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专题 14.1 幂的乘法和乘方与积的乘方
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 同底数幂相乘】........................................................................................................................................1
【考点二 同底数乘法的逆用】................................................................................................................................2
【考点三 幂的乘方运算】........................................................................................................................................3
【考点四 幂的乘方的逆用】....................................................................................................................................4
【考点五 积的乘方运算】........................................................................................................................................5
【考点六 积的乘方的逆用】....................................................................................................................................6
【考点七 幂的混合运算】........................................................................................................................................7
【过关检测】..............................................................................................................................................................9
【典型例题】
【考点一 同底数幂相乘】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算 的结果等于 ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据 进行求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）计算：
【答案】
【知识点】同底数幂相乘
【分析】本题考查同底数幂的乘法和有理数乘方的意义，解题的关键是掌握：同底数幂相乘，底数不变，
指数相加．据此解答即可．也考查了符号化简的法则．【详解】解： ．
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ．
【答案】
【知识点】乘方运算的符号规律、同底数幂相乘
【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键的是掌握：同底数的幂相等，底数不变，指数相加；乘方
符号的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．据此解答即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【考点二 同底数乘法的逆用】
例题：（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）若 ， ，则 ．
【答案】15
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可；
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：15．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若 ，则 ．
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查了同底数幂的逆用，根据题意得出 ，即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为： ．
【考点三 幂的乘方运算】
例题：（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算
【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘即可求解．
【详解】解：
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若 ，则 ．
【答案】63
【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算
【分析】本题考查幂的乘方及其逆运算、代数式求值，将 变形为 ，再将 代入求值即可．
【详解】解： ，
故答案为：63．
2．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）若 ，则m的值为
【答案】3
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查幂的乘方 、同底数幂的乘法，先根据幂的乘方算出 ，然后根据同底数幂的乘法得出 ，即可求出m的值．
【详解】解： ，
，
∴
，
∴解得： ，
故答案为：3．
【考点四 幂的乘方的逆用】
例题：（24-25八年级上·山西·阶段练习）若m，n满足 ，则 ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方及其逆运算，先求出 ，再根据幂的乘方及
其逆运算法则得到原式 ，进一步根据同底数幂乘法计算法则得到原式 ，据此代值计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）已知 ，则 的值为 ．
【答案】64
【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘
【分析】本题考查幂的乘法的逆用，同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行化简，
再利用整体代入法进行计算即可．【详解】解：∵ ，
∴ ；
故答案为：64．
2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ， ，则 ．（请用含有 ， 的代数式
表示）
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查了同底数幂乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算进
行计算即可，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点五 积的乘方运算】
例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ．
【答案】 /
【知识点】积的乘方运算
【分析】本题考查了积的乘方，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算；
【详解】解：
故答案为：
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： ．
【答案】 /【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握积的乘方和幂
的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试） ．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查幂的运算，根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解：原式 ；
故答案为： ．
【考点六 积的乘方的逆用】
例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ．
【答案】3
【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，正确变形再求值即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用【分析】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法
则把原式变形为 ，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得
到 ，据此计算求解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方的逆用
【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方的逆运算．根据积的乘方和幂的乘方的逆运算即可计算求值．
【详解】解： ，
，故答案为： ．
【考点七 幂的混合运算】
例题：（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【详解】解：（1）原式 ．
（2）原式．
2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）①若 ，求 的值．
②已知 ， ，求 的值．
【答案】①14；②1．
【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．
①根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解；②根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解；
【详解】解：①
= ，
当 时，原式= ；
②
=
=
= ，
当 ， 时，原式= ，
∵ 为偶数，
∴原式=1．【过关检测】
一、单选题
1．（24-25七年级上·四川成都·期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】积的乘方运算
【分析】本题考查了积的乘方，注意负数的奇次幂是负数．
根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得到答案．
【详解】解：原式
，
故选：A．
2．（24-25八年级上·北京·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项
的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把
所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算判断，即可解题．
【详解】解：A、 ，选项运算错误，不符合题意；
B、 ，选项运算错误，不符合题意；
C、 与 不是同类项，不可以合并，选项运算错误，不符合题意；
D、 ，选项运算正确，符合题意；
故选：D．【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，解题的关键是正确掌握各
计算法则．
3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）常见的“幂的运算”有： 同底数幂的乘法， 同底数幂的除
法， 幂的乘方， 积的乘方．在“ ”的运算过程中，依次运用
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题主要考查了积的乘方运算法则以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法等知识，分别利用积的乘
方运算法则以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法分别化简求出答案，正确掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：
（积的乘方运算）
（幂的乘方运算）
（同底数幂的乘法）
则依次运用了 ，
故选： ．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用
【分析】此题主要考查了积的乘方与同底数幂的乘法你运用，直接利用积的乘方与同底数幂的乘法法则将
原式变形，即可得出答案．
【详解】解：，
故选：A．
5．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）若 ，则 的值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】A
【知识点】积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据题意可得
，再将 整理为 ，然后代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算（结果用幂的形式表示）：
．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算
【分析】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方．根据积的乘方以及同底数幂的乘法“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
7．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如果 成立，那么 ， ．
【答案】
【知识点】积的乘方运算
【分析】此题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握其性质．先根据积的乘方法则计算出等式左边
的数，再与右边的数相比较即可得出结论．
【详解】解： ，
，
， ，
解得： ， ，
故答案为： ， ．
8．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知 ， ，则 ．
【答案】6
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌
握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键．
【详解】解： ， ，
，
故答案为：6．
9．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）若 ，则 ．【答案】
【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、积的乘方运算
【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方逆用，先化简 再代
入 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
，
故答案为： ．
10．（22-23七年级下·山东聊城·期中）若 ， ，则代数式 与 之间关系是
．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点．利用幂的乘方和积的乘
方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
，∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】整式的加减运算、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，关键是注意指
数的变化，不能出错．
（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行同类项合并，即可得到结果；
（2）先进行幂的乘方运算，再合并同类项，即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)0
【知识点】整式的加减运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．
（1）先计算积和幂的乘方，再合并同类项即可；
（2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）化简求值： ，其中，
．
【答案】 ，
【知识点】整式的加减中的化简求值、积的乘方运算
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得
到答案．
【详解】解：，
当 时，原式 ．
14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知 ，求 的值．
（2）若 ，求 的值．
（3）已知 ，用含 、 的式子表示 ．
【答案】（1）40；（2） ；（3）
【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查同底数幂乘法与积的乘方及其逆用，熟练掌握同底数幂的乘法与积的乘方及其逆用
是解题的关键；
（1）由题意易得 ，然后可代入进行求解；
（2）由题意易得 ，则有 ，然后问题可求解；
（3）由题意可知 ，然后代入求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
解得： ；
（3）∵ ，
∴ ．
15．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式： ， ， ……(1)发现规律： ______， ______．
(2)应用规律：
①填空： ______， ______；
②计算： ．
【答案】(1) ，
(2)①1，1；②
【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算：
（1）根据题意计算求解即可；
（2）①利用积的乘方的逆运算求解即可；
②把原式变形为 ，进而求解即可．
【详解】（1）根据题意得， ， ；
（2）① ，
；
②
．
16．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 （m，n是正整数， 且 ），则 ．
利用上面的结论，解答下面的问题．(1)若 ，求x的值．
(2)若 ，求x的值．
(3)已知 ， ，用含p，q的式子表示 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解此题
的关键．
（1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为 ，结合题意
得出 ，计算即可得解；
（2）利用幂的乘方法则变形为 ，结合题意得出 ，计算即可得解；
（3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有 和 的式子，即可得解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ．
17．（22-23八年级上·福建莆田·期中）规定两数 ， 之间的一种运算，记作 ，如果 ，则．我们叫 为“雅对”．例如：因为 ，所以 ．我们还可以利用“雅对”定义说
明等式 ， ， ， 成立．证明如下：
设 ， ，则 ， ，故 ，则 ，即 ， ，
， ．
(1)根据上述规定，填空： ________；(________ ；
(2)求证：
【答案】(1)4，
(2)见解析
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题
的关键．
（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
故答案为：4； ；
（2）解：设 ， ， ，
则 ， ， ，
，
，
，
即 ．
18．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较 和 的大小．
解：∵ ，且
∴ ，即小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较 和 的大小
解：∵ ，且
∴ ，即
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
(1)比较 、 、 的大小
(2)比较 、 、 的大小
(3)已知 ， ，比较a、b的大小
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
（1）根据 ， ， ，再比较底数的大小即可；
（2）根据 ， ， ，再比较底数的大小即可；
（3）根据 ， ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
即 ；（2）解：∵ ，
，
，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（3）解：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ．
