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专题 15.4 分式方程及分式方程的实际应用之七大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 分式方程的定义】............................................................................................................................1
【考点二 解分式方程】....................................................................................................................................2
【考点三 已知分式方程的增根求参数】........................................................................................................4
【考点四 已知分式方程的无解求参数】........................................................................................................6
【考点五 根据分式方程解的情况求值】........................................................................................................8
【考点六 列分式方程】..................................................................................................................................10
【考点七 分式方程的实际应用】..................................................................................................................11
【过关检测】...........................................................................................................................................13
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（2023秋·全国·八年级课堂例题）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分母中含有未知数的方程；
【详解】解：根据定义， 为分式方程；
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键．
【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）在① ，② ，③ ，④ 中，其
中关于 的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案．
【详解】解：① ，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；
② 是关于 的分式方程，故②错误，不符合题意；
③ ，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；
④ ，是关于 的分式方程，故④正确，符合题意；
关于 的分式方程的个数为1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ．其中，是关于x的分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可．
【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程；
②分母中含有未知数，故是分式方程；
③不是等式，故不是方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程．
⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程；
⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：分式方程有②④，共2个，
故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【考点二 解分式方程】
例题：（2023春·广东清远·八年级校考期中）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边同乘以 化为整式方程求解；
（2）方程两边同乘以 化为整式方程求解．
【详解】（1）去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解；
（2）去分母得： ，
解得： ，
经检验 是增根，分式方程无解．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程，并
且注意要检验方程的解．
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）解方程
(1) ； (2) ．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
解得： ，检验：把 代入得： ，是增根，
分式方程无解；
（2） ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：
(1) ; (2) ．
【答案】(1) 是原分式方程的解
(2)原分式方程无解
【分析】（1）根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验；
（2）根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验．
【详解】（1）解：方式方程两边同时乘以 ，
得 ，
解得 ，
当 时， ，
所以原分式方程的解是 ；
（2）解：原分式方程可化为，
，
两边同时乘以 ，
得 ，解得 ，
当 时， ，
所以原分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤正确计算是解题的关键．
【考点三 已知分式方程的增根求参数】
例题：（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根
是_______．
【答案】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程 （m为常数）有增根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程 有增根，则m的值是_____．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出
m的值．
【详解】解：去分母得： ，
解得 ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于 的分式方程 有增根，则 的值为
___________．
【答案】 或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程增
根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：
，
当 ，即 或 时，分式方程有增根，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
故m的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键．
【考点四 已知分式方程的无解求参数】
例题：（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）如果关于x的方程 无解，则a的值为___．
【答案】1或2
【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是 或整式方程无解，即可求出 ．
【详解】解：将方程两边同时乘以 ，
得： ，
整理得： ，∵该分式方程无解，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或
整式方程的解使分母为零．
【变式训练】
1．（2023春·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于 的方程 有增根，
则增根是 ______．
②若关于 的方程 无解，则 的值为______．
【答案】 4 2或3
【分析】 根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出a的值即可．
【详解】解：①∵分式方程有增根，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4；
②
去分母得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
当 ，即 时， 无解，分式方程无解；
当 时，系数化为1得： ，
∵分式方程有增根，
∴ ，即 ，∴ ，
解得 ，
经检验， 是 的解，
∴ ，
综上可知， 或 ，
故答案为：2或3；
【点睛】本题主要考查了分式方程有增根的情况，熟知分式方程有增根的情况是分式方程分母为0．
2．（2023·安徽滁州·校联考二模）若关于x的分式方程 无解，则m的值为______．
【答案】 或 或
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【详解】解：
去分母得： ，
可得： ，
当 时，一元一次方程无解，
此时 ；
当 ， 时，分式方程无解，
解得： 或 ；
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论不要漏解是解题关键．
【考点五 根据分式方程解的情况求值】
例题：（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）若关于x的分式方程 的解是正数．则m的取
值范围是________．【答案】 且
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，即可确定出m的范围．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程解为正数，
∴ ，且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
【变式训练】
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围是
____________．
【答案】 且
【分析】解分式方程，可用 表示 ，再根据题意得到关于 的一元一次不等式即可解答．
【详解】解：解 ，可得 ，
的方程 的解为非负数，
，
解得 ，
，
，
即 ，
的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若关于x的分式方程 的解为正整数，则正数m的值是
_____．【答案】6或9
【分析】先按照解分式方程的步骤求出 ，再根据 结合分式方程的解为正整数进行求解
即可．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵分式方程有正整数解，
∴正数m的值是6或9．
故答案为：6或9．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出方程的解为 是解题的关键．
【考点六 列分式方程】
例题：（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两
厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧 吨煤，则根据题意列方程为
___________．
【答案】
【分析】设甲厂每天烧 吨煤，则乙厂每天烧 吨煤，根据甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的
天数相同列出方程即可．
【详解】解：设甲厂每天烧 吨煤，则乙厂每天烧 吨煤，根据题意得：．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系式，并用未知数表示出等量关
系式．
【变式训练】
1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，
该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时
间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______．
【答案】
【分析】设实际每天植树 棵，则原计划每天植树 棵，根据“实际植树400棵所需时间与原计划植
树320棵所需时间相同”列出分式方程即可．
【详解】解：设实际每天植树 棵，则原计划每天植树 棵，
根据题意，得 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．
2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题
译为白话文是：把一份文件送到900里（1里 千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的
时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规
定的时间．设规定的时间为 天，则可列方程为______．
【答案】
【分析】根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可．
【详解】解：设规定的时间为 天，则慢马送的时间为 天，快马送的时间为 天，
根据题意，得 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
【考点七 分式方程的实际应用】
例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载
速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时
间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【答案】该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆
【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒 兆，根据题意可得等量
关系：4G下载960兆所用时间-5G下载960兆所用时间 秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解
即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒 兆，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
则 ，
答：该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，再根据题意
找出下载960兆的公益片所用时间的等量关系．
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪
亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖
面积相同，平均亩产量去年比今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量．
【答案】今年龙虾的平均亩产量 ．
【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，根据去年与今年的养
殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量 ．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，
甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐
款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱15000元， 种防疫物
资每箱12000元．若购买 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注： 、
两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人
(2)有2种购买方案：购买8箱 种防疫物资、10箱 种防疫物资，或购买4箱 种防疫物资、15箱 种防
疫物资
【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有 人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经
检验后即可得出结论；
（2）（2）设购买 种防疫物资 箱，购买 种防疫物资 箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款
140000元．列出方程，求解出 ，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．
【详解】（1）解：设乙公司有 人，则甲公司有 人，
由题意得
，解得 ．
经检验， 是原方程的解．
∴ ．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）解：设购买 种防疫物资 箱，购买 种防疫物资 箱，由题意得
，整理得 ．
又因为 ，且 、 为正整数，
所以 ， ．
答：有2种购买方案：购买8箱 种防疫物资、10箱 种防疫物资，或购买4箱 种防疫物资、15箱 种
防疫物资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方
程是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）下列方程：① ；② ；③ ；
④ ．其中分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可．
【详解】解：①分母中含有未知数，故是分式方程；②分母中不含有未知数，故是整式方程；
③分母中含有未知数，故是分式方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（2023秋·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考阶段练习）若关于x的方程 有增
根，则增根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据增根的定义可知，最简公分母为零的未知数的值是增根，根据题干分式方程判断出最简公分
母，令最简公分母为零即可求得x的值．
【详解】解：∵关于x的方程 有增根，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，准确掌握增根定义并找出分式方程的最简公分母是关键．
3．（2023秋·江苏南通·九年级校考期中）关于 的方程 的解是负数，则实数 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程有解、解为负数，得到关于a的不等式，即可求解．
【详解】解： ，
等号两边同时乘以 ，得 ，
解得 ，
分式方程有解，
，即 ，解得 ；
解是负数，
，
解得 ，
实数 的取值范围是 ．
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题的关键是注意隐含条件 ．
4．（2023春·云南红河·八年级统考期末）周末几名同学计划去聚餐，订了一桌价值270元的晚餐，出发前
3名同学临时有事情不能参加，结果每个同学比原计划多出了15元的餐费，设最先打算参加聚餐的同学共
x人，则所列方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设最先打算参加聚餐的同学共x人，则分摊餐费为 元，实际分摊餐费为 元，根据每个同
学比原计划多出了15元的餐费，列出分式方程即可求解．
【详解】解：设最先打算参加聚餐的同学共x人，
根据题意，得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数 和 ，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右
边是实数运算．例如： ．则方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题中的新定义化简，转化为分式方程，解分式方程即可．
【详解】由题意化简： ，∴ ，解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，
故选： ．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二、填空题
6．（2023秋·江苏淮安·九年级统考阶段练习）方程 的解为 ．
【答案】
【分析】两边同时乘以 ，化为整式方程，再求解，最后检验即可．
【详解】
解得： ，
经检验， ，是原方程的解，
故原方程的解为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求解分式方程的解的知识，解答时注意对所求的根进行检验是关键．
7．（2023春·四川眉山·八年级校考阶段练习）若关于 的方程 产生增根，则 = ．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将 代入整式方程即可求出m的值．
【详解】解：
去分母得： ，
关于 的方程 产生增根，
增根为 ，
将 代入得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（2023秋·山东淄博·八年级校考阶段练习）若关于x的分式方程 无解，则m的值为
．
【答案】 或
【分析】根据分式方程的解法即可求出 的值．
【详解】解：
，
由题意可知：将 代入 ，
，
解得： 或
故答案为： 或
【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
9．（2023·山西晋城·模拟预测）某厂现在平均每天比原计划多生产 台机器，现在生产 台机器所需时
间只比原计划生产 台机器多用一天，设原计划每天生产 台机器，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】设原计划每天生产 台机器，则现在每天生产 台，根据“现在生产800台机器所需时间只
比原计划生产450台机器多用一天”可列方程．
【详解】解：设原计划每天生产 台机器，则现在每天生产 台，
根据题意：得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列分式方程，理解题意找到相等关系是列方程的关键．
10．（2023秋·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）从 、 、 、0、 、2、3这七个数
中，随机抽取一个数a，若数a使关于x的分式方程 的解为整数，且使不等式组有且仅有四个整数解，那么这七个数中满足所有条件的a的值之和为 ．
【答案】2
【分析】解分式方程、一元一次不等式组，再根据题目要求取值即可；
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
∴该不等式组的解集为： ，
∵不等式组 有且仅有四个整数解，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 、 、0、 、2符合题意，
解：
∵分式方程 的解为整数，
∴ 、0、 、2符合题意，
综上符合题意的数有 、0、 、2．∴这七个数中满足所有条件的a的值之和为 ．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查分式方程、一元一次不等式组的应用，正确计算是解题的关键．
三、解答题
11．（2023秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）解下列分式方程
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边同时乘以 ，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验；
（2）方程两边同时乘以 ，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以 ，得
，
解得： ；
当 时， ，
∴ 是原方程的解；
（2）解： ，
方程两边同时乘以 ，得
，
即 ，解得： ，
当 时， ，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
12．（2023秋·湖南永州·八年级校考阶段练习）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
检验：把 代入得： ，
∴ 是分式方程的解；
（2）两边同时乘以 ，得， ，
解得 ．
经检验 是原方程的增根．
∴原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
13．（2023秋·山东泰安·八年级宁阳县第二十四中学校考阶段练习）解方程
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
解得 ，
经检验 是原方程的解；
（2）解： ，
去分母得： ，
解得 ，
经检验 是原方程的解；
（3）解： ，
去分母得： ，
解得 ，
经检验 是原方程的解；
（4）解： ，去分母得： ，
解得 ，
经检验 是原方程的解．
【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则．
14．（2023秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）已知关于x的分式方程
(1)当 时，求方程的根？
(2)若关于x的分式方程有增根，试求m的值？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分式方程去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得答案；
（2）先把分式方程去掉分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根可得 ，求出x的值后再代
入到整式方程即可求解.
【详解】（1）当 时，方程即为 ，
两边同时乘以 ，得 ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
所以原方程的解是 ；
（2）方程 同时乘以 ，
得 ，
即为 ，
若关于x的分式方程有增根，则 ，
解得： ，
所以 .【点睛】本题考查了分式方程的求解和增根问题，熟练掌握解分式方程的步骤和方法是解题的关键.
15．（2023秋·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考阶段练习）（1）已知关于x的分式方程 ．
①当 时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
（2）关于x的方程 有整数解，求此时整数m的值．
【答案】（1）① ；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4
【分析】（1）①把 代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到 ，求出增根 ，
则 ，即可求得a的值；
（2）解方程得到 ，根据分式方程有整数解得到 或 且 ，进一步求解
即可得到整数m的值．
【详解】解：（1）①当 时，分式方程为： ，
去分母得到 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的根；
② ，
去分母得到 ，
解得： ，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
解得： ，
∴a的值为3；
（2） ，
去分母得到 ，解得 ，
∵方程有整数解，
∴ 或 且 ，
解得： 或3或0或4且 ，
∴ 或0或4，
∴此时整数m的值为3或0或4．
【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问
题是解题的关键．
16．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)解方程： ；
(2)解方程： ；
(3)关于x的分式方程 ．
①若方程的增根为 ，求m的值；
②若方程有增根，求m的值；
③若方程无解，求m的值．
【答案】(1)
(2)无解
(3)① ；② 或 ；③ 或 或
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
（3）①将原方程去分母并整理，然后将增根代入，解得 值即可；②若原分式方程有增根，则
，解得 的值，再分别代入（1）中的 ，即可解得 值；③分原分式方程有增根时
和 无解两种情况求得 值即可．
【详解】（1）解：去分母得： ，解得： ，
检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ；
（2）去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
是增根，分式方程无解．
（3）①去分母，得： ，
∴ ，
当方程的增根为 时， ，所以 ；
②若原分式方程有增根，则 ，
或 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以 的值为 或9时，方程有增根；
③当方程无解时，即当 时， 无解，所以 ；
当方程有增根时，原方程也无解，即 或 时，方程无解，
所以，当 或 或 时方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条
件是解题的关键．
17．（2023秋·河北石家庄·八年级校联考阶段练习）近年来，随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，
新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年
生产安装288辆，便抽调了部分熟练工和招聘一批新工人来完成新式电动汽车的安装，培训后上岗，一段
时间后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；1名熟练工和3名新工人每
月也可安装10辆电动汽车．
(1)求每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装电动汽车的数量．
(2)从这款电动汽车和某款燃油车的对比调查中发现：电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米
的行驶费用少 元．当两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．①求这款电动汽车平均每千米的行驶费用；
②若电动汽车和燃油车每年的其他费用分别为6400元和4000元．问：每年行驶里程为多少千米时，买电
动汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用）
【答案】(1)每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车
(2)①这款电动汽车平均每千米的行驶费用为 元；②当每年行驶里程大于4000千米时，买电动汽车的
年费用更低
【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装 辆电动汽车，每名新工人每月可以安装 辆电动汽车，根据
“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；1名熟练工和3名新工人每月也可安装10辆电动汽
车．”，再建立方程组解题即可；
（2）①设这款电动汽车平均每千米的行驶费用为 元，则燃油车平均每千米的行驶费用为 元，
根据“当两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”，再列方程解题即
可；②设每年行驶里程为 千米，根据“买电动汽车的年费用更低”，再建立不等式解题即可．
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装 辆电动汽车，每名新工人每月可以安装 辆电动汽车，
由题意得
解得
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）①设这款电动汽车平均每千米的行驶费用为 元，则燃油车平均每千米的行驶费用为 元，
根据题意得 ，解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意．
答：这款电动汽车平均每千米的行驶费用为 元．
②燃油车平均每千米的行驶费用为 （元）．
设每年行驶里程为 千米，
根据题意得 ，
解得 ．
答：当每年行驶里程大于4000千米时，买电动汽车的年费用更低．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
18．（2023·江苏盐城·统考中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购
买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求
甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：
一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买 本
硬面笔记本（ 为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔
记本的原价．
【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元
(2)乙商店硬面笔记本的原价18元
【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为 元，由再多购买5本的费用恰好与
按原价购买的费用相同可得 ，再根据 且m，均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为 元，根据题意得
，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，且符合题意，
故甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为 元，
由题意可得 ，
解得 ，
根据题意得 ，解得 ，
为正整数，
， ， ， ， ，分别代入 ，
可得 ， ， ， ， ，
由单价均为整数可得 ，
故乙商店硬面笔记本的原价18元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相
应方程．
