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专题 15.4 分式方程及分式方程的实际应用
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 分式方程的定义】....................................................................................................................................1
【考点二 解分式方程】............................................................................................................................................3
【考点三 已知分式方程的增根求参数】................................................................................................................7
【考点四 已知分式方程的无解求参数】................................................................................................................9
【考点五 根据分式方程解的情况求值】..............................................................................................................12
【考点六 列分式方程】..........................................................................................................................................14
【考点七 分式方程的实际应用】..........................................................................................................................16
【过关检测】............................................................................................................................................................19
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于 的方程① ，② ，③ ，
④ 中，是分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即
可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键．
【详解】解：① ，③ ，④ 是整式方程；② 是分式方程；
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）下列关于 的方程：① ；② ；③；④ ，其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程
叫做分式方程，根据定义逐项分析即可．
【详解】解：② ，④ 是分式方程；
① ，③ 是一元一次方程；
所以是分式方程的是②④，
故选：B．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：① ，② ，③ ，
④ ．其中，分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题．
【详解】解：① ，③ ，④ 是整式方程；② 的分母中含有未知数x，是
关于x的分式方程．
故分式方程有1个，
故选：A．
3．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1） ；（2） ；（3）
；（4） ；（5） ，其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
【详解】 分母中含有未知数，故是分式方程；
分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程 分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程 分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
分母中 是常数，不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：是分式方程的有1个；
故选：A．
【考点二 解分式方程】
例题：（24-25八年级上·山东东营·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．
（ ）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（ ）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
，
，，
检验：当 时， ，
所以原分式方程的解为 ；
（2）解： ，
，
，
，
经检验： 是原分式方程的解．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）解下列分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查解分式方程，解答的关键是熟练掌握分式方程的解法，注意计算结果要检验．
（1）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后经过检验得结论；
（2）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后经过检验得结论．
【详解】（1）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
经检验， 是原分式方程的解；
（2）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，化系数为1，得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的增根，即原分式方程无解．
2．（24-25八年级上·全国·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查分式方程的解法，检验是解分式方程的必要步骤．
（1）根据解分式方程的解法步骤求解即可．
（2）根据解分式方程的解法步骤求解即可．
【详解】（1）解：
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得合并同类项得， ，
经检验， 是原方程的解，
所以原方程的解为 ．
（2）解：
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
经检验， 是原方程的解，
所以原方程的解为 ．
3．（24-25八年级上·全国·期末）解方程：(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
（1）方程两边都乘 化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘 化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
∴原方程的根为： ．
（2）解： ，
去分母得： ，
整理得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
∴原方程的根为： ．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）解方程：
(1)
(2)(3)
【答案】(1)原方程无解；
(2)原方程无解；
(3) ．
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）方程两边同乘 ，得到整式方程，解整式方程求出 的值，检验后得到答案；
（2）方程两边同乘 ，得到整式方程，解整式方程求出 的值，检验后得到答案；
（3）方程两边同乘 ，得到整式方程，解整式方程求出 的值，检验后得到答案．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴原方程无解；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
检验：当 ， ，∴原方程无解；
（3）解： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∴原方程的解为 ．
【考点三 已知分式方程的增根求参数】
例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）已知关于 的分式方程 有增根，则 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查了分式方程的增根．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到 ，
求出 的值，代入整式方程即可求出 的值．
【详解】解：去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程 有增根，则m的值是_____．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出
m的值．
【详解】解：去分母得： ，
解得 ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
∴ ，
解得： ．故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．（23-24八年级下·广东河源·期末）关于 的方程 有增根，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程有增根，则该方程无解，解出 ，即可求
出 ．
【详解】解：去分母得， ，
合并同类项得， ，
∵ 有增根，
∴该方程无解，即 ，
解得： ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于 的方程： 有增根，则 ．
【答案】 或
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；先将分式方程化为整式方程，根据方程
有增根，可得到 ，然后代入整式方程，即可求解．
【详解】解∶方程两边同乘以 ，得 ，
整理得 ，
∵原方程有增根，
∴ ，
∴ ，当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
∴a的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【考点四 已知分式方程的无解求参数】
例题：（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若关于x的分式方 无解，则m的值为
．
【答案】2或
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程无解的情况，先求解该分式方程，得出 ，再根据该分式方程无解，
得出 ，则 ，即可解答．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
∵原分式方程无解，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得： 或 ，
故答案为：2或 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于 的方程 无解，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程无解问题．先将分式方程化为整式方程，得出 的值，然后根据分式方程无解，
得出 的值，继而求出 的值．
【详解】解： ，，
，
，，
整理得： ，
可得： ，
∵关于 的方程 无解，
∴ ，
即
故 ．
故答案为： ．
2．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 或
【知识点】解分式方程、分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握整式方程无解或分式方程有增根时，分式方程无解是关键．
将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解．
【详解】解：去分母得： ，
整理得： ，即 ，
当 ，即 时，整式方程无解，满足题意；
当 ，即 时， ，
此时分式方程的增根为 或 ，
代入得： （无解）或 ，
解得： ，
综上所述， 的值为 或 ．3．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）关于 的分式方程 无解，则 的值为
．
【答案】 或 或
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分
式方程无解的两种情况即可求出 的值．
【详解】解：
去分母得，
，
当增根为 或 时，
或
解得 或 ，
即 或 时，分式方程无解，
当 时，即 时，整式方程无解，分式方程无解，
综上可知，当 的值为 或 或 ．
故答案为： 或 或
【考点五 根据分式方程解的情况求值】
例题：（23-24九年级下·山东日照·开学考试）若关于 的分式方程 有非负整数解，则 的
取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程
【分析】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；
根据解分式方程的步骤求解即可；
【详解】解：去分母得：
去括号：
移项：
系数化为 ：
根据题意可得： ，
解得： ，
故答案为： 且
【变式训练】
1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若关于 的分式方程 有正整数解，则整数 为 ．
【答案】 或
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得 ，因为分式方程有正整数解，进
而可得整数m的值．
【详解】解：去括号得 ，
解得 ，
∵方程有正整数解，即 且 ，
∴ ，即 ，且为整数，
∴当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，此时，原分式方程的分母为0，不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若关于 的方程 有整数解，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】先方程两边都乘 ，得 ，再根据有整数解，逐个分析，即可作答．本题考查了根
据分式方程解的情况求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：
方程两边都乘 ，得 ，
∴
∴
∵关于 的方程 有整数解
∴ 或 ，
∴
∴ 的值为
故答案为：
3．（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为 ．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式有意义的条件
【分析】此题考查了分式方程的解，注意任何时候考虑分母不为0．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据x为正数且分母不等于0列出关于m的不等式，求出不
等式的解集即可确定出m的范围．
【详解】解：分式方程去分母得： ，
解得： ，
∵方程 的解是正数∴ ，且 ，
解得： ，且 ，
故答案为： ，且 ．
【考点六 列分式方程】
例题：（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多
用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为 ，依题意，列方程
．
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设大巴车的速度为 ，则轿车的速度为
，再根据时间路程速度列出方程即可．
【详解】解：设大巴车的速度为 ，列方程得 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装
裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是 ，且四周边衬的宽度相
等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可．
【详解】解：装裱后的长为 cm，宽为 cm，根据题意，得
．
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的
使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多
0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x
万元，那么根据题意可列方程 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可．
【详解】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为 万元，
根据题意得，
故答案为： ．
3．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘 个，乙摘
个所用时间比甲摘 个所用时间多 分钟，求甲摘 个草莓、乙摘 个草莓时间分别为多少小时．
设甲摘 个草莓时间为 小时，则可列分式方程为 ．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用、列分式方程
【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可
【详解】设甲摘 个草莓时间为 小时，
分钟等于 小时，
．故答案为： ．
【考点七 分式方程的实际应用】
例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）2023年12月，21世纪经济研究院发布《国际消费中心城市建设年度报
告（2023）》，长沙被列为发展型消费中心城市（Gamma级）．根据市场需求，长沙市某企业为加快生产
速度，更新了部分生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了 ，若更新设备前每天生产产品 件．
据此解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产 件产品（用含 的式子表示）；
(2)更新设备后生产6000件产品还比更新设备前的生产5000件产品少用2天，则更新设备后每天生产多少
件产品？
【答案】(1)
(2)更新设备后每天生产125件产品
【知识点】用代数式表示式、分式方程的实际应用
【分析】本题考查分式方程的实际应用；
（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了 ”列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可.
【详解】（1）更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了 ，
更新设备后每天生产产品数量为： （件），
故答案为： ；
（2）由题意知： ，
去分母，得 ，
解得： ，
经检验， 0是所列分式方程的解，
（件），
答：更新设备后每天生产125件产品．
【变式训练】
1．（2024·吉林长春·模拟预测）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和
足球．已知每个篮球的价格是每个足球的价格的 倍，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多2个．求每个足球的价格．
【答案】每个足球的价格为100元
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程成为解题的关键．
设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为 元，再根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购
进足球的数量多2个”列分式方程求解即可．
【详解】解：设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为 元，
由题意得： ，
解得： ,
经检验： 是分式方程的解．
答：每个足球的价格为100元．
2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为 ，甲施工队在绿
化了 后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，
结果提前12天完成了该项绿化工程．
(1)甲施工队每天完成多少 ？
(2)高铁站给付工程款的标准是15元/ ，求甲、乙施工队分别可得多少工程款．
【答案】(1)甲施工队每天完成的绿化面积为 ；
(2)甲施工队可得工程款 元，乙施工队可得工程款 元．
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用．注意解分式方程时一定要检验．
（1）可设甲施工队每天完成的绿化面积为 ，利用等量关系列出分式方程求解即可；
（2）先求得乙施工队施工的时间，再求得两施工队完成的任务数，即可求解．
【详解】（1）解：设甲施工队每天完成的绿化面积为 ，根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
答：甲施工队每天完成的绿化面积为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴甲施工队完成了任务 ，
乙施工队完成了任务 ，
∴甲施工队可得工程款 （元），
乙施工队可得工程款 （元），
答：甲施工队可得工程款 元，乙施工队可得工程款 元．
3．（23-24九年级上·四川成都·期中）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、
乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需
天数的 ；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．
为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出
你的判断并说明理由．
【答案】(1)乙队单独完成这项工程需90天，则甲队单独完成这项工程需60天
(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用：
（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工
作量 工作效率 工作时间列方程求解；
（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程需 天，根据题意得：，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
此时 ，
答：乙队单独完成这项工程需90天，则甲队单独完成这项工程需60天；
（2）解：工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元，理由：
设两队合作y天完成，根据题意得：
，
解得： ，
此时 元 元，
所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ，分式方程的个数是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可．
【详解】解： 是分式方程， 是一元一次方程，③是二元一次方程；
②④⑤ ①⑥故选：C．
2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）解分式方程 时，去分母变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，先将分式化为同分母分式，再
乘以公分母即可得到答案．
【详解】解：∵
∴ ，
两边同时乘以 得： ，
故选：B．
3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）石家庄市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学
生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题
意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每小时种x株，实际每小时比原计划多种20株，根据前1
小时完成任务．列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设原计划每小时种x株，则实际每小时种 株，
根据题意得，
故选：D．
4．（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是
正确解答的前提．
先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m
的取值范围．
【详解】解：关于x的分式方程 化为整式方程得， ，
解得 ，
由于分式方程的解为正数，
所以 ，即 ，
又∵ ， ，
解得： ，
∴
∴
∴m的取值范围为 且 ，
故选：D．
5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知关于 的分式方程 无解，则所有满足条件的整数
的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解分式方程、分式方程无解问题
【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出 ，然后根据分式方
程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于 的方程，解方程求出 即可．本题主要考
查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程．
【详解】解：∵ ，∴ ，
则 ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
即 ，
关于 的分式方程 无解， ， ，
解得： ， ，
或 ，
解得： 或 ，
所有满足条件的整数 为 或 或0，共3个，
故选：C．
二、填空题
6．（24-25九年级上·四川成都·期中）方程 的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进
行检验即可得．
根据分式方程的计算步骤求解即可；
【详解】解：
去分母得： ，
移项：
合并同类项：
解得：当 时， ，
故答案为：
7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知关于x的分式方程 有增根，则 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，熟知分式方程的增根就是使分式方程的最简公分母为0的未知
数的值是解决问题的关键．方程 的两边同乘以 可得 ，由分式方程有增根，可得
，把 代入 即可求得m的值．
【详解】解：方程 的两边同乘以 得， ，
∵关于x的分式方程 有增根，
∴ ，
解得： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）对于非零的两个有理数 ， ，规定 ．若 ，
则 ．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程
【分析】本题是新定义问题，考查了解分式方程，理解规定的新运算是关键，注意不要忘了检验．根据题
干新定义的运算转化为分式方程，然后解分式方程即可．
【详解】解：由规定运算， 可化为， ，即 ，
解得 ，
检验：当 时， 符合条件，
∴原方程的解为 ．
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程 的解为非负数，则a的取值范围为
．
【答案】 且
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．先将分式方程化为整式方程，用含a的式子表示出x，
根据解为非负数，分式的分母不能为0，列不等式，解不等式即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
解得 ，
关于 的方程 的解为非负数，
，
解得 ；
，
，
解得 ，
的取值范围为 且 ．
故答案为： 且 ．10．（24-25九年级上·重庆·期中）关于 的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关
于 的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的整数 的值之和为 ．
【答案】2
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键．
先解不等式组，确定m的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得 ，由分
式方程有非负整数解，确定出 的值，即可解答．
【详解】解：
解①得： ，
解②得： ，
∴ ，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴ ，
解得： ；
，
去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程的解为非负整数，且
∴ 且 的偶数，
又∵
∴ ，0
∴符合条件的整数 的值之和为 ．故答案为：2．
三、解答题
11．（24-25八年级上·山东威海·期中）解方程
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
所以 是分式方程的解；
（2）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
经检验： 不是原方程的解，
原分式方程无解．
12．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题
的易错点．
（1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答；
（2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
检验，当 时， ，
所以该分式方程的解为： ；
（2）解： ，
，
，
检验，当 时， ，
所以该分式方程无解
13．（24-25七年级上·上海·期中）解方程：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)无解
(2)
【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式、解分式方程
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）方程两边同乘最简公分母 ，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可；
（2）将各分母进行因式分解，找出各分母的最简公分母，方程两边同乘该最简公分母，将分式方程转化
为整式方程，求解后检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘 ，得 ，
化简，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 不是原分式方程的解，原分式方程无解．
（2）解：
方程可化为 ，
方程两边同乘 ，得 ，
化简，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．
14．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活
中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，学校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套．已知 元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多 套，且《古今数
学思想》的单价是《什么是数学》单价的 倍．求每套《古今数学思想》的价格．
【答案】 元
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设每套《什么是数
学》的价格是 元，则每套《古今数学思想》的价格是 元，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设每套《什么是数学》的价格是 元，则每套《古今数学思想》的价格是 元．
由题意得：
解得： ，
经检验， 是原方程的解， 且符合题意，
，
答：每套《古今数学思想》的价格是 元．
15．（2024九年级上·全国·专题练习）解分式方程： ．
解：方程两边同乘以 ，得 ，……第一步
去括号，得 ，……第二步
移项､合并同类项，得 ，……第三步
方程两边同除以2，得 ，……第四步
经检验 是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为 ．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是
__________________________________；
任务二：请直接写出分式方程正确的解．
【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二， 利用完全平方公式展开错误；任务二： ．
【知识点】解分式方程、等式的性质2
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．任务一：①利用等式的基本性质判断即可；②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可；任务
二：写出分式方程的正确的解即可．
【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质 ；
故答案为：等式的基本性质 ；
②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式 展开错误；
故答案为：二，完全平方式 展开错误；
任务二： ，
，
，
，
．
经检验， 是原分式方程的解．
16．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）（1）已知关于 的分式方程 有增根，求 的值．
（2）关于 的方程 有整数解，求此时整数 的值．
【答案】（1）3；（2）m的值为3或0或4
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问
题是解题的关键．
（1）解分式方程得到 ，求出增根 ，则 ，即可求得a的值；
（2）解方程得到 ，根据分式方程有整数解得到 或 且 ，进一步求解
即可得到整数m的值．
【详解】解：（1） ，
去分母得到 ，
解得： ，由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
解得： ，
∴a的值为3；
（2） ，
去分母得到 ，
解得 ，
∵方程有整数解，
∴ 或 且 ，
解得： 或3或0或4且 ，
∴ 或0或4，
∴此时整数m的值为3或0或4．
17．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程 的解为正数，且使关于y的一元
一次不等式组 有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元一次不
等式的解分别求出，再根据题意求 的范围，最后确定 的整数解，再相加即可．
【详解】解：关于 的分式方程 化为整式方程是： ，
解得： ，
关于 的分式方程 的解为正数，
，，
关于 的分式方程 可能会产生增根2，
，
，
解关于 的一元一次不等式组 得： ，
关于 的一元一次不等式组 有解，
，
，
综上， 且 ，
为整数，
或 或0或1或2，
满足条件的整数 的值之和是： ．
18．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程 ．
(1)若分式方程的根是 ，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值；
(3)若分式方程无解，求a的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)3或
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值，
（1）将分式方程转化为整式方程，把 代入，求解即可；
（2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的 的值，代入，求解即可；
（3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可；
【详解】（1）解：方程去分母，得： ，整理，得： ，
∵分式方程的根是 ，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）将分式化为整式方程为： ，
∵分式方程有增根，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
当 时， ，解得： ；
当 时， 无解，舍去；
∴ ；
（3）由（1）将分式化为整式方程为： ，
由（2）知，当 时，分式方程有增根，无解；
当 无解时，即 时，分式方程也无解，
∴ ；
综上： 或 ．
19．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点．
① 的解为 ， ；
② 的解为 ， ；
③ 的解为 ，
解答下列问题：
(1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________；
(2)根据这类方程的特征，写出第 个方程为________，其解为________；
【答案】(1) ； ，(2) ； ，
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式的规律性问题
【分析】本题考查分式方程的解，理解方程的解，并根据题意总结归纳出一般规律是解题关键．
（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
【详解】（1）解：如： ，
其解为： ，
（2）解：∵ ， ．
∴第 个方程为 ，
其解为： ，
20．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）先阅读下面例题的解法，再完成后面的问题．
例题：已知 ，求A，B的值．
解：将等式两边都乘 得：
去括号整理得：
所以 ，解得
(1)已知 ，求A，B的值；
(2)根据（1）中的结果，若 ，求x
的值．
【答案】(1) ，
(2)101
【知识点】异分母分式加减法、加减消元法、解分式方程【分析】本题考查了分式的加减法、二元一次方程组的应用、解分式方程，读懂阅读材料中的解法是解题
关键．
（1）先给等式两边同乘以 去分母，去括号化简可得一个关于A、B的二元一次方程组，解方程
组即可得；
（2）先将括号内的每一项拆分成两项的差的形式，再计算分式的加减法即可得出结果；进而解分式方程
即可求解．
【详解】（1）解： ，
等式两边同乘以 去分母，得 ，
即 ，
则 ，
解得 ；
（2）解：∵
，
∴ ，则 ，
解得 ，
经检验， 是方程的解，
故x的值为101．
