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专题15.3 分式（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·吉林长春·八年级统考期中）代数式 ， ， ， 中，属于分式的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A． 或 B． C． D．
3．（2018·北京·八年级校考期中）下列变形正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2022下·贵州六盘水·八年级统考期末）下列分式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2017上·广东广州·八年级校联考期末）分式 与 的最简公分母是（ ）
A．x4-y4 B．（x2+y2）（x2﹣y2） C．（x﹣y）4 D．（x+y）2（x﹣y）
6．（2023下·贵州毕节·八年级期末）已知 ，则 值为（ ）
A．10 B．11 C．15 D．16
7．（2023上·北京延庆·八年级统考期中）如果把分式 中的 和 的值同时扩大为原来的 倍，
那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的 倍 B．缩小为原来的 倍
C．不改变 D．扩大为原来的 倍
8．（2022下·山东济南·八年级校考期中）若 ，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=39．（2023下·七年级单元测试）对于正数x，规定 ，例如： ，则
的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019.5 D．2020.5
10．（2022下·浙江杭州·七年级校联考期中）若a、b两数互为相反数，且 ，则以下结论① ；
②ab是非正数；③ 是负数；④ 是正数；⑤ 可以利用平方差公式计算．其中正确
的是（ ）
A．③⑤ B．①③⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）若代数式 有意义，则实数x的取值范围为
．
12．（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）已知分式 的值为正数，则 的取值范围是 ．
13．（2023下·江苏南京·八年级校联考期中）若分式 的值为整数， 的值也为整数，则 的最小
值为 ．
14．（2018·北京石景山·八年级统考期末）分式变形 中的整式A= ，变形的依据是
．
15．（2018上·八年级课时练习）若 =2，则 =
16．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）给定下面一列分式： ， ， ， ，…（其
中 ），根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第n个分式 ．
17．（2023上·福建厦门·七年级厦门五缘实验学校校考阶段练习）已知m、n为有理数，那么 可看成数轴上表示数m和数n的两点之间的距离，若有理数x在数轴上的位置如图所示，则 型的值
为 ．
18．（2023上·重庆沙坪坝·九年级统考期末）某网红花店推售甲，乙两种组合，每种组合配有A，B，
C三种绿植．甲组合有2盆A，2盆B，3盆C；乙组合有3盆A，3盆B，2盆C．每种组合的成本分别是
组合中各绿植成本之和，已知每个甲组合的成本恰好是每盆C成本的15倍，利润是每盆A与B成本之和
的一半，甲、乙组合的利润率之比为 ．当销售这两种组合的利润率为23%时，则销售甲组合和乙组合
的数量之比是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·八年级课时练习）约分：
（1） ； （2） ； （3） ．
20．（8分）（2023上·全国·八年级课堂例题）通分：
（1） ； （2） 与 ； （3） 与 ．
21．（10分）（2022上·湖南岳阳·八年级校考期中）阅读下面的解题过程：已知 ，求
的值．
解：由 知 ，所以 ，即 ．所以 ，故 的值为 ．
该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目：
（1）若 ，求 的值．
（2）若 ，求 的值．
22．（10分）（2023上·河北石家庄·八年级校考开学考试）根据规划设计，某工程队准备修建一条长
的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加 ，从而缩短了工期.假
设原计划每天修建公路 ，那么
（1）原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含 的代数式表示）
（2）实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？
23．（10分）（2022下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）已知等式
（1）①用含 的代数式表示 ；
②若 均为正整数，求 的值；
（2）设 ， ， 分别是分式 中的 取 （ > >2）时所
对应的值，试比较 的大小，说明理由．
24．（12分）（2021下·江苏南京·八年级南京市科利华中学校考期中）著名数学教育家波利亚曾说：
“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由
低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在
实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和
（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除
问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： ＝
＝x+ ＝x﹣1+ ，这样，分式就拆分成一个分式 与一个整式x﹣1的和
的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）假分式 可化为带分式_______形式；
（2）利用分离常数法，求分式 的取值范围；
（3）若分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+
，则m2+n2+mn的最小值为________．
参考答案：
1．C
【分析】根据分式的定义形如 ，分母 含有字母的式子， ， 都是整式，进行判断即可．
解：∵ 中分母含有字母是分式；
中分母不含有字母是整式；
中分母含有字母是分式；中分母不含有字母是整式；
∴一共 个分式，
故选： ．
【点拨】此题考查了分式的定义，熟练掌握掌握分式的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据分式的值为零的条件，分子 且分母 ，即可求出结论．
解： 分式 的值为零，
，
解： 或 ，
故选： ．
【点拨】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子 且分母 是解决此
题的关键．
3．C
解：选项A. 不能化简，错误.
选项B. ,错误.
选项C. ，正确.
选项D. ,错误.
故选C.
4．B
【分析】根据分式的基本性质进行计算， 逐一判断即可解答；
解：A、 ，故 A 不符合题意；
B、 ，故 B 符合题意；
C、 ， 故C不符合题意；D、 ，故 D 不符合题意；
故选：B
【点拨】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键
5．D
【分析】把第二个分式的分母分解因式，然后根据最简公分母的确定方法解答．
解：∵x2-y2=（x+y）（x-y），
∴（x+y）2与x2-y2的最简公分母为（x+y）2（x-y），
故选D．
【点拨】本题考查了最简公分母的确定，关键在于对分母正确分解因式．
6．C
【分析】根据已知变形得到 ，进而可得 ，求出 ，再将所求代数式变
形得到即可答案．
解：∵ ，且根据题意有： ，
∴ ，即 ，
即 ，
∴ ， 即 ，
则
．
故选：C．
【点拨】此题考查已知式子的值求分式的值，完全平方公式，由 ， 得到
，是解题的关键．7．A
【分析】依题意分别用 和 去代换原分式中的 和 ，利用分式的基本性质化简即可．
解：由 ，
∴扩大为原来的 倍，
故选： ．
【点拨】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字
母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
8．B
【分析】右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应得系
数相等，即可求出A，B．
解：
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
得： ，
∴ ．
将 代入①中，解得： ，
∴方程组 的解为： ．
故选B．
【点拨】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，
并让所得分子的对应系数相等是解题的关键．9．C
【分析】根据已知规定，可得 ；进而可以解决问题．
解：∵ ， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ；
，
∴ ；
则
．
故选：C．
【点拨】本题考查了规律型—数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，
并应用发现的规律解决问题．
10．D
【分析】由a、b两数互为相反数，且 可得， ，且 ，代入各个式子进行计算即可
得到答案．
解：由a、b两数互为相反数，且 可得，
，且 ，所以ab是负数，负数属于非正数，故②正确；
所以 ，故①正确；
，是负数，故③正确；，当 时是正数，当 是负数，故④错误；
，可以利用平方差公式计算，故⑤正确，
故选D
【点拨】本题考查相反数的概念、整式的运算以及分式的运算，准确对式子进行化简是判断的关键．
11． 且
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
解：根据题意得： ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
12． 或
【分析】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出 的范围．
解：∵ 的值为正数，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组．
13．
【分析】根据分式 的值为整数， 的值也为整数，可得 或 或 ，求出 的值，即可
确定出 的最小值．
解： 分式 的值为整数， 的值也为整数，
或 或 ，
或 或 或 或 或 ，
的最小值为 ，故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键．
14． x2﹣2x, 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【分析】依据x2-4=（x+2）（x-2），即可得到分式变形 = 中的整式A=x（x-2）=x2-2x．
解：∵x2-4=（x+2）（x-2），
∴分式变形 = 中的整式A=x（x−2）=x2−2x，
依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
故答案为x2−2x,分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质.
15．
【分析】由 =2，得x+y=2xy，整体代入所求的式子化简即可．
解： =2，得x+y=2xy
则 = = ，
故答案为： .
【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．
16．
【分析】第 个： ，第 个： ，第 个： ， 第
个： ，据此找出第 个分式即可求解．
解：由题意可知
第 个： ，第 个： ，
第 个： ，
第 个： ，
第 个： ；
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键．
17．
【分析】由数轴上表示x的点的位置，得到 ，可得出 小于0，利用绝对值的代数意义：
负数的绝对值等于它的相反数化简，即可得到结果．
解：由数轴上表示x的点的位置，得： ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了数轴，绝对值及分式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解本题的关键．
18．
【分析】设A成本为x，B成本为y，C成本为z，甲销售数量为a，乙销售数量为b，甲组合利润为
w，根据每个甲组合的成本恰好是每盆C成本的15倍，利润是每盆A与B成本之和的一半，可得出甲的利
润率，再利用利润率比例关系求出乙的利润率，再求出甲、乙的售价，再根据题意求解即可．
解：设A成本为x，B成本为y，C成本为z，甲销售数量为a，乙销售数量为b，甲组合利润为w，
∵每种组合的成本分别是组合中各绿植成本之和，已知每个甲组合的成本恰好是每盆C成本的15倍，
利润是每盆A与B成本之和的一半，∴ ，
∴ ，
甲的利润率为 ，
∵甲、乙组合利润率之比为 ，
∴乙的利润率为 ，
∴甲的售价为： ，乙的售价为 ，
∵销售这两种组合的利润率为23%，
∴ ，
解得 ，
故答案为：
【点拨】此题考查了方程组的应用，分式的计算相关知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．
19．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）先提公因式2，再利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提负号和公因式m，然后再利用平方差公式进行分解即可；
（3）把 看成整体，利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解即可．
（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 ．
【点拨】本题考查了综合利用提公因式法和公式法分解因式，分解因式首先要看是否有公因式，如果有公因式应该先提公因式，然后再观察是否可利用公式，注意一定要分解到不能再分解为止．
20．（1） ， ， ；（2） ， ；（3）
， ，
【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可．
解：（1） ，
，
（2） ，
（3） ，
，
【点拨】本题考查的是分式的通分以及公分母确定的方法，把几个异分母的分式分别化为与原来的分
式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案；
（2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案．
（1）解：∵ ，且 ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ．
（2）解：∵ ，且
∴
∵
∴ ．
【点拨】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路．
22．（1） ； ；（2）
【分析】（1）根据题意可用代数式表示出原计划修建这条公路需要的天数和实际修建这条公路需要
的天数；
（2）根据（1）中的答案可以表示出实际修建这条公路的工期比原计划缩短的天数．
（1）解：根据题意得，公路长为 ，计划每天修建公路 ，
∴原计划修建这条公路需要 天，
又∵每天修建公路的长度比原计划增加 ，
∴实际修建这条公路用了 天；
（2）解：根据（1）可知，实际修建这条公路的工期比原计划缩短了 天．
【点拨】本题考查了分式的加减法，解答此类问题的关键是明确题意，用相应的分式表示出题目中的
所求问题．
23．（1）① ；② 或者 ；（2） ，理由见详解
【分析】（1）①合并含y的项，即可求解；②根据①的关系结合x、y为正整数即可求解；
（2）根据题条件可知 ， ，即有 ．设 ， ，根据
，可得 ，则有 ， ，进而可得 ，依据 ，即可
得 ．
解：（1）①由 得： ，
即 ，
②∵x、y为正整数， ，
∴可知y只能为1或者2，
∴当y=1时，x=4，当y=2时，x=3，
即x、y的值为： 或者 ；
（2） ，理由如下，
根据题条件可知 ， ，
∵ ，∴ ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，即 ，
则有： ，
即
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，结论得证．
【点拨】本题主要考查了代数式的运算以及求解二元一次方程的正整数解等知识，解答本题要注重换
元的思想．
24．（1）1+ ；（2）2＜ ≤5；（3）27
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）根据分离常数法求出 ，据此求解即可；
（3）根据分离常数法求出m＝x+2，n＝﹣x+4，再根据完全平方公式求出m2+n2+mn＝（x﹣1）2+27，
据此求解即可．
（1）解： ＝ ＝1+ ，
故答案为：1+ ；
（2）解： ＝ ＝2+ ，
∵x2+1≥1，
∴0＜ ≤3，
∴2＜ ≤5；
（3）解：∵ ＝ ＝5x﹣1﹣ ，
而分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+ ，
∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），
∴m＝x+2，n＝﹣x+4，
∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，
而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+27≥27，
∴当x＝1时，m2+n2+mn最小值是27，
故答案为：27．
【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式，正确理解题意掌握分离常数法是解题的关键．
