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专题15.15 整式的指数幂（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）环境监测中 是指大气中直径小于或等于 微米的颗
粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米 米，那么 微米用科学记数法可以表示为（ ）米．
A． B． C． D．
2．（2023上·湖南常德·九年级统考期中）四个实数 ，1， ， 中，最大的一个是（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023·广东佛山·校考一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）已知： ，可求得
的值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2021·浙江·九年级专题练习）代数式 成立的条件是（ ）
A． B． C． 或 D． 且
7．（2023上·山东青岛·八年级青岛三十九中校考期中）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022上·山西吕梁·八年级统考期末）计算 的结果是（ ）A． B． C． D．
9．（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）若已知分式 的值为0，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．1
10．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知将 乘开的结果不含 和
项，则 的值是（ ）
A．27 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022下·湖北随州·九年级校联考阶段练习）计算 ．
12．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）若 是正整数，且 ，则 ．
13．（2022上·黑龙江大庆·七年级校考期末）若 ，则 ．
14．（2020下·山东菏泽·七年级统考期末）用科学记数法表示0.000032＝ ，把2.36 用小
数表示为 ．
15．（2023·浙江·模拟预测）为了求 的值，可令 ，则
，因此 ，所以 ．仿照以上推理计算出
的值是 ．
16．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）在下列实数中 ， ，0， ， ， ，
其中是无理数的有 个．
17．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）若 ，则 的个位数字是 ．18．（2018·辽宁抚顺·统考一模）对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b= ，例如：
2☆3=2﹣3= ，则计算：[2☆（﹣4）]☆1= ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习） 计算：
（1） ； （2）
20．（8分）（2023上·山东威海·七年级校联考期中）计算：
（1） ． （2） ．
21．（10分）（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）
（1）计算 ； （2）比较 和 的大小．
22．（10分）（2022上·江苏常州·七年级校考阶段练习）观察下列运算过程：
，
，（1）根据以上运算过程和结果，我们发现： ______； ______；
（2）仿照（1）中的规律，判断 与 的大小关系；
（3）求 的值．
23．（10分）（2023上·广东珠海·九年级校考阶段练习）仔细阅读下列解题过程：
若 ，求a、b的值．
解：
∴
∴
∴ ，
∴ ，
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 的值；
（3）若x、y是实数，且 ，求m的最小值．
24．（12分）（2023上·湖北随州·八年级统考期末）观察下列等式：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
（1）按照以上规律，写出第5个等式：__________；
（2）用含 的式子写出你猜想的第 个等式，并证明你的猜想；
（3）在（2）中， 是一个正整数，如果 是一个负整数，（2）中的等式是否仍然成立？若成立，请
以 为例进行验证；若不成立，请简要说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】先将 用科学记数法表示，即可解答．
解：∵ 用科学记数法表示为
∴1微米 米，
∴ 微米 米，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变
为a时小数点移动的位数．
2．B
【分析】本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂，根据负数小于0小于正数比较大小是解题的关
键；根据 ，求负整数指数幂，然后根据负数小于0小于正数，比较大小然后作答即可．
解：由题意知， ，
∴ ，即 ，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了合并同类项、整式的乘法、除法，根据合并同类项、整式的乘法、除法运算法则
逐项判断即可解答即可；掌握相关运算法则是解题的关键．
解：A. ，故本选项符合题意；
B． ，故本选项不符合题意；
C． ，故本选项不符合题意；
D． ，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．D
【分析】结合选项分别依据零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法运算法则进行计算，然后选择
正确选项求解．
解：A、 ，原式计算错误，故本选项错误；
B、 ，原式计算错误，故本选项错误；
C、 ，原式计算错误，故本选项错误；
D、 ，计算正确，故本选项正确；故选：D．
【点拨】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是关键．
5．A
【分析】根据非负数的性质求出 的值，再代入进行计算即可得到答案．
解： ，
，
， ，
， ，
解得： ， ，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，熟练掌握几个非负数的和为0，则每个非负数均
为0是解此题的关键．
6．D
【分析】根据零指数幂成立的条件和分式成立的条件知 且 ．
解：根据题意知， 且 ．
所以 且 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了零指数幂及分式有意义的条件，牢记零次幂公式 中的条件 及分式有意
义的条件是分母不为0是解答此题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂运算，首先根据非负数的性质解得 的值，
然后代入求值即可．
解：∵ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，∴ ．
故选：C．
8．C
【分析】根据负整数指数幂的意义、积的乘方以及整式的除法运算即可求出答案；
解：原式 ，
故选C
【点拨】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算以及平方差公式，
本题属于基础题型
9．D
【分析】根据分式值为零的条件可得： ，且 ，再求负整数指数幂，即可．
解：由题意得： ，且 ，
解得： ，
，
故选： ．
【点拨】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等
于零．
10．C
【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，再根据结果不含 和 项可知，含 和 项的系数为
0，可求出 、 的值，即可求解．
解：
，
乘开的结果不含 和 项，
， ，
，
，故选：C．
【点拨】本题考查了负整数指数幂，多项式乘以多项式以及多项式的项的定义，熟练掌握多项式的乘
法法则是解题关键．
11． /
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，根据公式，定义计算即可，熟练掌握公
式是解题的关键．
解：
，
故答案为： ．
12．48
【分析】根据积的乘方运算，单项式的除法运算进行计算即可求解．
解：∵ ，n是正整数，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了积的乘方运算，单项式的除法运算，正确的计算是解题的关键．
13．
【分析】配方后求出 的值即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．【点拨】本题考查配方法的应用，负整数指数幂，解题的关键是根据配方求出 的值．
14． 0.0000236
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此
可得．
解：用科学记数法表示0.000032=3.2×10-5，用小数表示2.36×10-5=0.0000236，
故答案为：3.2×10-5，0.0000236．
【点拨】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．
【分析】设 ，然后表示出 ，即可求解．
解：依题意，设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了负指数幂，数字类规律题，仿照例题是解题的关键．
16．2
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定．
解： ，是有理数，
，是有理数，
，0， 是有理数，， 是无理数，共2个，
故答案为：2
【点拨】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无
理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
17．
【分析】根据已知可得 ，进而根据完全平方公式的得出 ， ，即可求解．
解： 由题设知 ，于是有 ．
于是 ，
．
故 的个位数字为 ．
【点拨】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，将已知等式变形是解题的关键．
18．16
【分析】判断算式a☆b中，a与b的大小，转化为对应的幂运算即可求得答案.
解：由题意可得：
[2☆（﹣4）]☆1
=2﹣4☆1
= ☆1
=（ ）﹣1
=16，
故答案为16．
【点拨】本题考查了新定义运算、负整数指数幂，弄清题意，理解新定义运算的规则是解决此类题目
的关键.
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，负整指数幂．（1）先计算乘方，再计算乘除即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（1） ；（2）
【分析】本题考查了实数的运算，涉及到了零指数幂、负整指数幂、平方根、立方根定义，化简绝对
值．
（1）原式利用算术平方根及立方根的定义，化简绝对值计算即可得到结果；
（2）原式利用算术平方根的定义，化简绝对值，零指数幂、负整指数幂计算即可得到结果．
熟练掌握法则是解题的关键．
（1）解：
．
（2）．
21．（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，零指数幂，实数的混合计算及实数的大小比较等知识
点，熟知相关计算法则及估算 ， 的范围是解题的关键．
解：（1）
；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
22．（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】（1）观察计算过程即可写出相应的发现；
（2）利用题干中的方法解答即可得出 与 的大小关系；
（3）利用以上的解题规律进行运算即可．
（1）解： ，
，
，；
（2）解： ；
，
；
（3）解：
【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是阅读型题目，利用题干中的方法和解答中发现的
规律解答是解题的关键．
23．（1）3；（2）1；（3）
【分析】（1）将整式运用配方法化为两个平方相加即可；
（2）运用 与 的数量关系，将 化为只有 ，然后利用配方法化为两个平方相加即可．
（3）根据题意把 进行化简，然后根据偶次幂的非负性可进行求解．
（1）解：由 ，
得 ，，
， ，
， ，
，
．
（2）解：∵ ，
，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
．
（3）解：
，
∵ ，
∴当 时，即 ，同时也满足 ，
此时m有最小值，即为 ．
【点拨】本题主要考查完全平方公式、零次幂及偶次幂的非负性，熟练掌握完全平方公式及偶次幂的
非负性是解题的关键．
24．（1） ；（2） （ 为正整数），见分析；（3）仍然成立，见分析
【分析】（1）根据前4个等式的规律即可得；
（2）先根据（1）中的规律可得第 个等式为 ，再利用同底数幂乘法法则、完
全平方公式进行证明即可；
（3）将 代入验证即可得．
（1）解：第1个等式： ，即 ，
第2个等式： ，即 ，
第3个等式： ，即 ，
第4个等式： ，即 ，
则第5个等式为 ，即 ，
故答案为： ．
（2）解： （ 为正整数），
证明： 左边 右边，
等式成立，即 ．
（3）解：当 是一个负整数时， 仍然成立，
验证：当 时，左边 ，
右边 ，
所以等式仍然成立．
【点拨】本题考查了数字类规律探索、同底数幂乘法法则、完全平方公式、负整数指数幂，正确归纳
类推出一般规律是解题关键．
