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专题18.38 平行四边形题型分类专题（坐标问题）（分层练习）
一、单选题
1．如图，平面直角坐标系中，点A，C两点的坐标分别为 ， ，若四边形是平行四边形，则
点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形 为菱形，已知 ．则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直角坐标系中， 的顶点O和B的坐标分别是 ， ，且 ，
，则顶点A关于x轴的对称点的坐标是（ ）A． B． C． D．
4．如图，在矩形 中，点 的坐标是 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 绕点 顺时针旋转 后得到正方形
，依此方式，绕点 连续旋转2022次得到正方形 ，那么点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形 为长方形，点 在 轴上，点 在 轴上， 点的坐标为 ，将 沿翻折，点 的对应点为点 ， 交 于点 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形 为平行四边形，点 坐标为 ，点 坐标为 ， 为 上一点，将
点 移动到 上，则移动的最短距离为（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，已知 的顶点 ， ，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶
点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 的长
为半径画弧，两弧交于点M，作射线 交 于点G．则点G的坐标为（ ）A． B． C． D．
9．如图，在正方形 中，点 的坐标是 ，点 分别在边 上， ，若
平分 ．则 点的横坐标是（ ）
A．2 B．3 C． D．
10．在平面直角坐标系 中，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持 ，以 为边向
右上方作正方形 交于点P，连接 ．下列结论：（1）直线 的函数表达式为 ；
（2） 的取值范围是 ；（3）若 ，则B点的坐标为 ，（4）连接 ，
则 的最大值为 ．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为2，点A在第一象限，点 在 轴正半轴
上， ，若将菱形 绕点 顺时针旋转 ，得到四边形 ，则点 的对应点 的坐
标为（ ）A． B． C． D．
12．如图1所示，正方形 中，点E是边的中点，动点P从点A出发，在正方形的边上沿
A→B→E的路线匀速运动到点E停止，设点P的运动路程为x， ，图2是点P运动时y随x变
化关系的图像，根据图中的数据，可知点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，以菱形 的顶点O为原点，对角线 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若
，点C的坐标为 ，则点A的坐标为 ．14．如图，正方形 的顶点B，C在x轴上，点D的坐标为 ，则点A的坐标为 ．
15．如图，直角坐标系中，正方形 的顶点A与原点O重合，点B在x轴的正半轴上，点D在y
轴的正半轴上，在边 的上侧作等腰三角形 ，使 ，连接AE，过点D作 的垂线，垂足
为G，交 的延长线于点F，连接 ．若点D的坐标为 ， 的长度为2，则点E的坐标为
．
16．如图，弹性小球从点 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹
时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为 ，第2次碰到矩形的边时的点为 ，…，第
次碰到矩形的边时的点为 ，则点 的坐标是 ．17．如图，正方形 中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线 ， 交
于点D，作以下操作：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ， 于点E，F两点；
②分别以E、F为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线 ，交 于点M，交 于点N．
若点N的坐标为 ，则点M的坐标为 ．
18．在平面直角坐标系中，O为原点， 是矩形，点A，C的坐标分别是 ， ，点
D是对角线 上一动点（不与A，C重合），连接 ，作 ，交x轴于点E，以线段 ， 为
邻边作矩形 ．当 是等腰三角形时，
19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形， 、 、 ．规定
“把平行四边形ABCD先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2017次变换后，平行四边形 的顶点D的坐标变为 ．
20．如果点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，则线段 中点坐标为 ．
这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，
在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点B的坐标为 ，四边形 是菱形，D的坐标为
．若直线l把矩形 和菱形 组成的图形的面积分成相等的两部分，且直线l平分矩形
的面积和菱形 的面积，则直线l的解析式为 ．
21．已知，如图点 ， ， 轴，垂足为 ，点 为线段 上一动点， 为 中点，
为 中点， 为 中点，当 周长最小时，点 坐标为 ．22．如图，在平面直角坐标系中， ， 为 轴上一动点，连接 并延长至点 ，使 ，
取 轴负半轴上一点 ，使得 ，以 ， 为边作 ．
（ ）点 的坐标为 ．
（ ）设点 坐标为 ，则点 的坐标为 （用含 的代数式表示），连接 ，则 长度
的取值范围为 ．
23．如图， 是等腰直角三角形， ，直角顶点 在 轴上，一锐角顶点 在 轴上，
的坐标是 ，点 的坐标是 ，其中 ，若 轴恰好平分 ， 与 轴交于点 ，过
点 作 轴于 ，则 ．
24．如图，在△ABC中， ， ， 于点 ， 于点 ， 是 的中点．
以 为原点， 所在直线为 轴，构造平面直角坐标系，则OD的长度为 ，点 的坐标为
．三、解答题
25．已知在平面直角坐标系中，
（1）当 满足什么关系时，四边形 为菱形?请说明理由：
（2）若四边形 为正方形，且面积为8，求 四个顶点的坐标．
26．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，长方形 ， ， ．在 上取一点 ，沿 折叠，点
恰好落在 上的点 处．
（1）点 的坐标为___________．
（2）求点 的坐标；
（3）若点 是平面内一点，是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，若
存在，直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．27．如图1，在平面直角坐标系中， 轴于 轴于 ，连接 ．
（1）下列线段的长度分别为： ______， ______， ______；
（2）如图2折叠 ，使点 与点 重合，折痕 交 于 ，交 于 ．
①求点 的坐标；
②在 轴上，是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
28．如图1，在平面直角坐标系中，点B的坐标是 ，动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，是以 为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列）．
（1）当点A与点O重合时，得到等腰直角 （此时点P与点C重合），则 ______．当
时，点P的坐标是______；
（2）设动点A的坐标为 ．
①点A在移动过程中，作 轴于M， 于N，求证：四边形 是正方形；
②用含t的代数式表示点P的坐标为：（______，______）；
（3）在上述条件中，过点A作y轴的平行线交 的延长线于点Q，如图2，是否存在这样的点A，
使得 的面积是 的面积的3倍？若存在，请求出A的坐标，若不存在，请说明理由．
29．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，在 轴的负半轴上取点 ，在 轴的正半轴上
取点 ， 为原点， ．
（1）求m的值；
（2）动点 由点 出发沿 向点 运动，同时点 由点 出发，以与点 相同的速度沿射线 方
向运动，当点 到达点 时，两点运动同时停止，连接 交 轴于点 ，作 轴于点 ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，以 为底边，在 轴的上方作等腰直角三角形，即 ， ，
若 的面积等于8，求点 的坐标．30．如图，在平面直角坐标系中，A点在第二象限、坐标为 ．
（1）若关于 的多项式 是完全平方式，直接写出点A的坐标：________；
（2）如图1， 为等腰直角三角形．分别以 和 为边作等边 和等边 ，连接 ，
；
①若 ，求 的长；
②求 的度数．
（3）如图2，过点A作 轴于点 ，点 为 轴正半轴上一点， 为 延长线上一点，以
为直角边作等腰直角三角形 ， ，过点A作 轴交 于点 ，连接 ．试猜
想线段 ， 和 的数量关系，并证明你的猜想．参考答案：
1．C
【分析】本题考查坐标与图形及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，属于中考
常考题型．利用平行四边形的性质解决问题．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点A，C两点的坐标分别为 ， ，
点 向右平移5个单位，向上平移2个单位得到点 ，
∴点 向右平移5个单位，向上平移2个单位得到点 ，
，
故选：C
2．C
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．先根据点 和点 的坐标得出 ， ，再根据
勾股定理求出 ，最后根据菱形的性质得出 ，即可解答．
解：∵ ．
∴ ， ，∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∵C点在第三象限，
∴ ．
故选：C．
3．D
【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，根据等腰直角三角形的性质得出 的长是解题关
键．过A作 于D，根据等腰直角三角形的性质得出 的长，进而利用关于x轴的对称点的坐标
特点解答即可．
解：过A作 于D，如图所示：
， ，
，
点A的坐标为 ，
顶点A关于x轴的对称点的坐标 ，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接 ，
根据勾股定理求得 ，然后根据矩形的性质得出 ．
解：连接 ，四边形 是矩形，
，
点 的坐标是 ，
，
，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题、正方形的性质，根据正方形的性质得 ，根据题意
找出规律为旋转8次为一个周期，进而可求解，根据题意，找出规律是解题的关键．
解： 正方形 的边长为1，
，
由题意得：
， ， ， ， ， ， ，
， ，
旋转8次为一个周期，
，
点 的坐标为： ，
故选D．6．B
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、等角对等边，由点 的坐标得出 ， ，由折
叠的性质与长方形的性质可得： ， ， ， ，
从而得出 ，由等角对等边得出 ，再由勾股定理进行计算即可
得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解： 点的坐标为 ，
， ，
由折叠的性质与长方形的性质可得： ， ， ，
，
，
，
，
，
解得： ，
故选：B．
7．D
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设点 移动到 上，移动的最短
距离为 ，先由勾股定理得 ，再由平行四边形的性质得 ， ，
从而证明 ，进而利用面积法即可求得 的值，从而问题得解．
解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设点 移动到 上，移动的最短距离
为 ，∵点 坐标为 ，点 坐标为 ，
∴ ， ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故选D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握
平行四边形的性质，全等三角形的判定及勾股定理是解题的关键．
8．C
【分析】由平行四边形的性质可得 ， ， ，由勾股定理可得 的长，由平行线
的性质和角平分线的性质可得 ，即可求解．
解：由题意可得： 平分 ，
∵ 的顶点 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴点 ，
故选：C．
【点拨】本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、勾股定理、
坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
9．B
【分析】过点 作 于点 ，结合点 和正方形的性质可得 ，
，在 中，由勾股定理解得 的值，进而确定 得值；再根据角平分线的性
质可得 ，进而证明 ， ，由全等三角形的性质可得 ，
，设 ，则 ， ， ，然后根据
，解得 的值，易得 ，即可确定 点的横坐标．
解：如下图，过点 作 于点 ，
∵四边形 为正方形，点 的坐标是 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵ ， ， 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ 点的横坐标是3．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性
质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
10．B
【分析】作 轴， 轴，易证 ，可得 ，可判断①；当
时， ，则 ，则 ，（当 时同理可得：
），可判断②；取 的中点 ，连接 ， ， ， ，则 ， ，可得
， ，可得： ，当 ， ， 在同一直线上时取等，由
， ，可得 ，（当 时同理可得： ），可判断③；由三
角形三边关系可得： ，当 ， ， 在同一直线上时取等，可判断④．
解：作 轴， 轴，则四边形 是矩形，∴ ，
∵四边形 是正方形， ，
∴ 与 互相垂直且平分， ，
则 ， ，
，
，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， （当 时同理）
由题意可知，点 在第一象限，设 ，
设直线 的函数解析式为： ，
代入可得： ，
可得 ，
即直线 的函数表达式为 ，故①正确；
∵ ， 轴， 轴，
∴四边形 是正方形，则 ，
当 时， ，
则 ，
则 ，（当 时同理可得： ）
∴当 时，B点的坐标为 或 ，故③错误；取 的中点 ，连接 ， ， ， ，
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
由三角形三边关系可得： ，当 ， ， 在同一直线上时取相等，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，（当 时同理可得： ）
则 ，故②错误；
由三角形三边关系可得： ，当 ， ， 在同一直线上时取相等，
∴ 的最大值为 ，
故④正确；
综上：正确的有①④，共2个；
故选：B．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系，直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
11．A
【分析】如图：作 轴于H点，连接 ，根据菱形的性质得到 ，再根据旋转
的性质得 ，则 ，所以 为等腰直角三角
形，根据等腰直角三角形性质可计算得 ，然后根据第四象限内点的坐标特征写出 点的坐
标．
解：如图：作 .轴于H点，连接 ，作 轴于D点，
∵四边形 为菱形，
∴ 平分 ，∴ =30°，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵菱形 绕原点O顺时针旋转 至第四象限 的位置，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质、坐标与图形变化-旋转等知识点，灵
活运用相关性质是解题的关键．
12．C
【分析】利用 开始为0，到最大值为 ，也就是P到达B点时，即 ,从
而求得边长 ，由点E是边的中点可知 ,即当点P在点E时，点P的运动路程为 ，，再由勾股定理可求得 ,最后求得y即可解答
解：根据图2可知，
当点P到A点时， ，
当点P到B点时， ， ，即 则
当点P到E点时，点P的运动路程为 , ，由勾股定理可得
,则
所以点Q的坐标为
故选：C．
【点拨】本题主要考查了正方形中的动点问题，找到图中的关键点及对应的关键数是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的对角线互
相垂直平分的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
连接 ，交 于 ，根据菱形的对角线互相垂直平分求出 ， ，再根据菱形的
每一条边都相等求出 ，然后利用勾股定理列式求出 的长，再根据点A在第一象限解答．
解：如图，连接 ，交 于 ，
∵点 ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的性质和坐标与图形性质得到 ，进而可
求解．
解：∵正方形 的顶点B，C在x轴上，点D的坐标为 ，
∴ ，
∴点A的横坐标为： ，纵坐标为5，
故答案为： ．
15．
【分析】利用点D的坐标得到正方形的边长，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理得到
为等腰直角三角形，连接 ，过点E作 于点H，利用正方形的性质和勾股定理求得线段
的长度，设 则 ，利用股定理得到关于的方程，解方程求得x值，再利用点的坐标
的特征解答即可．
解：点D的坐标为 ，
∴ ，由题意得： ，
∵
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
连接 ，过点E作 于点H，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴E点的纵坐标为： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形
的内角和定理，勾股定理，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
16．
【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回
到起始的位置，即可求解．
解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点
当点P第8次碰到矩形的边时为第2个循环组的第2次反弹，点P的坐标为 ，
故答案为 ．
【点拨】此题主要考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组
依次循环是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性
质．
过N点作 于H点，过M点作 于Q点，如图，根据正方形的性质得到
， ，根据基本作图得到 平分 ，则利用角平分线的性质得到
，在 中利用等腰直角三角形的性质得到 ，所以 ，则
，接着根据角平分线的性质得到 ，根据等腰直角三角形的性质得到
，则 ，解得 ，所以 ，从而得到M点的坐标．
解：过N点作 于H点，过M点作 于Q点，如图，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
由作法得 平分 ，而 ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴M点的坐标为 ．
故答案为： ．
18．2或 / 或2
【分析】本题利用勾股定理算出 ，根据题意得到 ，推出 ，再根据
是等腰三角形，分以下两种情况讨论，①当点E在点C左侧时，有 ，②当点E在点C右侧
时，有 ，利用矩形的性质和等腰三角形性质对上述两种情况进行分析，即可解题．
解： 四边形 是矩形， ， ，
， ，
，，
，
，
是等腰三角形，
①当点E在点C左侧时，
有 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
为等边三角形，
，
，
②当点E在点C右侧时，
有 ，
，
，
，
，
，
，综上所述： 的值为2或 ，
故答案为：2或 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、30度所对直角边等于斜边的一半、等腰三角形性质、等
边三角形性质和判定、熟练掌握相关性质定理，并灵活运用，即可解题．
19．
【分析】根据已知条件得到 ，得到规律 ， ，于是得到结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形， 、 、 ，
∴ ，
把 先沿y轴翻折，再向下平移1个单位后，
∴ ，
观察，发现规律： ， ， ， ， ，…，
∴ ， ．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形变化中的平移与对称以及规律型中的坐标的变化
规律，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
20．
【分析】本题主要考查了矩形和菱形的性质，求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数求解
函数解析式的方法和步骤；连接 ，令 中点为点M， 中点为点N，根据中点坐标公式，求出
M和N的坐标，根据题意可得直线l经过点M和点N，再用待定系数法即可求出l的解析式．
解：∵矩形 的顶点B的坐标为 ，∴ ，
连接 ，令 中点为点M， 中点为点N，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
即 ，
∵直线l平分矩形 的面积和菱形 的面积，
∴直线l经过点M和点N，
设直线l的解析式为 ，
把 代入得：
，
解得： ，
∴直线l的解析式为 ，
故答案为： ．
21．
【分析】如图，延长 至点G，使 ，连接 ， ， ，作点N关于 的对称点H，连接 交 于K，连接 ， ，先证明 ，得出点F在 上运动，证明 ，即为定值，
则当 周长最小时， 最小，当F和K重合时， 取最小值，证明 ，设
，则 ， ， ，然后利用两点间距离公式求解即可．
解：如图，延长 至点G，使 ，连接 ， ， ，作点N关于 的对称点H，连接
交 于K，连接 ， ，
∵ ， ， 轴，
∴ ， ， ， ，
∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ， ，
∴ ，即 为定值，
∵ ， 为 中点，
∴ ，
∵ 为定值，
∴当 周长最小时， 最小，
∵点N、点H关于 的对称，
∴ ， ，
∴ ， ，
当F和K重合时， 取最小值，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ，
∴ 取最小值时， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴当 时， 周长最小．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
明确题意，判断点F的运动轨迹是解题的关键．
22．
【分析】（ ）由点的坐标得到 的长，再根据 即可求解；
（ ）过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，易证明
，得到 ， ，即可求得点 的坐标；由四边形 为平行四边
形可证明到 ，得到 ， ，根据 点始终在平行于 轴的直线上运动，
并且这条直线与 轴的距离为 ，即可得到 的取值范围；
本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，判断出点 始终在平
行于 轴的直线上运动是解题的关键．
解：（ ）∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为 ；
（ ）如图，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ；
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ， 轴，
∴ 点始终在平行于 轴的直线上运动，并且这条直线与 轴的距离为 ，
∴点 到这条直线的距离为 ，
∴ 长度的取值范围为 ，
故答案为： ．
23．
【分析】延长 与 交于点 ，过 作 交 于 ，由 轴恰好平分 和 可
得 ，再证明 即可得到 ，再证明 可得 ，
即可求出 ．
解：延长 与 交于点 ，过 作 交 于 ，如图所示，
∵ 是等腰直角三角形， ， 轴于 ，， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
， 轴恰好平分 ，
，
，
∵ 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
∴ ， ，
∵
∴
∴四边形 是矩形， ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解题的关键是明
确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．24． 2 /
【分析】连接 ，过E作 于H，求得 ，即可得到 ，求得 ，进而
得出 ，即可求解．
解：如图所示，连接 ，过 作 于 ，
于 ， 于 ， 是 的中点，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，点 的横坐标是 ．
故答案为：2； ．
【点拨】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的
一半．解题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．
25．（1）当 时，四边形 为菱形；（2）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C
的坐标为 ，点D的坐标为 ．
【分析】（1）连接 ，与y轴交于点E，则点E的坐标为 ，根据菱形的性质得 ，根据
得 ，即可得；
（2）根据正方形的性质得 ， ， ，根据勾股定理得 ，
解得 ，即可得点A的坐标为 ，根据 ，即可得点B，C，D的坐标．
（1）解：连接 ，与y轴交于点E，
则点E的坐标为 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
即当 时，四边形 为菱形．
（2）解：∵四边形 为正方形，且面积为8，
∴ ，
∵正方形的对角线相等且垂直，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
即 ，
∴ ，
∴点A的坐标为 ，
∵ ，
∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是掌握这些知
识点．
26．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）由 ， 即可求解；
（2）设 ，则 ，计算出线段 即可利用勾股定理求解 ，进而可求点 的坐标；
（3）根据“平行四边形的对角线互相平分”即可分类讨论求解．（1）解：∵
∴点 的坐标为
故答案为：
（2）解：由题意得：
∴
设 ，则
在 中：
解得：
∴点
（3）解：由题意得可得：
设点
为对角线，则有：
解得：
故
为对角线，则有：
解得：故
为对角线，则有：
解得：
故
综上所述：
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理．熟记相关结论是解题关键．
27．（1）8，4， ；（2）① ；②存在点 ，使得 为等腰三角形，点 的坐标为
或 或 或
【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，注意分类讨论是解题的关键．
（1）根据点A的坐标可知 ， 的长度，再利用勾股定理求 的长度；
（2）①由折叠可知 ，设 ，用勾股定理解 求出x的值即可；
②分 ， ， 三种情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理，分别求解
即可．
（1）解： 轴于 轴于 ，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
， ，
，
故答案为：8，4， ；（2）解：①由折叠可知 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，即 ，
点 的坐标为 ；
②由①知 ，
，
，
设点P的坐标为 ，
当 时， ，
解得 或13，
点P的坐标为 或 ；
当 时，如图，过点D作 于点Q，可得四边形 是矩形，
，
，
，
，
点P的坐标为 ；
当 时，如图，过点P作 于点H，可得四边形 是矩形，，
点P的坐标为 ，
，
， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，
点P的坐标为 ；
综上可知，存在点 ，使得 为等腰三角形，点 的坐标为 或 或 或 ．
28．（1） ； ；（2）①见分析；② ； ；（3）存在点 ，使得 的面积是
的面积的3倍
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得 ；根据 ， 是等腰直角三角形，
可证得四边形 是矩形，从而得到 ，即可；
（2）①先证明四边形 是矩形，再证得 ，可得 ，即可；②由①得：
，从而得到 ，再由四边形 是正方形，可得 ，可求出 ，
从而得到 ，即可；
（3）设点A的坐标为 ，则 ，可得 ，由（2）②得：点P的坐标为 ，则 ，证明四边形 是矩形，可得
，然后根据 的面积是 的面积的3倍，可得到关于
m的方程，即可求解．
（1）解：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵点B的坐标是 ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
故答案为： ； ；
（2）解：①∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，四边形 是矩形，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形；
②由①得： ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
故答案为： ；
（3）解：存在，
设点A的坐标为 ，则 ，
∴ ，
由（2）②得：点P的坐标为 ，则 ，
根据题意得： ，
∴四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，
∵ 的面积是 的面积的3倍，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
即存在点 ，使得 的面积是 的面积的3倍．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的
判定和性质，一元二次方程的应用，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形
的判定和性质是解题的关键．
29．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）先作 ，根据等腰三角形三线合一的性质，得出 ，即 ，求得
的值；
（2）先作 轴，判定 ，以及 ，得出 ，根据
进行计算即可；
（3）作 轴于 ，连接 ，先判定 ，得出 ，再根据
的面积等于8，得到 ，即 ，求得 ，最后根据矩形 中， ，
，得到 ，进而得出 的坐标．
（1）解：如图1，作 于 ，， ， ，
， ，
，
，即 ，
解得 ；
（2）解：如图1，作 轴于 ，
，
，
点 由点 出发，以与点 相同的速度沿射线 方向运动，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在 和 中，
，，
，
由（1）可得， ，
， ， ， ，
；
（3）解：如图2，作 轴于 ，连接 ，
，
，
又 ， ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ， ，
，
∴ 轴，，
的面积等于8，
，即 ，
，
矩形 中， ，
又 ，
，
．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算公式以及
矩形的性质等，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边
相等．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及矩形．
30．（1） ；（2）① ；② ；（3） ；证明见分析
【分析】（1）根据完全平方公式求出m的值，即可得出点A的坐标；
（2）①证明 ，得出 即可；
②根据 ， ，得出 垂直平分 ，利用三线合一得出 平分 ，求出
，根据 ，求出结果即可；
（3）在 上取一点P，使 ，证明 ，就可以得出 ，
，由等腰直角三角形的性质就可以得出 ，得出 就可以得
出结论．
（1）解：∵关于 的多项式 是完全平方式，
又∵ ，
∴ ，
∴点A的坐标 ．
（2）解：①∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ 为等边三角形， 为等边三角形，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∵ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）解： ，
在 上取一点P，使 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ 等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，正方形的判定及性质的运用，等边三角形的性质
的运用，垂直平分线的判定，全等三角形的判定及性质的运用，解答关键是灵活运用等腰直角三角形的性
质和全等三角形的性质．
