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专题14.4 幂的运算（直通中考）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·江西·统考中考真题）计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知 ，则 （ ）
A．y B． C． D．
4．（2023·浙江温州·统考中考真题）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）下列运算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏镇江·统考中考真题）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）下列各式中，计算结果等于 的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出 个球放入乙袋，再从乙袋中取出 个球放入丙袋，最后从丙袋中取出 个球放
入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则 的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022·四川成都·统考中考真题）计算： ．
12．（2015·黑龙江大庆·统考中考真题）若若 ， ，则 = ．
13．（2022·江苏南京·统考中考真题）若 ， ，则 ．
14．（2016·江苏常州·中考真题）已知x、y满足 ，当0≤x≤1时，y的取值范围是 ．
15．（2019·河北·统考中考真题）若 则 的值为 ．
16．（2013·福建福州·中考真题）已知实数a、b满足： 则 的值是
．
17．（2020·湖北宜昌·中考真题）数学讲究记忆方法．如计算 时若忘记了法则，可以借助
，得到正确答案．你计算 的结果是 ．
18．（2022·湖南长沙·统考中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪
性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”
已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小
的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格
作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成 个不同的数据二维码，现有四名网友对 的理解如下：
YYDS（永远的神）： 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）： 等于 ；
JXND（觉醒年代）： 的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道 ，所以我估计 比 大．
其中对 的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2019·湖北武汉·统考中考真题）计算：
20．（8分）（2023秋·八年级课时练习）化简； ．
21．（10分）（2019·贵州贵阳·统考中考真题）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是
一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．
22．（10分）（2023·安徽安庆·统考一模）观察下列等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式：
第4个等式： ，
……
请根据以上规律，解决下列问题
（1）试写出第6个等式：___________；
（2）请证明第4个等式．
23．（10分）（2023春·安徽·九年级专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，
发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组
正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，
长方形③，长方形④．
（1）规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________
（2）如图2所示，相应长方形的周长如表所示，
序号 ① ② ③ ④ ⑤
周长 6 10 16 x y
若按此规律继续作长方形，则 ________， ________；
（3）拓展延伸：按一定规律排列的一列数： ， ， ， ， ， ，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且 ，猜想x、y、z满足的关系式是________．
24．（12分）（2019·湖北·统考中考真题）若一个两位数十位、个位上的数字分别为 ，我们可将
这个两位数记为 ，易知 ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如
．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若 ，则 ______；
②若 ，则 ______；
③若 ，则 ______；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 一定能被
______整除， 一定能被______整除， +++6一定能被______整除；（请从大于5的整数
中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，
连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各
不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的
数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；
②设任选的三位数为 （不妨设 ），试说明其均可产生该黑洞数．
参考答案
1．A
【分析】根据积的乘方计算法则求解即可．
解： ，
故选A．
【点拨】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．B
【分析】根据幂的运算法则判断选项的正确性即可．
解：对于A， ，故A选项错误，
对于B， ，故B选项正确，
对于C， ，故C选项错误，
对于D， ，故D选项错误，
故选：B．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．3．D
【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得 ，再代入计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
故选D
【点拨】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“ ”是解本题的关键．
4．D
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
解： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法
则是解题的关键．
5．D
【分析】根据积的乘方、同类项的定义、幂的乘方和平方差公式逐一判断即可．
解：A． ，故本选项原说法错误；
B． ，故本选项原说法错误；
C． ，故本选项原说法错误；
D． ，故本选项正确．
故选D．
【点拨】此题考查的是幂的运算性质和整式的运算，掌握积的乘方、合并同类项和幂的乘方是解决此
题的关键．
6．B
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；
对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、 和 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、 ，故该选项正确，符合题意；
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
7．C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则逐项计算即可判断选择．
解： ，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故选C．
【点拨】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方．熟练掌握各运算法则是解题关键．
8．B
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方法则逐项判断即可得．
解：A、 ，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项正确，符合题意；
C、 ，则此项错误，不符合题意；
D、 ，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解
题关键．
9．B
【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别计算即可．解： ，故选项A不符合题意；
，故选项B符合题意；
无法合并同类项，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意．
故选B．
【点拨】本题主要考查合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则，熟练掌握
运算法则是解题的关键．
10．A
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出 ， ，最
后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
解：调整后，甲袋中有 个球， ，乙袋中有 个球，
，丙袋中有 个球．
∵一共有 （个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有 （个）球，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
11．
【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘法则”处理．
解： ，
故答案为：
【点拨】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．12． ．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ，
故答案为 ．
考点：幂的乘方与积的乘方．
13．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则得到 ， 即可解答．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，有理数的加法运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法
则是解题的关键．
14．1≤y≤ ．
解：试题分析：∵ ，∴ ，即 ，∴x+2y=3，∴y= ，∵0≤x≤1，∴1≤y≤
．
故答案为1≤y≤ ．
考点：解一元一次不等式组；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
15．-3
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
解：∵7﹣2×7﹣1×70=7p，∴﹣2﹣1+0=p，解得：p=﹣3．故答案为﹣3．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
16．1000
【分析】将 代入所求的式子，在根据积的乘方的逆用运算即可．
解：将 ，代入 中得： ．
故答案为：1000．
【点拨】本题考查代数式求值，积的乘方的逆用．掌握积的乘方的逆用是解题关键．
17．0
【分析】根据幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得到结果．
解：
=
=
=0．
故答案为：0．
【点拨】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
18．DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将
化为 ，再与 比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的
规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得 ，
即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
解： 是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
， ，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点拨】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解
题的关键．
19．
【分析】按顺序先分别进行积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，然后再合并同类项即可.
解：
=
.
【点拨】本题考查了整式的混合运算，涉及了积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握各
运算的运算法则是解题的关键.
20．
【分析】先去括号，然后计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可．
解：
．
【点拨】本题主要考查了整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
21．（1）S＝ab﹣a﹣b+1；（2）矩形中空白部分的面积为2；
【分析】（1）空白区域面积=矩形面积-两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；
（2）将a=3，b=2代入（1）中即可；
解：（1）S＝ab﹣a﹣b+1；
（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；
【点拨】本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关键．
22．（1） ；（2）见分析
【分析】（1）仿照给出的等式写出第6个等式即可；
（2）设 ，则 ，
，得出 ，求出 ，即可证明结论．
（1）解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式：
第4个等式： ，
第5个等式： ，
第6个等式： ；
故答案为： ；
（2）证明：设 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点拨】本题主要考查了数字规律探究，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．
23．（1）21；（2）26；42；（3）
【分析】（1）根据题干中的规律求解即可；
（2）分别表示出①-③中周长的计算方法，发现规律求解即可；
（3）根据题意得出这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的
指数的和，利用同底数幂的乘法即可得出结果．
（1）解：根据题意得：第6个正方形的边长为：3+5=8，
第7个正方形的边长为：5+8=13，第8个正方形的边长为：8+13=21，
故答案为：21；
（2）①的周长为 ，
②的周长为 ，
③的周长为 ，∴④的周长为 ，
第⑤个的周长为： ；
故答案为：26；42；
（3）根据题意得：这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的
指数的和，
∴x、y、z满足的关系式为： ；
故答案为： ．
【点拨】题目主要考查数字规律探索，同底数幂的乘法，理解题意，找出相应规律是解题关键．
24．（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495
【分析】（1）①根据 ，结合已知可得关于x的方程，解方程即可得；
②根据题意可得关于y的方程，解方程即可得；
③由 及四位数的类似公式可得关于t的方程，解方程即可得；
（2）根据 分别对 、 、 按此表示方法进行整理即可求得答案；
（3）①若选的数为325，则用532-235=297，然后根据题中所给的规则继续计算即可求得答案；
②当任选的三位数为 时，根据规则第一次运算后得 ，结
果为99的倍数，由于 ，故 ，继而确定出a-c=2，3，4，5，6，7，8，9，从而可得
第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，对这些数字根据规则继而进行运算
即可求得答案.
解：（1）①∵ ，
∴若 ，则 ，
∴ ，
故答案为2；
②若 ，则 ，
解得 ，
故答案为4；
③由 及四位数的类似公式得
若 ，
则 ，∴100t=700，
∴ ，
故答案为7；
（2）∵ ，
∴则 一定能被 11整除，
∵ ，
∴ 一定能被9整除，
∵
，
∴ 一定能被10整除，
故答案为11；9；10；
（3）①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，
，
，
，
，
故答案为495；
②当任选的三位数为 时，第一次运算后得：
，
结果为99的倍数，由于 ，故 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
， ， ， ， …故都可以得到
该黑洞数495．【点拨】本题考查的是阅读理解题，弄清题意，理解和掌握题中所给的运算法则或运算规则是解题的
关键.
