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专题12.8 全等三角形的判定（ASA、AAS）（分层练习）
一、单选题
1．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最
省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
2．如图，用 ， ，直接判定 的理由是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是 的边 上一点， 交 于点 ， ， ，若 ， ，
则 的长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
4．如图，A在 上，F在 上，且 ， ，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．5．如图，在 中，点D、E分别在边 上， 与 相交于点O， ，添加
下列一个条件后，仍无法判定 的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点E在 外部，点D在 的 边上， 交 于F，若 ， ，
则（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，D是 上一点， 交 于点E， ， ， ， ，则 的长
度为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
8．如图， ，点 是 的中点， 平分 ，且 ，则点 到线段 的最小距
离为（ ）A． B． C． D．
9．已知，图中 的面积为24，将 沿 的方向平移到 的位置，使 和C重合，连
接 ，交 于D，则 的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的 的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，已知 是 的平分线， ，若 ，则 的面积（ ）
A． B． C． D．不能确定
12．如图所示， ， 于点 ， 交 于点 ，且 ，则下列结论不一定正
确的是（ ）A． B． C． D．
13．已知如图： ，且 ， 于D， 于D． ， ．连
接 ， ．则图中阴影部分的面积为（ ）．
A．5 B．6 C．9 D．10
14．根据下列已知条件，能唯一画出 的是（ ）．
A． B．
C． D．
15．如图，在 中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．
点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
二、填空题
16．如图， ， ，那么判定 的理由是____．17．如图， ， ，点 在 上，连接 ， ，若 ， ，
， ，则 长为__________．
18．如图， ， ， ， ，则 的度数是__________．
19．如图， 的面积为 ， 与 的平分线垂直，垂足是点 ，则 的面积为
______ .
20．如图，在 和 中， ， ，请添加一个条件______，使
（添一种情况即可）21．如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ， ，
则 的长是________ ．
22．如图，在 中，过点A作 于D，过点B作 于F交 于E，已知 ，
， ，则 的长为________．
23．如图， 是 的平分线， 于P，连接 ，若 的面积为3，则 的面积
为____________．
24．如图，在 中， ， ，垂足分别是D、E， 、 交于点H，要使得，可添加一个适当的条件：______．
25．如图，把长短确定的两根木棍 、 的一端固定在 处，和第三根木棍 摆出 ，木棍
固定，木棍 绕 转动，得到 ， 在 上， 和 不全等，这个试验说明
_____．
26．如图，等腰 中， ， 平分 ， 于 ，若 ，则 的
周长是______．
27．如图，在 中， 分别是边 上的点，过点 作平行于 的直线交 的延长线
于点 ．若 ， ， ，则 的长是________．28．如图，在 中， ， ，分别以 、 为边向外作正方形 和正
方形 ，连接 ， 的面积是______．
29．如图，在 ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF//BC交AB
于点E，交A△C于点F,，则 AEF的周长等于___________
△
30．如图，在长方形ABCD中，AD=BC=8cm，BD=10cm，点E从点D出发，以2cm/秒的速度沿DA向点
A匀速运动，点F从点C出发，以1cm/秒的速度沿CB向点B匀速运动，点G从点B出发，以a
cm/秒的速度沿BD向点D匀速运动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停
止运动，当a=__________时， DEG 和 BFG 全等．
△ △三、解答题
31．已知，如图， ， ， ，求证： ．
32．如图， ， ，求证 ．
∵ ，
∴ ______ ______，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ （ ）．
∴______＝______．
33．如图，在 和 中， ，点B为 中点， ．
(1) 求证： ．
(2) 若 ，求 的长．34．如图，在 和 中， ，点D在线段 上（与
A，B不重合），连接 ．
(1) 证明： ．
(2) 若 ，求 的长．
35．如图，线段 与 交于点 ，点 为 上一点，连接 、 、 ，已知 ，
．(1) 请添加一个条件________使 ，并说明理由．
(2) 在（1）的条件下请探究 与 的数量关系，并说明理由．
36．（1）已知 ， ，O为 中点，过O点的直线分别与 相交于点M，N，
如图1，那么 与 有什么关系？请说明理由．
（2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的 与 的关系还
成立吗？请说明理由．
参考答案
1．A【分析】根据全等三角形的判定可进行求解
解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据 来配一块一样的玻璃．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生
活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
2．C
【分析】根据三角形全等的判定方法判定即可．
解：∵在 与 中：
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握证明全等三角形的几种证明方法： 、
、 、 、 ．
3．D
【分析】利用ASA证明 和 全等，进而得出 ，即可求出 的长．
解： ，
．
， ，
（ASA）．
．
又 ，
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类
题的常用方法．
4．C
【分析】通过角的计算可得出 、 ，再结合 即可证出，由此即可得出 ，此题得解．
解：∵ ， ， ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、对顶角以及三角形内角和定理，通过角的计算求出
、 是解题的关键．
5．B
【分析】根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中
的条件，不能判定 ，从而可以解答本题．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴补充条件 时， ，故选项A不符合题意；
补充条件 ，无法判断 ，故选项B符合题意；
补充条件 时，则 ，故 ，则 ，故选项C
不符合题意；
补充条件 时，则 ，则 ，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定的知识，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数
形结合的思想解答．6．D
【分析】首先根据题意得到 ， ，然后根据 证明 ．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
故选：D．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
7．C
【分析】由 ，得 , ，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明
，则 ．
解： ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
，
的长度为4．
故选：C．【点拨】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对
应边和对应角并且证明 是解题的关键．
8．C
【分析】如图所示，过点M作 于E，证明 ，得到 ，再根据线段
中点的定义得到 ，根据垂线段最短可知点 到线段 的最小距离为4．
解：如图所示，过点M作 于E，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∴点 到线段 的最小距离为4，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂线段最短等等，正确作出辅
助线构造全等三角形是解题的关键．
9．D
【分析】根据平移的性质可得 ，证明 ，得到
，则 ，再推出 ，则 ．
解：由平移的性质可得 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 的面积为24，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移
的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对
应线段平行且相等，对应角相等．
10．C
【分析】根据全等三角形的判定定理，三角形的三边关系进行分析即可．
解：A、 ，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、 ，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，
故B不符合题意；
C、 ，符合 ，能画出形状、大小确定的三角形，故 符合题意；
D、 ， ， ，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三
角形，故 不符合题意；
故选： ．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定，三角形的三边关系，解答的关键是熟练全等三角形的判定
定理．
11．A
【分析】延长 交 于点C，根据题意，易证 ，因为 和 同高等
底，所以面积相等，根据等量代换便可得出 ．
解：如图所示，延长 ，交 于点D，，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∵ 和 同底等高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分
线和全等三角形的判定．
12．B
【分析】根据ASA判定 ，由全等三角形的性质进行解答．
解： ，
，在 与 中，
，
，
故选项A、C、D正确，但不符合题意，
而 不一定成立，故选项B符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
13．A
【分析】先证明 ，利用梯形面积与直角三角形的面积差计算即可．
解：如图，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴图中阴影部分的面积为 ，
故选A．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键．
14．C
【分析】根据三角形的三边关系，三角形全等得判定，逐项分析判断即可．
解：A、 ，即三角形两边之和小于第三边，不符合三角形的三边关系，故不符
合题意；
B、当 ， 时，以点 为圆心， 为半径，可画出2个三角形， 与 ，如
下图所示：故不能唯一画出三角形，故不符合题意；
C、满足两角夹一边，形状固定，可以画出唯一三角形，符合题意；
D、根据 ，可知 是直角三角形，已知斜边 ，但是由于两个锐角度数不确定，故
刻画出多个满足条件的三角形，故不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的三边关系，能够熟练掌握数形结合思想是解决本
题的关键．
15．B
【分析】连接 ，由 得 ， ，根据 知，当点
在线段 上时， 的最小值是 ，问题得解．
解：连接 ，
平分 交 于点 ，
， ，
，
，
且 ，
当点 在线段 上时， 的最小值是 ，
，
的最小值为7．
故选：【点拨】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称
点是解题的关键．
16．
【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可．
解：在 和 中
∴
故答案为： ．
【点拨】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三
角形全等的方法有： ， ， ， ， (直角三角形)．
17．
【分析】首先证明出 ，然后利用全等三角形的性质求解即可．
解： ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法．
18．【分析】首先由已知可求得△AOD≌△BOC，求出∠D的度数，然后利用三角形内角和求出∠DAO．
解：在△AOD与△BOC中，OA=OB，OC=OD，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC故∠D=∠ C=35°，在△AOD中
∠DAO=180°-∠ D-∠O=85°．
故答案为：85°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题过程中用到了三角形的内角和的知识，根据题目
的要求及已知条件综合运用这些知识是解题关键．
19．1
【分析】延长AP交BC于点 ，则由条件可知 ， ，则阴影部分面积为
ABC的一半，可得出答案．
△ 解：如图，延长 交 于点 ． ， ．
为 的角平分线， ．
又在 和 中， 为公共边， ．
， ， 与 等底同高， ，
【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质和三角形的面积公式，解题的关键
是熟练掌握等腰三角形的判定与性质.
20． 或 或
【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．
解：在 和 中，
∵ ， ，
若根据 ，可添加： ，
若根据 ，可添加： ，
若根据 ，可添加： ．
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定．解题的关键是熟练全等三角形的判定的方法．21．3
【分析】利用等腰直角三角形的性质和已知条件易证 ≌ ，进而可得 ， ，
所以 可求出．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 于E，
∴ ,
∴ ，
∵ 于 ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ cm， cm，
∴ cm，
故选答案是：3．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．3
【分析】先证 ，再由全等三角形的对应边相等得 ，再根据
即可求解．
解：∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
在 与 中∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是证明 ．
23．6
【分析】如图所示，延长 交 于E，根据已知条件证得 ，根据全等三角形的性质得
到 ，得出 ，推出 ，代入求出答案即可．
解：如图所示，延长 交 于E，
∵ 是 的平分线， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点拨】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，熟知等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．
24． （答案不唯一）
【分析】由垂直的定义和余角的性质可得 ， ，故只需要添加一个
边的条件即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴要使得 ，根据“角角边”可添加 （答案不唯一）；
故答案为： （答案不唯一）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题关键．
25．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可求解．
解：由题意可知 ， ， ，满足有两边和其中一边的对角分别相等，但
是 与 不全等，
所以这个试验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．
26．6
【分析】由 平分 得 ，通过证明 得到
，最后通过边的转换即可解答．
解： 平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，的周长为： ，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练在掌握三角形全等的判定与性质是解题的关
键．
27．3
【分析】证明 ，得出 ，即可得出答案．
解： ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
的长为3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，证明三角形
全等是解题的关键．
28．
【分析】延长 ，过 作 ，由“ ”可证 ，可得 ，由三角形的面
积公式可得结论．
解：延长 ，过 作 ，则 ，由题意可知 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 的面积 ，
故答案为： ．
【点拨】本题是全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
29．13
【分析】利用平行和角平分线的定义可得到∠EBD=∠EDB，所以可得ED=EB，同理可得DF=FC，所以
△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案．
解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB，
同理可证得DF=FC，
∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=8+5=13，
即△AEF的周长为13，
故答案为13．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到ED=EB，DF=FC是解题的关键．
30． 或2
【分析】本题考查全等三角形的判定，要求学生能够理解中文的“全等”与“≌”符号之间的区别，从而顺利地进行解题．
解：设运动时间为t．
① DEG≌ BFG
D△E=BF △
2t=8-t
t=
BG=DG
a=10- a
a=
②△DEG≌ BGF
△
DE=BG
at=2t
a=2
故答案为 或2
31．见分析
【分析】利用平行线的性质证明 ，再利用 证明 即可．
解：证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ．
【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，关键熟练应用判定来求解．
32． ， ， ， ， ， ，
【分析】用 证明 即可得到结论．解：证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ， ， ， ， ， ，
【点拨】此题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
33．(1)见分析；(2)4，见分析
【分析】（1）根据 判定即可；
（2）根据 和点B为 中点即可求出．
解：（1）证明：∵ ， ， ，
∴
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵点B为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．
34．(1)见分析；(2)9
【分析】（1）直接根据角边角进行证明即可；
（2）根据全等三角形的性质进行求解即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，
即 ，在 和 中，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
35．(1) ，理由见分析；(2) ，理由见分析．
【分析】（1）利用 判定定理，添加 即可判断；
（2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．
（1）解：添加条件： ，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的
关键．
36．（1） ， ，理由见分析；（2）成立，见分析
【分析】（1）由平行线的性质可得 ，证明 ，根据全等三角形的对应边相等，
即可证得 ；
（2）当图2、3的情况时，证明方法和图1情况完全一样．
解：（1） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
又O是 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）成立，
图2中：∵ ，
∴ ，
又O是 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
图3中：∵ ，
∴ ，
又O是 中点，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定与性质，根据全等三角形得出角相等是解
题的关键．
