【应用】根据定义回答下列问题：
（1）如图1：直线y=−x+3与直线y=−x−2的距离是 ；
1
（2）如图2： 已知点A(1,0)，圆A的半径为1，将直线y=− x+4向下平移m个单位后与圆A相切，
2
求m的值；
【拓展】
（3）如图3，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部
1
分，建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为y= x2(−6≤x≤6)（单位长度为百
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3
米），地铁线所在的直线为y=− x−3，现在要在地铁线上建设一出口P，使得点P到该工业园距离
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最近，请求出这个最短距离并确定点P的位置（即求出点P的坐标）
【变式5-3】[建立模型]为了求得15°角的正切值，王老师带领同学们设计了如下的数学模型：
如图1，先画一个含30°角的Rt△ABC，使得AC=1，∠C=90°，∠ABC=30°．则AB=2，BC=❑√3．延
长CB到D，使得BD=AB=2，连接AD，则∠D=15°．根据正切的定义，则有：
1
tan15°= =2−❑√3．
2+❑√3
[模型运用]河南省标志性建筑中原福塔是世界最高的全钢结构塔，塔高达388米(地面至桅杆顶端)，整
个建筑分塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分．为了测量中原福塔最上端桅杆天线部分MN的高度，李
老师带领同学们在距离地面18米的A建筑物上测得塔楼101层C处的仰角为60°．往前移动77.4米，在
距离地面18米的B建筑物上测得塔楼101层C处的仰角为75°．
请您运用所学知识，求出桅杆天线MN的高度．(精确到0.01米．可能用到的数据：❑√2≈1.414，
❑√3≈1.732)
