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专题15 电磁感应中的棒轨模型
目录
模型一 单杆＋导轨模型
类型1 单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题
类型2 单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型
模型二 双杆＋导轨模型中的四类问题
模型一 单杆＋导轨模型
单杆＋导轨模型是由单杆、导轨、电阻或电容器、磁场一般为匀强磁场组成，从导轨的放置方式上
来分，可有水平导轨、竖直导轨、倾斜导轨三种类型，求解过程中要做好三个分析：电路分析、动力学分
析、能量分析，在计算感应电荷量时，还要用到动量定理知识，试题难度一般较大。
类型1 单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题
题型一(v≠0) 题型二(v＝0) 题型三(v＝0) 题型四(v
0 0 0
质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速 轨道水平光滑，杆 cd 质量为 倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd 竖直轨道光滑，杆
度v 在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间 m，电阻不计，两平行导轨间距 质量为m，电阻不计，两平行导 m，电阻不计，两平行导轨间距
0
距为L 为L，拉力F恒定 轨间距为L 为L
杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝ 开始时 a＝ ，杆 cd 速度 开始时 a＝gsin α，杆 cd 速度 开始时a＝g，杆
v↑ 感应电动势 E＝BLv↑ I↑ 应电动势E＝BLv
v↑ 感应电动势 E＝BLv↑ I↑
BLv，电流 I＝ ，安培力 F＝BIL＝
安培力F ＝BIL↑，由F－F ＝ 安 ⇒ 培力F 安 ＝BIL↑，由mgsi ⇒ n α－ ⇒ F 安 ＝BIL↑，由mg
⇒ 安 ⇒安⇒
。杆做减速运动：v↓ F↓ a↓，当v ma知a↓，当a＝0时，v最大，
F
安
＝ma知a↓，当a＝0时，v最 a↓，当 a＝0时，
＝0时，a＝0，杆保持静止
⇒ ⇒ v ＝ 大，v m ＝
m
F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为 重力做的功(或减少的重力势能
动能全部转化为内能：
能： 杆的动能，一部分转化为内能： 杆的动能，一部分转化为内能：
W ＝Q＋ mv 2 W ＝Q＋ mv 2
F m G m
类型2 单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型
题型一(v＝0) 题型二(v＝0) 题型三(v＝0) 题型四(v＝0)
0 0 0 0
轨道水平光滑，杆 cd 质量为 轨道水平光滑，杆 cd 质量为 轨道倾斜光滑，杆 cd 质量为 轨道竖直光滑，杆
说明
m，电阻不计，两平行导轨间距 m，电阻不计，两平行导轨间距 m，电阻不计，两平行导轨间距 质量为m，电阻为为L 为L，拉力F恒定 为L 两平行导轨间距为
示意图
开始时a＝g，杆cd
开始时 a＝gsin α，杆 cd 速度 度v↑ E＝BLv↑，经过
S 闭合，杆 cd 受安培力 F＝ 开始时 a＝ ，杆 cd 速度
v↑ E＝BLv↑，经过Δt速度为v Δt速度为v＋Δv，
v↑ E＝BLv↑，经过Δt速度为v ⇒
，a＝ ，杆cd速度 ＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝ ＋ ⇒ Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝ BL(v＋Δv)，Δq＝
⇒
v↑ 感应电动势E ＝BLv↑ I↓ － E) ＝ CBLΔv ，
感
力学观点 C(E′－E)＝CBLΔv，I＝ ＝
C(E′－E)＝CBLΔv，I＝ ＝
安培力F＝BIL↓ 加速度a↓，当
⇒ ⇒ ⇒
CBLa，F ＝CB2L2a，mgsin α－ ＝CBLa，F
CBLa，F ＝CB2L2a，F－F ＝ 安
E ＝E 时，v 最大，且 v ＝ 安 安
感 ⇒ max
CB2L2a，mg－F
F ＝ma，a＝ ，所
ma，a＝ ，所以杆做 安
以杆做匀加速运动 ma，a＝
匀加速运动
所以杆做匀加速运动
图像观点
电源输出的电能转化为动能： F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场 重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能： 重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：
能：W ＝ mv2＋E W ＝ mv2＋E W ＝ mv2＋
F C G C G
模型二 双杆＋导轨模型中的四类问题
双杆＋导轨模型是由双杆和导轨、匀强磁场组成，其中导轨有光滑和不光滑两种情况，两杆各自运动范围
内导轨的宽度有相等和不相等两种情况，两杆可能有初速度，也可能受外力作用，总之，试题情景多样，
过程复杂，难度较大。
题型二(光滑不等距导轨) 题型三(光滑的平行导轨)
导体棒长度L＝L
导体棒长度L＝2L，两棒只在各自的轨道上运动 1 2
1 2
棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定
开始时，两棒做变加速运动；稳定时，两棒以相同的加速度做匀加速运动
时，两棒的加速度均为零，速度之比为1 2
∶
两棒组成的系统动量不守恒 两棒组成的系统动量不守恒
对单棒可以用动量定理 对单棒可以用动量定理
系统动能的减少量等于产生的焦耳热 拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能
(摩擦热和焦耳热)：W＝
(焦耳热)：W＝Q＋E ＋
k1
Q＋Q＋E ＋E
1 2 k1 k2
E
k2
【模型演练1】（2024上·广东·高三广东华侨中学校联考期末）如图甲所示，光滑的金属导轨 和
平行，间距 ，与水平面之间的夹角 ，匀强磁场磁感应强度 ，
方向垂直于导轨平面向上， 间接有阻值 的电阻，质量 ，电阻
的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由
静止开始运动，当金属棒上滑的位移 时达到稳定状态，对应过程的 图像如图乙所示。
取 ，导轨足够长（ ， ）。求：
（1） 末金属棒两端的电势差 ；
（2）恒力F的大小；
（3）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程中R产生的焦耳热 ；
（4）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态过程，通过金属棒ab横截面的电荷量q和所用的时间t。
【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，
两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于
MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。
（1）如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道
做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。
（2）如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体
棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm ，求此时电源的输出功率。
（3）如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始
向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1 时刻电容器两极板间的电势差为
U1. 求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。
（4）若图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出
导体棒的速度大小随时间变化的关系式。【模型演练3】．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、
PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体
棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为 =0.3，运动过程中导体棒
与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2 ，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦
力。
（1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得 =2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和
b的加速度大小；
（2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度 =2m/s的同时，
导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度 =4m/s，求流经导体棒a的最大电流；
（3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为
0.25J，求此过程中导体棒b的位移。
一、单选题
1．（2024上·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）如图所示，用金属制成的平行导轨由水平和弧形两部分
组成，水平导轨窄轨部分间距为 ，有竖直向上的匀强磁场，宽轨部分间距为 ，有竖直向下的
匀强磁场；窄轨和宽轨部分磁场的磁感应强度大小分别为 和 ，质量均为 金属棒
垂直于导轨静止放置。现将金属棒 自弧形导轨上距水平导轨 高度处静止释放，两金
属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为 ，其余电阻不
计，宽轨和窄轨都足够长， 棒始终在窄轨磁场中运动， 棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速
度为 ，不计一切摩擦。下列说法不正确的是（ ）A． 棒刚进入磁场时， 棒的加速度方向水平向左
B．从 棒进入磁场到两棒达到稳定过程， 棒和 棒组成的系统动量守恒
C．从 棒进入磁场到两棒达到稳定过程，通过 棒的电量为
D．从 棒进入磁场到两棒达到稳定过程， 棒上产生的焦耳热为
2．（2024上·山西朔州·高三统考期末）光滑导轨固定于水平面上，导轨宽度为 ，导轨处于垂
直水平面竖直向下的匀强磁场中，俯视图如图1所示，质量为 的金属棒置于导轨上，金属棒在外
力作用下由静止开始运动，已知外力随金属棒速度变化规律如图2所示，导轨左端连接阻值为
的电阻，其余电阻不计，则关于金属棒运动过程下列说法正确的是（ ）
A．金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B． 内通过电阻R的电量为
C．磁感应强度大小为
D． 内外力的冲量大小为
3．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根
足够长的平行光滑金属轨道 MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒 ab垂直于
MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源，并联电阻的
阻值为 R。不计轨道和导体棒的电阻，闭合开关S 后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动， 则下列
判断正确的是（ ）
A．速率
B．从 秒电源消耗的电能
C．t秒后通过电阻R的电流为零D．t秒末导体棒 ab两端的电压为E
二、多选题
4．（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）如图，空间中存在磁感应强度大小为B、方
向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场中水平放置两根足够长的光滑金属导轨，导轨间距为d。一质量为m，
电阻不计的导体棒MN垂直横跨在导轨上，与导轨接触良好。导轨一端分别与电源、电容器和定值电阻通
过开关连接，电源的电动势为E，内阻不计，电容器电容为C，定值电阻为R。首先将开关S2 与d接通，
待电路稳
定后再将开关S1 与b点相接、开关S2 与c点相接，当导体棒匀速时，将开关S2 与c点断开、开关S1 与a接
通，导体棒运动一段距离后速度为零。下列说法正确的是（ ）
A．导体棒匀速时速度
B．当S1 与a刚接通瞬间导体棒的加速度
C．从S1 与a接通至导体棒速度为零用时
D．若导体棒匀速运动时速度为v，S1 与a接通后导体棒位移
5．（2024·云南昭通·统考模拟预测）如图甲所示，一电阻不计且足够长的固定光滑平行金属导轨
间距 ，其下端接有阻值 的电阻，导轨平面与水平面间的夹角
，整个装置处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。一质量 、阻值
的金属棒垂直导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量 的重物相连，左端细线连
接金属棒的中点且沿 方向。金属棒由静止释放后，在重物 的作用下，沿 方向的位移
与时间 之间的关系如图乙所示，其中 为直线。已知在 内通过金属棒的电荷
量是0.9~1.2s内通过金属棒的电荷量的2倍，重力加速度取 ，金属棒与导轨始终接触良
好，下列说法中正确的是（ ）A．通过金属棒的电荷量 与金属棒的位移 的关系为
B． 内金属棒运动的位移大小为
C．磁感应强度的大小为
D． 内整个回路产生的热量为
6．（2024上·山东日照·高三日照一中校联考期末）如图所示，两根间距为L的平行光滑的金属导轨MN
和PQ水平放置，导轨电阻不计，水平导轨右端接有电阻R，水平导轨所在区域有宽度为d的匀强磁场区
域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小分别为B和 ，Ⅰ区域磁场方向竖直向上，Ⅱ区域磁场方向竖直向下。一
根质量为m的金属棒ab与导轨垂直放置，接入电路的电阻为R，C、D两点为磁场区域Ⅱ两侧导轨的中
点， 时刻，给金属棒ab一水平向右的初速度，ab棒穿出磁场区域Ⅰ时的速度为进入磁场Ⅰ时速
度的一半。已知金属棒ab始终与金属导轨垂直，下列判断正确的是（ ）
A． 时刻，金属棒ab的初速度
B．金属棒ab到达磁场区域Ⅱ的中点CD时速度为
C．ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中通过金属棒的电荷量为
D．ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中电阻R上产生的焦耳热为
7．（2024·湖南邵阳·统考一模）如图所示，竖直放置的固定光滑“ ”形导轨宽为L，矩形匀强磁
场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的
速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g。金属杆（
）
A．刚进入磁场Ⅰ时加速度大小大于g
B．穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间无磁场区的运动时间
C．穿过两磁场产生的总热量为D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度
8．（2024上·山东潍坊·高三统考期末）如图甲所示，粗细均匀的无限长平行导轨固定在倾角
的斜面上，在边界EF下方区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场B，有两根相同金属棒ab、cd分别从磁
场边界EF上方 位置和边界EF位置同时由静止释放，cd棒运动的 图像如图乙所示，
其中OM、NP段为曲线，其他段为直线。已知磁感应强度 ，导轨间距 ，金属棒与
导轨间的动摩擦因数 ，导体棒的质量均为 ，导体棒电阻均为 ，导轨电阻
不计，g取 。则下列说法正确的是（ ）
A．0~2s内通过导体棒ab的电荷量为
B．ab棒刚进入磁场时ab两端的电压为16V
C．0~2s内导体棒cd产生的焦耳热为
D．ab、cd棒之间的最小距离为
9．（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图所示，间距 的平行光滑金
属导轨 、 固定在水平面内，垂直于导轨的虚线 的左、右两侧存在垂直于导轨平面
向下的匀强磁场，磁感应强度大小分别为 、 。质量 、阻值
的金属棒 静止在虚线 左侧足够远的位置，质量 、阻值
的金属棒 静止在虚线 的右侧。0时刻，金属棒 以初速度 、
金属棒 以初速度 沿导轨运动， 时刻，金属棒 达到最大速度 。已知
、 两棒的长度均为 ，且始终与导轨垂直并接触良好，导轨电阻不计。则在 、
棒的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．通过金属棒 的最大电流为B．金属棒 的最大速度
C． 时间内通过金属棒 的电荷量为
D． 时间内金属棒 上产生的焦耳热为
10．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）如图所示，水平面上固定有形状为“ ”的光滑金属导轨
MON、PO'Q，OO'左右导轨的宽度分别为2L、L，两侧匀强磁场的方向分别竖直向上和竖直向下，磁感应
强度大小分别为B0 和2B0 ，导体棒a、b垂直于导轨放在OO'两侧，长度分别为2L、L。已知导体棒的材料
相同、横截面积相同，导体棒b的质量为m，两导体棒与导轨接触良好，不计导轨电阻。使导体棒b获得
水平向右的初速度 ，直到导体棒b达到稳定状态的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．导体棒b克服安培力做功等于其产生的焦耳热
B．导体棒a上产生的焦耳热为
C．导体棒a、b最终以相同的速度 做匀速直线运动
D．通过a棒的电荷量为
11．（2024上·全国·高三统考阶段练习）如图所示，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌
面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止
于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导体棒接入电路的有效长度为l，导轨电阻和电容器极板的电阻忽
略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。开始时，电容器所带的电荷
量为Q，合上开关S后，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒MN所受安培力的最大值为
B．导体棒MN最终向右匀速运动，且速度为
C．导体棒MN速度最大时，电阻R两端的电压为0
D．开始时电容器中储存的电能全部转化为焦耳热和导体棒的动能
12．（2023·辽宁沈阳·统考二模）如图所示，两条足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，电阻不计，导轨最右端接有阻值为R的定值电阻。整个装置处于两种磁感应强度大小均为B、方向
竖直且相反的匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线。质量均为m的两根导体棒MN、PQ静止于导轨上，
两导体棒接入电路的电阻均为R，与导轨间的动摩擦因数均为 （设导体棒的最大静摩擦力等于滑动
摩擦力）。 时刻，用水平向左的恒力F拉MN棒，使其由静止开始运动， 时刻，PQ刚好要滑
动。该过程中，两棒始终与导轨垂直且接触良好，通过金属棒PQ的电荷量为q，重力加速度为g。下列说
法正确的是（ ）
A． 时刻，金属棒PQ受到的安培力方向水平向右
B． 时刻，金属棒MN速度大小为
C．从 到 时间内，金属棒MN在导轨上运动的距离为
D．从 到 时间内，金属棒MN产生的焦耳热为
13．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）如图所示，足够长且电阻不计的平行光滑金属导轨
MN、OP倾斜固定，与水平面夹角为 ，导轨间距为L，O、M间接有阻值为R的电阻。质量为
m的金属杆CD垂直于导轨放置，与金属导轨形成闭合电路，其接入电路部分的电阻也为R，整个装置处
在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。开始时电键S断开，由静止释放金属杆，当
金属杆运动一段时间
后闭合电键S，闭合瞬间金属杆的速度大小为 ，加速度大小为 、方向沿导轨向上。自闭合电
键到金属杆加速度刚为零的过程，通过电阻R的电荷量为q，电阻R上产生的焦耳热为Q。金属杆运动过
程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。则（ ）
A． B． C．
D．
14．（2024·广东肇庆·统考二模）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。有
两根完全相同的金属棒a和b垂直静置于足够长的水平光滑平行金属导轨上，导轨间距为L、电阻不计，
金属棒与导轨接触良好，两根金属棒的质量均为m、长度均为L、电阻均为R。将b固定在导轨上，某时刻给a施加一个水平向右的恒力F。下列说法正确的是（ ）
A．a棒所受的安培力先增大后减小
B．a棒的最大速度为
C．若解除b的固定，则稳定后两棒的速度相等
D．若解除b的固定，则稳定后两棒的加速度相等
15．（2024上·山东德州·高三统考期末）如图所示，导体棒a、b放置在足够长的光滑平行金属导轨上，
导轨左右两部分的间距分别为l， ，导体棒a、b的质量为m和 ，接入电路的电阻分别为R
和 ，其余部分电阻均忽略不计。导体棒a、b均处于方向竖直向上的匀强磁场中，感应强度大小为
B，a，b两导体棒均以 的初速度同时水平向右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持
良好接触，导体棒a始终在窄轨上运动，导体棒b始终在宽轨上运动，直到两导体棒达到稳定状态。下列
说法正确的是（ ）
A．开始导体棒a中的电流为Q→P
B．导体棒中的最大电流为
C．稳定时导体棒a的速度为
D．从开始至稳定状态，电路中产生的焦耳热为
三、解答题
16．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距l = 1m，其
电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。杆1、杆2是两根用细线连接的金属杆，质量分
别为m1 = 0.1kg和m2 = 0.4kg，两杆垂直导轨放置，且两端始终与导轨接触良好，两杆的总电阻R = 2Ω，
两杆在沿导轨向上的外力F作用下保持静止。整个装置处在磁感应强度B = 1T的匀强磁场中，磁场方向
与导轨所在平面垂直，在t = 0时刻将细线烧断，保持F不变，重力加速度g取10m/s2 ，求：
（1）细线烧断后，两杆最大速度v1 、v2 的大小；
（2）两杆刚达到最大速度时，杆1上滑了0.8m，则从t = 0时刻起到此刻用了多长时间？17．（2024·山西晋城·统考一模）如图所示，MN、PQ和JK、ST为倾角皆为θ的足够长的金属导轨，都
处在垂直于导轨所在平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，JK与ST平行，相距3L，MN与PQ
平行，相距2L。质量分别为3m、2m的金属杆a和b垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直
于导轨并与导轨保持光滑接触，a杆和b杆在构成回路中的总电阻为R，导轨足够长且导轨的电阻不计，
重力加速度大小为g。
（1）若a杆固定，由静止释放b杆，求b杆的最大速度；
（2）若同时释放a、b杆，求a杆匀速下滑时的速度大小。
18．（2024上·山西太原·高三统考期末）如图所示，两条电阻不计的平行光滑金属导轨固定在同一水平面
内，间距为 。甲、乙两根金属棒垂直导轨放置，与导轨接触良好，整个装置处于竖直向上磁感应强
度为 的匀强磁场中。锁定乙棒，对甲施加水平向右的恒力 ， 作用时间 后甲获得速
度 ，立即撤去拉力 ，同时解锁乙棒。甲、乙的质量分别为 和 ，接入电路中的电
阻均为 ，金属轨道足够长且甲、乙两棒始终未发生碰撞。求：
（1）撤去外力瞬间，金属棒甲、乙加速度的大小；
（2） 作用的时间 内，通过乙棒的电荷量；
（3）撤去拉力 后，直到甲、乙之间的距离不再变化，这一过程中，甲棒中产生的热量以及甲、乙
运动的位移差。
19．（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考阶段练习）半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定
在同一水平面上，一长为r，质量为m且质量分布均匀的直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过
圆导轨的中心O，装置的俯视图如图所示；整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖
直向下；在内圆导轨的C点和外圆导轨的D点之间接有一阻值为R的电阻（图中未画出）。直导体棒在
水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒电阻和导轨的电阻均可忽略，重力加速度大小为g。
（1）通过法拉第电磁感应定律推导导体棒中的感应电动势大小；
（2）通过电阻R的感应电流的方向和大小；
（3）外力的功率。
20．（2024上·天津·高三天津市宝坻区第一中学校联考期末）如图甲所示，竖直放置的足够长的光滑平行
金属导轨 相距 ，在 点和 点间接有一个阻值为 的电阻，在两导轨
间的矩形区域 内有垂直导轨平面向里、长度 为 的匀强磁场，磁感应强度为
。一质量为 、电阻为 的导体棒 垂直地搁在导轨上，与磁场的上边界相距
为 。现使 棒由静止开始释放，棒 在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒
与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平，导轨的电阻不计，重力加速度大小
）。
（1）求棒 离开磁场的下边界时的速度 的大小；
（2）求金属杆在磁场中运动所用的时间 ；
（3）定性的作出 棒开始下落后的 图像。
21．（2024·云南大理·统考二模）如图所示， 与 为水平放置的无限长平行金属导轨，
与 为倾角为 的平行金属导轨，两组导轨的间距均为 ，导轨电阻忽
略不计。质量为 、电阻为 的导体棒 置于倾斜导轨上，质量为
、电阻为 的导体棒 置于水平导轨上，轻质细绳跨过光滑滑轮一端与
的中点相连、另一端悬挂一轻质挂钩。导体棒 与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩
擦力等于滑动摩擦力。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为 。初始时刻，棒
在倾斜导轨上恰好不下滑。（ 取 ）
（1）求导体棒与导轨间的动摩擦因数 ；
（2）在轻质挂钧上挂上物体P，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒 同时由静止释放，当P的
质量不超过多大时， 始终处于静止状态。（导体棒 运动过程中， 一直与平行，且没有与滑轮相碰）；
（3）若P的质量为 时，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒 同时由静止释放，当
P下降 时 已经处于匀速直线运动状态，求这个过程中 上产生的焦耳热为多少（结
果保留两位小数）？
22．（2024上·湖北·高三校联考期末）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区
域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度 向
右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态，且到cd的距离为 。两杆在磁场内未相撞且N出磁场
时的速度为 ，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m，金
属杆N质量为m，两杆在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时M两端的电势差 ；
（2）N在磁场内运动过程中N上产生的热量；
（3）N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小；
（4）N在磁场内运动的时间t。
23．（2024·河南·统考一模）如图（a）所示，一个电阻不计的平行金属导轨，间距 ，左半部分
倾斜且粗糙，倾角 ，处于沿斜面向下的匀强磁场中；右半部分水平且光滑，导轨之间存在一个
三角形匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，其边界与两导轨夹角均为 。右半部分俯视图
如图（b）。导体棒
借助小立柱静置于倾斜导轨上，其与导轨的动摩擦因数 。导体棒 以
的速度向右进入三角形磁场区域时，撤去小立柱， 棒开始下滑，同时对 棒施
加一外力使其始终保持匀速运动。运动过程中，两棒始终垂直于导轨且接触良好。已知两磁场的磁感应强
度大小均为 ，两棒的质量均为 ， 棒电阻 ， 棒电阻不计。
重力加速度大小取 ，以 棒开始下滑为计时起点。求
（1）撤去小立柱时， 棒的加速度大小 ；
（2） 棒中电流随时间变化的关系式；（3） 棒达到的最大速度 及所用时间 。
24．（2024上·陕西安康·高三统考期末）如图所示，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于同一绝缘
水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根长度也为L的导体棒ab和cd，两根导体棒的质量
分别为m、 ，电阻分别为R、 ，构成矩形回路，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导
轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，cd棒静止，ab棒有大小为 、方
向指向cd棒的初速度，若两导体棒在运动过程中始终不接触。求：
（1）ab棒所受的最大安培力 ；
（2）从开始至cd棒稳定运动时，cd棒产生的焦耳热 ；
（3）当ab棒的速度变为初速度大小的 时，cd棒的加速度大小a。
25．（2024·安徽·统考一模）如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角 的斜面
上，其间
距 。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度 。两根金属棒 和
与导轨始终保持垂直且接触良好， 棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接
（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知 棒的质量为 棒和 棒接入电
路的电阻均为 ，导轨电阻不计。将 棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力
F，此时拉力传感器开始测量细线拉力 ，作出力 随时间t的变化图像如图乙所示（力
大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取 。求：
（1） 时，金属棒 的速度大小；
（2） 时，外力F的大小；
（3）已知金属棒 在 的时间内产生的热量为 ，求这段时间外力F所做的功。26．（2024上·山东淄博·高三统考期末）新一代航母拦阻系统采用了电磁阻拦技术，其工作原理如图所
示，两根电阻不计的平行金属轨道 固定在水平面内，间距为 ，两轨道之间存在垂直轨
道向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，两轨道左端点 间接有阻值为 的电阻，一个
长度也为 、阻值为 的导体棒 垂直于 放在轨道上。质量为 的飞机水
平着舰钩住导体棒 上的绝缘绳（导体棒 和绝缘绳的质量均忽略不计），同时关闭动力系
统，飞机与导体棒、绝缘绳瞬间达到共同速度 ，在第一次试降测试中，两轨道之间未施加磁场，它
们受到恒定阻力，飞机从着舰到停止滑行的距离为 ，在第二次试降测试中，两轨道之间施加磁场，
导体棒 与轨道始终接触良好且垂直于轨道，飞机从着舰经时间 停在甲板上，除受到安培力
外，还受到与第一次试降相同的恒定阻力作用。取重力加速度为 。求飞机在第二次测试中，
（1）导体棒所受安培力的最大值 ；
（2）从着舰到停止滑行的距离 。
27．（2023上·天津和平·高三统考期末）如图甲所示，质量为m，足够长的“ ”形光滑金属框放
在光滑绝缘水平面上，金属框两平行边间距为d，处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，金
属棒ab垂直放在金属框两平行边上，用绝缘细线将棒ab固定，开始时细线水平伸直且无张力，给金属框
施加一个水平向右的牵引力，使金属框由静止开始运动。不计金属框的电阻，金属棒ab始终与金属框两
平行边垂直且接触良好，金属棒接入电路的电阻为R，求：
（1）若金属框做加速度为a的匀加速直线运动，以开始运动为计时起点， 时刻绝缘细线上的拉
力T和牵引力F的大小；
（2）若从金属框开始运动保持牵引力的功率为P不变，经过时间 金属框达到最大速度，求此过程
中回路产生的焦耳热。
