文档内容
第 02 讲 同角三角函数的基本关系及诱导
公式 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：① ② ③ 三剑客
高频考点二：商数关系（ 与分式或多项式求值）
角度1：弦切互化
角度2：正余弦齐次式问题
高频考点三：诱导公式的应用
高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 02 讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 （精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆1、同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： ．
(2)商数关系：
2、三角函数的诱导公式
诱导公式一
诱导公式二
诱导公式三
诱导公式四
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式七
诱导公式八
3、常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末） 的值是0.5 ( )【答案】错误
【详解】
，
故答案为：错误．
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习） .( )
【答案】正确
【详解】
.
故答案为：对.
二、单选题
1．（2022·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）如果 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：D
2．（2022·北京师大附中高一期中）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C
3．（2022·安徽·高一期中） （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
．
故选：D．
4．（2022·辽宁沈阳·高一期中） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
故选：B.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：① ② ③ 三剑客
例题1．（2022·安徽·高一期中）设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ，所以 ， ，
与 异号．而已知 ，所以 ， ．
因为 ，所以取 ．
故选：C.
例题2．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）在 ABC中，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
因为在 ABC中， ，
两边平方得； ，即 ，
所以 ， ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
故选：D
例题3．（2022·重庆八中高一阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，等式两边同时平方，
得 ，即 ，
所以 ，
所以
.
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【详解】
，
令 ，所以 ，则，
所以 ，
所以原函数可化为 ， ，
对称轴为 ，
所以当 时， 取得最大值，
所以函数的最大值为 ，
即 的最大值为 ，
故选：C
题型归类练
1．（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高一阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：已知 ，
两边平方可得： ，
所以 ，
所以 ．
故选：D．
2．（2022·广东潮州·二模）已知 ， ，则 ______．
【答案】 ##1.4##
【详解】
，得 ，
，
因为 ，所以 ，故 ．
故答案为：
3．（2022·上海南汇中学高一阶段练习）已知 ，则 的值为_____．
【答案】 ##
【详解】
因 ，则 ，即 ，
而 ， ，于是有 ，
所以 .
故答案为：
4．（2022·上海市朱家角中学高一期中）已知 是第四象限角， ，求值：
(1) ．(2) ．
【答案】(1) (2)
(1)
由 ，可得 ，解得 ．
因为 是第四象限角，且 ，所以 ，可得 ，又由
，所以， .
(2)
由（1）知 ， ，
联立方程组，求得 ，所以
5．（2022·江西·南昌十中高一期中）已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两根．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) (2)(1)
因为 ， 是关于x的一元二次方程 的两根，
所以 ， ，且 ，
所以 ，
所以 ，得 ，满足 ，
所以 ，即
(2)
因为 ，
又因为 ，所以 ，所以
所以
6．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）已知 ， ，求 ．
【答案】
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则可得 ，
所以 .
7．（2022·北京市房山区房山中学高一阶段练习）已知 ， 是关于x的一元二次方程
的两根，
(1)求 的值；(2)求m的值；
(3)若 ，求 的值.
【答案】(1) (2) (3)
(1)
因为 ， 是关于x的一元二次方程 的两根，
所以
(2)
因为 ， 是关于x的一元二次方程 的两根，
所以 ， ，且 ，
所以 ，
所以 ，得 ，满足 ，
所以
(3)
由（2）可得 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
8．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知 ， ．
(1)当 且x是第四象限角时，求 的值；
(2)若关于x的方程 有实数根，求a的最小值．
【答案】(1) (2)1
(1)
，即 ，则 ，即 ，所以 ．
因为x是第四像限角，所以 ，所以 ，
所以 ．
(2)
由 ，可得 ，
则方程 可化为 ， ．
①当 时， ，显然方程无解；
②当 时，方程 等价于 ．
又 （当且仅当 时取“=”），所以要使得关于x的方程 有
实数根，则 ．故a的最小值是1．
高频考点二：商数关系（ 与分式或多项式求值）
角度1：弦切互化
例题1．（2022·广西南宁·二模（文））若 是钝角且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 是钝角，所以 ．则 ．
故选：A.
例题2．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）已知 ， ，则 ___________.
【答案】
【详解】
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，则 .
故答案为： .
角度1题型归类练
1．（2022·北京房山·二模）已知 是第一象限角，且角 的终边关于y轴对称，则
( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵ 是第一象限角，∴ ， ，
∵角 的终边关于y轴对称，∴ ．
故选：D．
2．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由 ，得 ，结合 可得 ，
因为 ，所以 .
故选：B
3．（2022·北京市第十九中学高一期中）若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为 且 ，所以 ，所以 ；
故选：A
角度2：正余弦齐次式问题
例题1．（2022·云南德宏·高三期末（理））已知 ，则 =（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】
因为
，解得 .
故选：A.
例题2．（2022·河北·高三阶段练习）已知角 的终边落在直线 上，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由角 的终边落在直线 上可得， ，
且 ，
故选：C
例题3．（2022·上海财经大学附属北郊高级中学高一阶段练习）已知 ．求
(1) 的值；
(2) 的值．
【答案】(1) ；(2) .
(1)∵tan α＝2，
∴原式= ；
(2)原式 .角度2题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）若一次函数 所表示直线的倾斜角为 ，则 的值为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
的斜率为 即
故选：D．
2．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】
故选：B
3．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为
故
故选:C.
4．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）若 ， 且 ， 则
_______．【答案】 ##-0.2
【详解】
由 得 ，故 ，
所以 ，解得 ，或 .
因为 ，所以 ，
所以
.
故答案为：
5．（2022·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）已知 ，则 __________
【答案】11
【详解】
对原式 分子分母同时除以 ，
则 .
故答案为：
6．（2022·河南信阳·高一期中）已知 ，则 ___________．
【答案】 ##
【详解】
因为 ，若 ，则 ，与 不符，矛盾，
所以， ，所以， ，
因此， .
故答案为： .
7．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）已知 ，求 的值．
【答案】0因为 ，所以 .
高频考点三：诱导公式的应用
例题1．（2022·河南焦作·高一期中）已知 是第四象限角，且 的终边在直线 上．
(1)求 ， 和 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ； ； ．(2)
(1)因为点 在直线 上，且位于第四象限，
所以点 在 的终边上．
所以 ；
；
．
(2)原式
例题2．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知角 终边上一点 ， ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)3(2)
(1)∵ ，且 终边过点 ，
∴ ，
解得 或 （舍）．
所以 ．(2)
又 ， ，
所以 .
题型归类练
1．（2022·首都师范大学附属中学高二期中）已知 为锐角，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 为锐角，所以 ，
所以 ，
故选：A.
2．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））已知 ，则 （ ）
A．2 B．－2 C． D．
【答案】A
【详解】
由 ，
可得 ，所以 ．
故选：A
3．（2022·江西赣州·二模（文））已知角 终边上一点 ，则 （ ）A． B． C．3 D．5
【答案】C
【详解】
因为角 终边上一点 ，
所以 ，
又 ，
故选：C.
4．（2022·北京市第十九中学高一期中）若 为任意角，则满足 的一个 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
所以满足条件的一个 的值为2.
故选：B
5．（多选）（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）在 ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）
△
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】
对于A中，由 ，所以A正确；
对于B中由 ，所以B正确；
对于C中，由
，所以C正确；
对于D中，
，所以D错误．故选：ABC.
6．（2022·北京市西城外国语学校高一期中）已知 ， ，则 ________．
【答案】
【详解】
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 .
故答案为：
高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用
例题1．（2022·安徽黄山·二模（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由 得： ，即 ， ，
整理得 ，而 ，解得 ，
所以 .
故选：B
例题2．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一阶段练习）函数 的最大值为____．
【答案】 ##1.5
【详解】
由题意得： ，
令 ，则 ，
故 ，
当 时，函数取得最大值 ，
故函数 的最大值为 ，故答案为：
例题3．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知角 的终边与单位圆
（半径为1的圆）的交点为 ，将角 的终边按逆时针方向旋转 后得到角 的终边，记 的
终边与单位圆的交点为Q．
(1)若 ， ，求角 的值；
(2)若 ，求tan 的值．
【答案】(1) (2)
(1)解：当 时，即角 的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为 ，
根据三角函数的定义可得 ，
因为 ，所以 ，
(2)解：因为 ，所以 ，
即 ①，平方得 ，且 ，
因为 ，所以 ，
则 ②，
由①②得 ，则 .
题型归类练
1．（2022·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为
“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角 为
直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积 与大正方形面积 之比为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图所示，由图中小正方形的面积 与大正方形面积 之比为 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
2．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知 ，则 ___________.
【答案】
【详解】
由 得 ，又 ，所以 ，或 舍去，
又 ，所以 ，
因此 ，
故答案为：
3．（2022·广东汕头·高一期末）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)求函数 在R上的最小值；
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
因为 ，所以 即 ．
此时 ，
由 ．
(2)
令 ， ，则 ，对称轴为
① ，即 ， ．
② ，即 ， ．
③ ，即 ， ．综上可知，
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（文））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
3．（2020·全国·高考真题（理））已知 ，且 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A.
第五部分：第 02 讲 同角三角函数的基本关系及诱导
公式（精练）
一、单选题
1．（2022·安徽马鞍山·三模（文））若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ，所以
因为 ，所以
所以 .
故选：D
2．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知角 终边上一点 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵角 终边上一点 ，则
∴
故选：C．
3．（2022·北京市房山区房山中学高一阶段练习）已知 ，且 ，则 的值等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ，所以 ，
①
又 ②
联立①②，解之得 ，
所以
故选：C
4．（2022·北京·人大附中高一期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，可得 ，即 ，故.
故选：D.
5．（2022·安徽蚌埠·三模（理））已知 ，则 的值为（ ）
A．3 B．-3 C． D．-1
【答案】A
【详解】
原式 .
故选：A
6．（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，则 ，
故
又 ，故
故选：A
7．（2022·湖北省罗田县第一中学高一阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】
．
故选：B．
8．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割
是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 称为
黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为 的等腰三角形，由此我们可得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：如图，在 中， ，点 为 中点，底与腰之比为黄金分割比，
所以 ， ，
所以
所以 .
故选：A
二、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则cos(π﹣x)=___________.
【答案】
【详解】
解：因为 ， ，
可得cosx=﹣ =﹣ ，
所以cos(π﹣x)=﹣cosx= .
故答案为： .
10．（2022·浙江·瑞安中学高二开学考试）已知 ， ，则 ______．【答案】
【详解】
由 ， ，所以 ，
又 ，解得 ，所以 .
故答案为：
11．（2022·浙江·东阳市横店高级中学高二阶段练习）已知 ，求
___________.
【答案】 ##
【详解】
因为 ，
所以 ，得 ，
所以
故答案为：
12．（2022·河北安新中学高一期末）函数 的最小值为______．
【答案】
【详解】
解：因为 ，
所以，当且仅当 时，等号成立．
故函数 的最小值为 .
故答案为：
三、解答题
13．（2022·河南南阳·高一期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上， 是角α
终边上一点，且 .
(1)求m的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)1(2)
(1)
,解得
(2)
,
=
=
14．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）（1）若 是第二象限角，且 ，求
的值；
（2）已知 ，化简 ，在（1）的条件下，求 的值.
【答案】（1） （2）【解析】
【详解】
（1） ， ， 是第二象限角，
，则 .
（2）
，由（1）知： ，则 .
15．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）求解下列问题：
(1)角 的终边经过点 ，且 ，求 的值．
(2)已知 ， ，求 的值．
【答案】(1) 或 (2)
【解析】
(1)
依题意 或 .
所以 或 ，
所以 或 .
(2)
由于 ，所以 ，
，
由于 ，所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ．
