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第 01 讲 统计
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、
乙、丙、丁、戊等 种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业 年 种系列产品年总
收入是 年的 倍，其中 种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ）
A． 年甲系列产品收入比 年的多
B． 年乙和丙系列产品收入之和比 年的企业年总收入还多
C． 年丁系列产品收入是 年丁系列产品收入的
D． 年戊系列产品收入是 年戊系列产品收入的 倍
【答案】C
【解析】对于A： 年甲系列产品收入占了总收入的 ， 年甲系列产品收入占了总收入的 ，
而该企业 年 种系列产品年总收入是 年的 倍，故 年甲系列产品收入比 年的多，故A
选项不符题意；
对于B： 年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的 ，该企业 年 种系列产品年总收入是
年的 倍，
故 年乙和丙系列产品收入之和比 年的企业年总收入还多，故B选项不符题意；
对于C： 年丁系列产品收入占了总收入的 ， 年丁系列产品收入占了总收入的 ，而该企业
年 种系列产品年总收入是 年的 倍，故 年丁系列产品收入是 年丁系列产品收入的 ，
故C选项符合题意；
对于D： 年戊系列产品收入占了总收入的 ， 年戊系列产品收入占了总收入的 ，而该企
业 年 种系列产品年总收入是 年的 倍，故 年戊系列产品收入是 年戊系列产品收入的
倍，故D选项不符题意.
故选：C.2．（2023·江西九江·统考一模）为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学
党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动．已知该班男生 人，女生 人，根据统计
分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为 ．记该班成绩的方差为 ，则下列判断正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为 ，则
，
，
同理 ，
， ， ，
，
故选：D．
3．（2023·四川成都·校联考二模）某重点中学为了解800名新生的身体素质，将这些学生编号为001 ，
002，003，…，800，从这些新生中用系统抽样的方法抽取80名学生进行体质测验，若编号为006的学生
被抽到，则下列编号对应的学生没有被抽到的是（ ）
A．036 B．216 C．426 D．600
【答案】D
【解析】由题意可得抽样间隔为 ，
因为被抽中的初始编号为006，则第 组被抽到的编号为 ，
即之后被抽到的编号均为10的整数倍与6的和.
故选：D.
4．（2023·河南开封·统考模拟预测）某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，全校2000名学生每人都参加且只参加其中二个社团，校团委从这2000名学生中随机选取部分学生进行调查，
并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图：
则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．45
【答案】A
【解析】选取的学生中，合唱的比例为 ，
所以绘画的比例为 ，
所以选取的学生中，参加绘画社团的学生数为 .
故选:A.
5．（2023·河南·校联考二模）某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品
的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）
A．44~56周岁人群理财人数最多
B．18~30周岁人群理财总费用最少
C．B理财产品更受理财人青睐
D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高
【答案】B
【解析】A.44~56周岁人群理财人数所占比例是37%，是最多的，故正确；
B.设总人数为a，
则18~30周岁人群的人均理财费用约为 ，
31~43周岁人群的人均理财费用约为 ，44~56周岁人群的人均理财费用约为 ，
57周岁人群的人均理财费用约为 ，
所以57周岁及以上人群的人均理财费用最少，故错误；
C.由条形图可知：B理财产品更受理财人青睐，故正确；
D.由折线图知：年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故正确，
故选：B
6．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）一组数据由 个数组成，其中这 个数的平均数为
，若在该组数据中再插入一个数字 ，则这组数据（ ）
A．平均数变大 B．方差变大
C．平均数变小 D．方差变小
【答案】D
【解析】设 个数为 ，方差为
由题意可得： ，则 ，
若在该组数据中再插入一个数字 ，则这组数据的平均数为 ，
方差 ，
所以平均数不变，方差变小，即ABC错误，D正确.
故选：D.
7．（2023·福建福州·校考模拟预测）在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：
平均分
班级 人数 方差
数
甲 40 70 5
乙 60 80 8
则两个班所有学生的数学成绩的方差为（ ）
A． B．13 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
故选：C
8．（2023·四川凉山·三模）样本数据 的平均数为4，方差为1，则样本数据的平均数，方差分别为（ ）
A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1
【答案】A
【解析】因为样本数据 的平均数为4，
所以样本数据 的平均数为 ；
因为样本数据 的方差为1，
所以样本数据 的方差为 .
故选：A
9．（多选题）（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）若甲组样本数据 （数据各不相同）的平均数
为3，乙组样本数据 的平均数为5，下列说错误的是（ ）
A． 的值不确定
B．乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍
C．两组样本数据的极差可能相等
D．两组样本数据的中位数可能相等
【答案】ABC
【解析】对选项A，由题意可知， ，故A错误；
对选项B，易知乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的 倍，故B错误；
对选项C，不妨设 ，
则甲组数据的极差为 ，
乙组数据的极差为 ，
又已知甲组数据各不相同，
所以两组样本数据的极差不相等，故C错误；
对选项D，设甲组样本数据的中位数为 ，
则乙组样本数据的中位数为 ，
当 时， ，
所以两组样本数据的中位数可能相等，故D正确.
故选：ABC.
10．（多选题）（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）大连市教育局为了解二十四中学、第八中学、
育明中学三所学校的学生文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为
120的样本.其中，从二十四中学抽取容量为35的样本，平均数为4，方差为9；从第八中学抽取容量为40
的样本，平均数为7，方差为15；从育明中学抽取容量为45的样本，平均数为8，方差为21，据此估计，
三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ）
A．均值为6.3 B．均值为6.5C．方差为17.52 D．方差为18.25
【答案】BD
【解析】设二十四中学、第八中学、育明中学三组数据中每个人的数据分别为
, , ，
均值 ，
方差
，
故选：BD
11．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越
来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养．中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人
员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组： ．根据所
得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在 内的为优等品．对于这100件产品，下列说
法正确的是（ ）
A．质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值代替） B．优等品有45件
C．质量的众数在区间 内 D．质量的中位数在区间 内
【答案】ABD
【解析】对于选项A，质量的平均数为
（克），选项A正确；对于选项B，优等品有 件，选项B正确；
对于选项C，频率分布直方图上不能判断质量众数所在区间，质量众数不一定落在区间[98，100）内，所
以选项C错误；
对于选项D，质量在 内的有45件，质量在 内的有15件，质量在 内的有5件，
所以质量的中位数一定落在区间 内，所以选项D正确．
故选：ABD.
12．（多选题）（2023·重庆巴南·统考一模）某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活
动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校
学生一周的运动时间统计如下表：
人
学校 平均运动时间 方差
数
200
甲校 10 3
0
300
乙校 8 2
0
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为 ，方差为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】依题意，总平均时间为 ，
方差为 .
故选：BC
13．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）现有一组数据： 共200项，
（ 是这一组数据的第 项），有以下结论：
①这组数据的极差为19；
②这组数据的中位数为14；
③这组数据的平均数为13.5；
④ .
其中正确结论的个数为 .
【答案】3【解析】这一组数据有1个1，2个2，3个3，…，故出现 以前共有数据的个数为 ，
而 ， ，
故第100个数和第101个数均为14，中位数为14，故②正确；
， ，
故最大的数有10个，数值为20，故极差为20-1=19，故①正确；
则平均数为
，故③错误；
，
这是关于 的二次函数，且开口向上， 为二次函数的对称轴，
故 ，故④正确.
即正确结论的个数为3.
故答案为：3
14．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）由正整数组成的一组数据共有4个，其中位数，平
均数，方差均等于4，则这组数据的极差为 ．
【答案】
【解析】不妨设四个数为 ，则 ， ，即 ，
又 ，
∴ ，因为 是正整数，且 ，
不符合题意，否则 ，
若 ，可得 ，结合 ，可以解得 ，
若 ，故 可化简成：
但 ，这是不可能的，
若 ，结合 ，得到 ，
这与 矛盾.所以 ， ，极差为 .
故答案为：
15．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、
9环、7环、10环、8环、9环、6环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射
击环数的75%分位数，则此人第8次射击的结果可能是 环.（写出有一个符合题意的值即可）
【答案】8（答案不唯一）
【解析】设第8次射击的结果是x环，依题意， ，解得 ，
当 时，8次射击的结果由小到大排列为 ，
由 ，得8次射击环数的75%分位数为 ，显然符合题意，即 ，
当 时，8次射击的结果由小到大排列为 ，8次射击环数的75%分位数为 ，
由 ，解得 ，无解，
所以 ，此人第8次射击的结果可能是8环.
故答案为：8
16．（2023·江苏南通·统考模拟预测）为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取
了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩样本均值为8（单位：
环），方差为 （单位：环2）；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成
绩的方差为 环2.
【答案】 /
【解析】记6名老学员射击环数分别为 ，8名学员的射击成绩的平均数和方差分别为 .
由题可知 ，
则
所以
故答案为：
17．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25，则这20个人的视力的方差为
.
【答案】0.76/
【解析】设甲班12个人视力检测数据分别为 ，
乙班8个人的视力检测数据分别为 ，
由题意知： ， ，
， ，
由题意20个人的视力的平均数为
方差为
故答案为：0.76
18．（2023·福建·统考一模）以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：
甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；
乙组：17，22，32，43，45，49，b，56．
若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则 ．
【答案】100
【解析】因为 ，甲组数据的第40百分位数为第四个数和第五个数的平均数，
乙组数据的平均数为 ，
根据题意得 ，解得： ，
所以 ，
故答案为： .
19．（2023·广西玉林·统考模拟预测）某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中
随机抽取了 名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于 至 之间，将数据按照 ，， ， ， ， 分成 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；在这 名学生中用分层抽样的方法从成绩在 ， ，
的三组中抽取了 人，再从这 人中随机抽取 人，记 为 人中成绩在 的人数，求 ；
(2)规定成绩在 的为 等级，成绩在 的为 等级，其它为 等级．以样本估计总体，用频率
代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取 人，求获得 等级的人数不少于 人的概率.
【解析】（1） ， ；
成绩在 ， ， 的频率之比为 ，
抽取的 人中，成绩在 的人数为 人，
.
（2）用频率估计概率，获得 等级的概率为 ，
记抽取的 人中，获得 等级的人数为 ，则 ，
，
即获得 等级的人数不少于 人的概率为 .
20．（2023·河南郑州·校联考二模）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时
代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国
家动态，紧跟时代脉搏的热门APP.某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全
市抽取4000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，绘制如图所示的频率分布直方图
（每周利用“学习强国”的时长均分布在 ）.(1)求实数a的值，并求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长（同一组数据用该区间的中点值作代
表）；
(2)宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从 和 组中抽
取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会，现从
参加座谈会的5人中随机抽取2人发言，求 组中恰好有1人发言的概率.
【解析】（1）根据频率分布直方图性质可得 ，
解得 ；
根据频率分布直方图可得所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为：
.
（2）由题意得 组的人数为 ， 组的人数为 ，
这两组的人数之比为 ，
故 组抽取的人数为 ； 组抽取的人数为 ；
利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会，
则 组抽取的人数为 ； 组抽取的人数为 ，
从参加座谈会的5人中随机抽取2人发言，共有 种抽取方法，
组中恰好有1人发言的抽取方法有 ,
故 组中恰好有1人发言的概率为 .
21．（2023·河南·统考三模）某学校参加全国数学竞赛初赛（满分100分）．该学校从全体参赛学生中随
机抽取了200名学生的初赛成绩绘制成频率分布直方图如图所示：(1)根据频率分布直方图给出的数据估计此次初赛成绩的中位数和平均分数；
(2)从抽取的成绩在90~100的学生中抽取3人组成特训组，求学生 被选的概率．
【解析】（1）因为 ， ，
所以中位数位于区间 ，
设中位数为 ，
则 ，解得 ，
即中位数为 分，
平均分为
分；
（2）成绩在90~100的学生有 人，
设为 ，
从这 人中抽取3人，
有 ，
共 种，
其中学生 被选有 共 种，
所以学生 被选的概率为 ．
1．（2021•天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据
分为8组： ， ， ， ， ， ， ，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间
， 内的影视作品数量是A．20 B．40 C．64 D．80
【答案】
【解析】由频率分布直方图知，
评分在区间 ， 内的影视作品的频率为 ，
故评分在区间 ， 内的影视作品数量是 ，
故选： ．
2．（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】
【解析】对于 ，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为 ，故选项
正确；
对于 ，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为 ，故选项 正确；对 于 ， 估 计 该 地 农 户 家 庭 年 收 入 的 平 均 值 为
万元，故选
项 错误；
对于 ，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为 ，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项 正确．
故选： ．
3．（2020•新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ， ， ， ，且 ，
则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】
【 解 析 】 选 项 ， 所 以
；
同理选项 ， ；
选项 ， ；
选项 ， ；
故选： ．
4．（2020•新课标Ⅲ）设一组样本数据 ， ， ， 的方差为0.01，则数据 ， ， ， 的
方差为
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【答案】
【解析】 样本数据 ， ， ， 的方差为0.01，
根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，
数据 ， ， ， 的方差为： ，
故选： ．
5．（2020•天津）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： ，将所得数据分为9组： ，
， ， ， ， ， ， ， ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取
的零件中，直径落在区间 ， 内的个数为A．10 B．18 C．20 D．36
【答案】
【解析】直径落在区间 ， 的频率为 ，
则被抽取的零件中，直径落在区间 ， 内的个数为 个，
故选： ．
6．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据 ， ， ， ，其中 是最小值， 是最大值，则
A． ， ， ， 的平均数等于 ， ， ， 的平均数
B． ， ， ， 的中位数等于 ， ， ， 的中位数
C． ， ， ， 的标准差不小于 ， ， ， 的标准差
D． ， ， ， 的极差不大于 ， ， ， 的极差
【答案】
【解析】 选项， ， ， ， 的平均数不一定等于 ， ， ， 的平均数， 错误；
选项， ， ， ， 的中位数等于 ， ， ， ， 的中位数等于 ， 正确；
选项，设样本数据 ， ， ， 为0，1，2，8，9，10，可知 ， ， ， 的平均数是5， ，
， ， 的平均数是5，
， ， ， 的方差 ，
， ， ， 的方差 ，
， ， 错误．
选项， ， ， ， 正确．
故选： ．7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据 ， ， ， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，
， ，其中 ，2， ， ， 为非零常数，则
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】
【解析】对于 ，两组数据的平均数的差为 ，故 错误；
对于 ，两组样本数据的样本中位数的差是 ，故 错误；
对于 ， 标准差 ，
两组样本数据的样本标准差相同，故 正确；
对于 ， ，2， ， ， 为非零常数，
的极差为 ， 的极差为 ，
两组样本数据的样本极差相同，故 正确．
故选： ．
8．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本 ， ， ， 的离散程度的有
A．样本 ， ， ， 的标准差 B．样本 ， ， ， 的中位数
C．样本 ， ， ， 的极差 D．样本 ， ， ， 的平均数
【答案】
【解析】中位数是反应数据的变化，
方差是反应数据与均值之间的偏离程度，
极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，
平均数是反应数据的平均水平，
故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．
故选： ．
9．（2023•上海）现有某地一年四个季度的 （亿元），第一季度 为232（亿元），第四季度
为241（亿元），四个季度的 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的 为
．
【答案】946（亿元）．
【解析】设第二季度 为 亿元，第三季度 为 亿元，则 ，
中位数与平均数相同，
，
，该地一年的 为 （亿元）．
故答案为：946（亿元）．
10．（2020•江苏）已知一组数据4， ， ，5，6的平均数为4，则 的值是 ．
【答案】2
【解析】一组数据4， ， ，5，6的平均数为4，
则 ，
解得 ．
故答案为：2．
11．（2020•上海）已知有四个数1，2， ， ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则 ．
【答案】36
【解析】因为四个数的平均数为4，所以 ，
因为中位数是3，所以 ，解得 ，代入上式得 ，
所以 ，
故答案为：36．
12．（2023•乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10次配对试验，每次配
对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理
后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 ， ，2， ．试
验结果如下：
试验序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记 ，2， ， ，记 ， ， ， 的样本平均数为 ，样本方差为 ．
（1）求 ， ；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如
果 ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，
否则不认为有显著提高）
【解析】（1）根据表中数据，计算 ，2， ， ，填表如下：试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率
536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
伸缩率
9 6 8 15 11 19 18 20 12
计算平均数为 ，
方差为 ．
（2）由（1）知， ， ，
所以 ，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
13．（2021•乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，
用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【解析】（1）由题中的数据可得， ，
，
；
；
（2） ， ，因为 ，
所以 ，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
