文档内容
专题14.22 因式分解（公式法）（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·四川成都·八年级统考期末）下列多项式不能进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）已知 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．7 B．3 C． D．
3．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）若 ， 都是有理数，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2019秋·海南海口·八年级校考期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．a2+b2=（a+b）2
C．x2-16y2=（x+8y）（x-8y） D．-16x2+1=（1+4x）（1-4x）
5．（2023春·广东茂名·八年级校联考阶段练习）小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这
样一条信息： ， ，3， ， ， 分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学 B．爱祖国 C．祖国数学 D．我爱祖国
6．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）计算 的值
为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）已知 ，mn=12，则 的值为（ ）
A．-84 B．84 C． D．3008．（2023春·全国·七年级专题练习）小淇将 展开后得到 ；小尧将
展开后得到 ，若两人计算过程无误，则 的值为（ ）
A． B．4043 C． D．1
9．（2023春·安徽合肥·七年级中国科技大学附属中学校考阶段练习）已知 满足
，则 的值为（ ）
A．1 B．－5 C．－6 D．－7
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还
是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．小明的生日是12月3日，他想用刚学的因式分解来设
计家中的电脑密码．若对于多项式 ，因式分解的结果是 ，若 ， ，
则 ， ， ，于是可将“416136”作为密码.对于多项式 ，小明用自己
的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则产生的密码不可能是（ ）
A．123933 B．339321 C．333912 D．391233
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022秋·八年级课时练习）分解因式：x2+2xy+y2﹣4= ．
12．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）已知 ，则代数式 的值为 ．
13．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）已知 ，则 ．
14．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）因式分解 ．
15．（2023秋·山东潍坊·八年级统考阶段练习）已知 ， ，
，则代数式 的值是 ．
16．（2022秋·八年级单元测试）小明将（2020x+2021）2展开后得到ax2+bx+c；小红将（2021x﹣
1 1 12020）2展开后得到ax2+bx+c，若两人计算过程无误，则c﹣c 的值是 ．
2 2 2 1 2
17．（2022秋·八年级课时练习）一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．
若 是完全平方数，则正整数x的值为 ．
18．（2023·江苏·七年级假期作业）我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对
数的运算进行了深入研究与总结．类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题．现已知a，b为
实数，且 ，计算可得： ， ， ，…，由此求得
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2022秋·山东聊城·七年级统考期末）因式分解：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2020秋·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）分解因式：
（1） （2）
21．（10分）（2023秋·全国·八年级专题练习）因式分解：
（1） ； （2） ．
22．（10分）（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）因式分解：（1） ； （2） ．
23．（10分）（2022春·贵州六盘水·八年级统考期末）小明在计算题目“已知: ，
，求 ”时，错看成了 ，得到计算结果为 .
（1）求整式N；
（2）求 的结果，并把结果进行因式分解.
24．（12分）（2023秋·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它
是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用
到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成 （a、b是
整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为 ，所以5是“完
美数”．
解决问题；
（1）已知10是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式：______；
（2）若 可配方成 （m、n为常数），则 ______．
探究问题；（3）已知 ，则 ______．
（4）已知 （x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合
条件的一个k值，并说明理由．
参考答案
1．B
【分析】根据因式分解的方法，注意判断，即可解答．
解：利用完全平方公式，可得 ，故A不符合题意；
无法因式分解，故B符合题意；
利用完全平方公式，可得 ，故C不符合题意；利用平方差公式，可得 ，故D不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式
子的形式是解题的关键．
2．C
【分析】两式相减，由平方差公式求出 ，两式相加，由完全平方公式即可求出 的值．
解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
【点拨】本题考查有理数的乘法，关键是掌握平方差公式，完全平方公式．
3．B
【分析】首先利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出 与 的值，然后代入所求式子进行
计算即可．
解：∵
∴
∴
∴ ，
解得： ，
∴故选：B．
【点拨】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4．D
【分析】把各式分解得到结果，即可作出判断．
解： A、 ，原选项错误，不符合题意；
B、a2+b2不能分解，不符合题意；
C、x2-16y2=（x+4y）（x-4y），原选项错误，不符合题意；
D、-16x2+1=（1+4x）（1-4x） ，原选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】此题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．D
【分析】将所给的多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能
再分解为止，从而结合密码手册即可得出答案．
解： ，
而3对应的是我， 对应的是国， 对应的是祖， 对应的是爱，
结果呈现的密码信息可能是我爱祖国，
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解—综合运用提公因式与公式法，先提取公因式，再利用平方差公式进行
计算是解此题的关键．
6．C
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
解：原式 ，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．7．C
【分析】根据 ，mn=12，利用完全平方公式变形求出 ， ，再分情
况求出答案.
解：∵ ，mn=12，
∴ = = ，
∴ ， ，
当m-n=1，m+n=7时， = =mn（m+n）（m-n）= ；
当m-n=1，m+n=-7时， = =mn（m+n）（m-n）=12 （-7） 1=-84；
当m-n=-1，m+n=7时， = =mn（m+n）（m-n）=12 7 （-1）=-84；
当m-n=-1，m+n=-7时， = =mn（m+n）（m-n）=12 （-7） （-1）=84；
故选：C.
【点拨】此题考查完全平方公式的变形计算，整式的因式分解，有理数的乘法计算法则，解题中运用
分类讨论是思想解决问题.
8．C
【分析】根据完全平方公式可得 再利用平方差公式进行简便运算即可．
解： 展开可得：
展开可得：
∴
故选C
【点拨】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行
有理数的简便运算”是解本题的关键．
9．A【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出 的值，代入计算即可．
解：∵ ，
∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17），
∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11
∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0，
∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0
∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，
∴a+b-c=3-1-1=1．
故选：A．
【点拨】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非
负数的性质求出 的值，准确进行计算．
10．B
【分析】先进行因式分解，根据题意得出 ， ，得出 ， ，利用乘法交
换律即可得出密码组合．
解：
；
∵小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值
∴ ， ，
∴ ， ，
当 时，产生的密码为123933，为选项A；
当 时，产生的密码为333912，为选项C；
当 时，产生的密码为391233，为选项D；
无法产生选项B，
故选：B．
【点拨】题目主要考查利用公式法及提公因式法进行因式分解，求代数式的值，理解题意，熟练掌握运用各个运算法则是解题关键．
11．（x+y+2）（x+y﹣2）
解：试题解析：x2＋2xy＋y2－4=（ x + y）2-4=（x+y+2）（x+y-2）
12．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再整体代入，即可求出答案．
解： ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．
13．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行变形求值即可得．
解： ，
，
，
，
，
当 时， ，
当 时， ，
综上， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行变形求值、因式分解，熟记乘法公式是解题
关键．
14．
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．解：原式
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了综合提取公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是正确找出公式因，
熟练掌握平方差公式 ．
15．
【分析】由题意得到 ， ， ，再把要求的代数式用完全平方公式进行因式
分解，整体代入即可得到答案．
解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关键．
16．4041
【分析】根据（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212得到c＝20212，同理可得 c＝
1 2
20202，所以c-c=20212-20202，进而得出结论．
1 2解：∵（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212，
∴c=20212，
1
∵（2021x-2020）2=（2021x）2-2×2020×2021x+20202，
∴c=20202，
2
∴c-c=20212-20202=（2021+2020）×（2021-2020）=4041，
1 2
故答案为：4041．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，解决本题的关键是要熟悉公式的结构特点．
17．341或86．
【分析】设 ，则 ，然后运用完全平方公式变形整理
得到 ，再因式分解得出两个二元一次方程组，解之可得．
解：设 ，
则 ，
∴ ，整理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴ 或86，
故答案为：341或86．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，
灵活运用乘法公式是解题的关键．
18．
【分析】先根据题意求出 ，进而推出 ，由此代值计算即可．
解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，正确推出 是
解题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查了因式分解，提取公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答
本题的关键．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）先提取公因式，再按照公式分解即可得到答案；
（2）先提取公因式，再按照公式分解即可得到答案；（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【点拨】本题考查因式分解：解题的关键是熟练掌握因式分解得方法及 ，
．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必
须先提公因式．
22．（1） ；（2）
【分析】（1）先提取公因式 ，再利用完全平方公式进行分解即可；（2）先提取公因式 ，再利用平方差公式进行分解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再根据平方差公式和完全平
方公式进行分解是解题的关键．
23．（1） ；（2） ，
【分析】（1）依据题意， ，进而计算可以得解；
（2）依据题意，由（1）计算 ，进而计算再分解因式即可．
解：（1）
；
（2）
即 的结果是 ，因式分解的结果是 ．【点拨】本题主要考查了整式的加减及因式分解，解题时要熟练掌握并准确计算．
24．（1） ；（2） ；（3） ；（4）8，理由见分析
【分析】（1）根据“完美数”的定义即可得到答案；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应常数的值，进而即可求解；
（3）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论．
解：（1）由题意，得： ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ；
∴ ；
故答案为： ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（4） ，理由如下：
，
∵S为“完美数”，
∴ ，∴ ．
【点拨】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，理解并掌握完美数的定义，是解题的关键．
