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专题18.39 平行四边形题型分类专题（平移问题）（分层练习）
一、单选题
1．如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形 在第一象限， 轴．直线 从原点O出
发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形 截得的线段长度n与直线在x轴上平移的
距离m的函数图象如图2所示．平行四边形 的面积为（ ）
A．3 B． C． D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为 ，点B的坐标为
，点D的坐标为 ，将 平移，使点A移动到点 ，则平移后C点的对应点 的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的点 和点 分别落在 轴和 轴正半轴上， ，直
线 经过点 ，将直线 向下平移 个单位，若直线可将矩形 的面积平分，则 的值为（
）A．11 B．9 C．6 D．5
4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=2，BD=8，将△ABO沿点A到点C的方向平移，
得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．已知如图，在平行四边形 中， ，将 沿对角线 边平移，得到 ，若
使四边形 是菱形，需添加一个条件，甲方案： ；乙方案： ；方案丙：
；其中正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲
6．如图，正方形 的边长为 ，顶点 在直线 上，将直线 向上平移 得到直线 ，直线
分别交 ， 于点 ， ．则 的周长为（ ） ．A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，在平行四边形 中， ， ，对角线 ，将平行四边形 平
移4个单位长度得到平行四边形 ， ， 分别为 和 的中点，连接 ，则 的长度不可
能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，矩形 中， ，点E为直线 的一点，连 ，平移 至 ，连接
，则四边形 的面积是（ ）
A．15 B．40 C．20 D．30
9．如图，在边长为 的菱形 中， ，将 沿射线 的方向平移得到 ，
分别连接 ， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，点 在直线l：y＝kx＋8上．直线l
分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿x轴向左平移m个单位长度后，点B恰好落在直线l上．
则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将 ABD沿射线BD方向平移，得到 EFG，
连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（ ） △ △
A．2 B．4 C．2 D．4
12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到
△A′D′C′，分别连接BC′，AD′，BD′，则BC′+BD′的最小值为（ ）A． B．4 C． D．
二、填空题
13．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如
图，将边长为 的正方形 沿对角线 方向平移 得到正方形 ，形成一个“方胜”图
案，则点D， 之间的距离为 ．
14．如图，在菱形 中，对角线 ， 的长分别为 ， ，将 沿射线 的方向平移得
到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为 ．
15．如图所示，矩形 的两条对角线相交于点O， ， ，将 向右平移得到
，则 向右平移过程中扫过的面积是 ．16．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在
直线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为 ．
17．如图， 沿某方向平移一定距离得到 ，直角顶点C恰为 中点，连接
．给出结论：① ；② ；③四边形 为菱形，其中正确结论的序号
是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点 ，将线段 沿x轴平移得到 ，连
接 ，则 的最小值为 ．19．如图，在菱形 中， ， ，将 向右平移得到 （点 在线段
上），连接 ．在平移过程中，
（1）若四边形 是矩形，则 ；（2） 的最小值为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在y轴上， ，将 沿x轴向右
平移，当点B落在直线 上时，线段 扫过的面积为 ．
21．如图，在四边形 中，将两条对角线 与 平移，使 平行等于 ， 平行等于 ，
连接 ．
（1）当四边形 满足 时，四边形 是矩形；
（2）若 ， ，且 与 的夹角 满足 时，四边形 面积的最小值为
．22．如图，在正方形 中， ，点E在边 上，且 ，在边 上取两点M，N（点M
在点N左侧），且始终保持 ，线段 在边 上平移，则 的最小值为 ．
23．如图，将边长为4的等边 沿射线BC平移得到 ，点M，N分别为AC，DF中点，点P
是线段MN的中点，连接PA，PC．当 为直角三角形时，BE＝ ．
24．如图，以矩形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB=3，BC=5．点E是边CD上一点，将△ADE沿着
AE翻折，点D恰好落在BC边上，记为F．
（1）求折痕AE所在直线的函数解析式 ；
（2）若把翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m个单位，连结OF，若△OAF是等腰三角形，则m的
值是 ，
三、解答题（每种类型各3个题）
25．如图，将正方形纸片 沿着对角线 剪开，保持纸片 不动，把纸片 向左平移
得到 ，与 分别交于点G，H（点G不与点B重合）．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若正方形 的边长为1，四边形 是菱形，求菱形 的边长．26．如图，将 沿 平移，得到 ，连接 ，已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
27．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为 ， ．现将点A，点B分别向上
平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A，点B的对点C，D，连接 ， ， ．
（1）直接写出点C，点D的坐标．
（2）①四边形 _________（填“A”或“B”或“C”）；
A．一定是平行四边形 B．一定不是平行四边形 C．不一定是平行四边形
②求出四边形ABDC的面积．
（3）在x轴上存在一点F，若 的面积是 面积的4倍，直接写出点F 的坐标．28．已知：如图①，在平行四边形 中， ， ． ．如图②，
沿 的方向匀速平移得到 ，速度为 ；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度
为 ，当点 移动到 点时， 停止平移，点 也停止运动．设运动时间为 ．解答下列问题：
（1）求 的长；
（2）当 为何值时，点 在 的垂直平分线上？
（3）是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
29．已知点A（a，0），B（b，0），C（0，c），且 （b﹣3）2+|c+2|＝0，E为AB的中点．
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）如图1，过点E的直线l∥y轴，点H在y轴的正半轴上，OH＝OC，直线AH交直线l于点F，给
出线段HF与CE的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，将点E向下平移 个单位长度到点D，动点P从点A出发，同时动点M从点E出发，都沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t秒，CM交DP于点N，若S CDN＝
△
S MNP，求t的值．
△
30．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ，现同时将点A，B分别向上平
移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接 ， ， ．
（1）在y轴上是否存在一点M，使 的面积和平行四边形 的面积相等？若存在，求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若点P在线段 上运动（不与 ， 重合），连接 ， ，试探究 与 面积和
的取值范围；
（3）若点P在第一、四象限，且在直线 上运动，请直接写出 ， ， 的数量关系．参考答案：
1．D
【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是6时，直线经过B，当
移动距离是7时经过D，则 ，设直线经过点D时，交 于N，则 ，作于点M，由 ；
解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是6时，直线经过B，当移动
距离是7时经过D，则 ，
设直线经过点D时，交 于N，则 ，作 于点M，如图所示：
∵移动直线为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ 的面积为： ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平移变换、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，其中根
据函数图象确定 的长，是解答本题的关键．
2．D
【分析】根据坐标以及平行四边形的性质，先求得 点的坐标，根据使点A 移动到点 ，
即向左平移1个单位向上平移1个单位，据此即可求得平移后C点的对应点 的坐标解： A ，D
四边形 是平行四边形，
B的坐标为 ，
∵将 平移，点A 移动到点 ，即向左平移1个单位向上平移1个单位，
∴平移后C点 的对应点 的坐标为
故选D
【点拨】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，根据平移方式求点的坐标，根据题意找到平移
方式是解题的关键．
3．A
【分析】连接 ，相交于点D，当直线 平移经过点D时，该直线可将矩形 的
面积平分，求出经过点D且平行于 的直线解析式后，即可得解；
解：连接 ，相交于点D，如图，
对直线 ，令 ，得到 ，故点 的坐标为 ，
又 ，
，
因为矩形对角线互相平分，所以点 为线段 的中点，
，当直线 平移经过点D时，该直线可将矩形 的面积平分，
设平移后的直线解析式为： ，
，
，
；
故选择：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，以及一次函数图像的平移问题，关键是掌握经过矩形对角线交点的
直线平分矩形的面积．
4．B
【分析】由菱形的性质得出 ， ， ，由平移的性质
得 ， ， ，得出 ，由勾股定理即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
，
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题
的关键．
5．B
【分析】先根据题意可知四边形 是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得
出答案．
解：根据题意可知 ，
∴四边形 是平行四边形．
方案甲， 不能判断四边形 是菱形；
方案乙，由 ，∴平行四边形 是菱形；
方案丙，由 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．
所以正确的是乙和丙．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．
6．C
【分析】过 作 于 ，连接 ， ，然后利用已知条件可以证明 ），
），接着利用全等三角形的性质即可解决问题．
解：过 作 于 ，连接 ， ，
直线 向上平移线段 的长得到直线 ，
，
而 ， ，
），
，
同理 ），
，
的周长为： ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，
掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
7．D
【分析】取 中点 连接 ， ，由直角三角形的性质得到 ，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到 ，由平移的性质得到 ，由三角形的
三边关系定理，即可得到 ，因此 ．故 的值不可能是6．
解：取 中点 连接 ， ，
，
，
，
，
，
是 中点， 是 中点，
是 的中位线，
，
是 中点， 是 中点，
由平移的性质得到 ，
，
，
．
的值不可能是6．
故选：D．
【点拨】本题考查平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形的三边关
系，关键是取 中点 连接 ， ，由三角形中位线定理求出 的长，由三角形的三边关系即可求
解．
8．B【分析】求出矩形 的面积，可得 的面积，根据平移的性质可得四边形 是平行四
边形，然后可得答案．
解：因为矩形 的面积
所以 的面积 ，
由平移得： ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以四边形 的面积 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是求出
的面积．
9．A
【分析】根据菱形的性质得到 ， ，得出 ，根据平移的性质得到
， ，推出四边形 是平行四边形，得到 ，于是得到 的最小
值 的最小值，根据平移的性质得到点 在过点 且平行于 的定直线上，作点 关于定直线
的对称点 ，连接 交定直线于 ，则 的长度即为 的最小值，求得 ，得到
，于是得到结论．
解： 在边长为 的菱形 中， ，
， ，
将 沿射线 的方向平移得到 ，
， ，
四边形 是菱形，
， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，的最小值 的最小值，
点 在过点 且平行于 的定直线上，
作点 关于定直线的对称点 ，连接 交定直线于 ，
则 的长度即为 的最小值，
在 中， ， ，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称 最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移
的性质，正确地理解题意是解题的关键．
10．B
【分析】如图：作 ， ，再证 ， ，从而求出点B坐
标（0,4），向左平移m个单位后坐标为（-m,4），最后代入直线l的解析式即可．
解：如图：作 ， ，
∵
∴OM=6,DM=2
将点 代入y＝kx＋8,解得：k=1∴直线解析式为：
∵四边形形ABCD为正方形
∴AD=AB=CD=BC
∵ ，
∴
∴
∴OA=DM=2，AM=OB=4，
同理可证
∴BN=AO=2，CN=OB=4
∴点B坐标为（0,4）
将点B向左平移m个单位后坐标为（-m，4）
将（-m,4）代入 ，得：4=-m+8，解得：m=4．
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、点的平移以及点坐标与直线图像的关
系等知识点，构造全等三角形求得求点B坐标是解题的关键．
11．B
【分析】连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的
性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出 ，从而可得出 ，即CH
的长为 的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理
求出CH的长即可．
解：如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．
由平移的性质可知 ， ．
∵四边形ABCD为菱形，∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形CDEG为平行四边形，
∴ ．
由轴对称的性质可知 ， ， ，
∴ ，
∴ ，即CH的长为 的最小值．
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，
结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求 ．
故选B．
【点拨】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，
轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确
的作出辅助线是解题关键．
12．D
【分析】将点B关于直线DD′对称到点B′，连接AB′，作A′′B′⊥AD交AD延长线于点A′′，求出AB′长
即可．
解：连接DD′，当等腰Rt△ADC在射线CA上运动时，点D运动轨迹为直线l，
∵AB∥C′D′，且AB=C′D′，
∴四边形ABC′D′为平行四边形，
∴BD′+BC′=D′B+D′A，将点B关于直线l对称到点B′，BD′+BC′=D′B+D′A= D′B′+D′A≥AB′，当D′、B′、A三点共线时，BC′+BD′
的最小，最小值为AB′长，
作A′′B′⊥AD交AD延长线于点A′′，
由对称可知，BD′=BD，∠ADB=∠AD B′，∠BAD=∠B′A′′D，
∴△BAD≌△B′A′′D，
∴A′′D=AD=2，A′′B′=AB=2，
AB′= ，
故选D．
【点拨】本题考查了最短路径问题，解题关键是明确点D运动轨迹，利用轴对称确定点的位置，勾股
定理求最值．
13．
【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质、勾股定理，根据平移的性质求出 是解题的关
键．根据正方形的性质、勾股定理求出 ，根据平移的性质求出 ，计算即可．
解：∵四边形 为边长为 的正方形，
∴ ，
由平移的性质可知， ，
∴ ，
故答案为： ．14．
【分析】连接 与 交于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，由平移性质知，
，则 ， ，当点 、 、 三点共线时， 的值最小，
勾股定理即可求解．
解：连接 与 交于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
由平移性质知， ，
， ，
，
，
当点 、 、 三点共线时， 的值最小，
的最小值为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是
解题的关键．
15．
【分析】首先根据平移的性质得出 ，进而可知 平移过程扫过的面积是矩形
的面积，即可得出答案．
解： 向右平移得到 ，平移过程扫过的面积是矩形 的面积，
，
矩形 的面积为
向右平移过程中扫过的面积是
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质及平移的性质，解题的关键是知道 平移过程扫过的面积是矩形
的面积．
16．
【分析】将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，可将△AB′C不动，将点B在平行于直线AC上
平移，将线段和最值问题转化为典型的将军饮马问题来解决，从而作B'关于点B的对称点E，B'B交AC于
点O，连接EC，利用勾股定理求出CE的长度即可得出答案．
解：作B'关于点B的对称点E，B'B交AC于点O，连接EC，
∵将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，
∴可将△AB′C不动，将点B在平行于直线AC上平移，
∴△BB″C′的周长最小值转化为△BB'C周长的最小值，
∴当E、B、C三点共线时，BB'+BC最小为CE的长，
∵△ABC与△AB'C都是等边三角形，
∴AB＝BC＝CB'＝AB'，
∴四边形ABCB'是菱形，
∴BB'⊥AC，OC＝ AC＝ ，∴BO＝B'O＝ ，
∴OE＝BE+OB＝ + ＝ ，
在Rt△CEO中，由勾股定理得：
，
∴△BB'C周长的最小值为： +1，
即△BB″C′的周长最小值为： +1．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，菱形的判定和性质，平移，轴对称图形，得到四边形
ABCB'是菱形，并利用菱形的轴对称性解答是解题的关键．
17． /
【分析①】②本②题①考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、平移的性质、勾股定理、等腰三
角形的判定；熟练掌握平移的性质和菱形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．由
平移的性质得出 ，得出①正确；由平移的性质得出 ， ，得出四边形 是
平行四边形，③错误，由四边形 是平行四边形得出 ，由C恰为 中点，得出 ，
由平移的性质得出 ， ，得出四边形 是平行四边形，得出 ，继而得出
，得出 ，②正确；
解：∵ 平移，得到 ，
∴ ，①正确；
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，③错误；
∴ ，
∵C恰为 中点， ，
∴ ，
∴ ，
∵平移，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，②正确；
故答案为：①②．
18．
【分析】本题考查了轴对称的性质，平移的性质，平行四边形的性质等知识，作 ，且使
，连接 ，可推出 ，作点 关于x轴的对称点 ，
连接 ，交x轴于W，从而得出 ，进一步得出结果．
解：如图，作 ，且使 ，连接 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴设 ，
， ，
∴ ，作点 关于x轴的对称点 ，连接 ，交x轴于W，
∴ ，
∴当点 在W处时， 最小，最小值是 的长，
∵ ，
∴ 的最小值是 ，
故答案为： ．
19．
【分析】（1）连接 交 于点 ，如图所示，由菱形性质，结合含 直角三角形的三边关系即
可得到 及 长，从而得到 ；
（2）连接 ，延长 到 ，使 ，如图所示，根据平移性质、菱形性质得到
，从而确定当 三点共线时， 有最小值为 ，由含 直角三
角形的三边关系求解即可得到答案．
解：（1）连接 交 于点 ，如图所示：
在菱形 中， ， ，
， ，
，
在 中， ，则 ，
将 向右平移得到 （点 在线段 上），
，
若四边形 是矩形，则 ，
，
在 中， ，则 ，，即
故答案为： ；
（2）连接 ，延长 到 ，使 ，如图所示：
将 向右平移得到 （点 在线段 上），
， ，
∴ 是平行四边形，
，
在菱形 中，由菱形对称性得到 ，
，
，则当 三点共线时， 有最小值为 ，
，
，
是等边三角形，
， ，
由于 是 的一个外角，
，
，
在 中， ， ，则 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查特殊平行四边形背景下求线段长，涉及菱形的性质、矩形的性质、平移的性质、等
边三角形的判定与性质、含 直角三角形的三边关系等知识，熟练掌握特殊平行四边形性质是解决问题
的关键．
20．24
【分析】根据勾股定理得出 ，再求出点B平移后的对应点坐标，即可得出平移的距离，根据平移的性质可得四边形 为平行四边形，即可求解．
解：∵点A的坐标为 ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ 沿x轴向右平移了6个单位长度， ，
根据平移的性质可得，
∴ ， ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴线段 扫过的面积 ，
故答案为：24．
【点拨】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关
键是掌握，平移前后，对应点连线平行（或在同一直线上）且相等；两组对边分别相等的四边形是平行四
边形．
21．
【分析】（1）当四边形 满足 时，四边形 是矩形，先根据平移的性质证出四边
形 是平行四边形，再证得 ，即可得到四边形 是矩形；
（2）设 与 交于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据题意当
越大时， 越大，进而可得 ，从而求出四边形 面积的最小值．
解：（1）当四边形 满足 时，四边形 是矩形，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
即 ，
四边形 是矩形，
故答案为： ；
（2）设 与 交于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴
∵ 与 的夹角 满足
当 越大时， 越大，
当 时，四边形 面积的最小，
此时， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的判定，平移的性质，等腰直角三角形的性质，四边形的面积，熟练掌握有
一个角是直角的平行四边形是矩形；熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．22．
【分析】以BC为对称轴，作正方形 的对称图形GBCK，连接MG，过点N作 ，可证
明四边形MGHN为平行四边形， ， ，当E、N、H三点共线时， 有
最小值，在 中利用勾股定理求出EH的长即可．
解：如下图，以BC为对称轴，作正方形 的对称图形GBCK，连接MG，过点N作 ，
∵四边形ABCD为正方形， ，
∴四边形GBCK也为正方形，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴四边形MGHN为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
当E、N、H三点共线时， 有最小值，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了轴对称的应用、正方形的性质以及勾股定理等知识，通过轴对称确定解题思
路，作辅助线构建直角三角形是解题关键．
23．4或8【分析】本题先根据 为直角三角形进行分类讨论：①当 时，根据直角三角形斜边
中线等于斜边上的一半，即可求出PM，进而求出MN，BE长度即可．②当 时，根据直角三角
形中， 角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出PM=4，进而求出MN，BE长度就解决了．
解：①当 时．
∵ ，M为AC中点．
∴PM=AM=CM= AC=2．
∵PM=2，点P是线段MN的中点．
∴MN=2PM=4．
即 向左平移4．
∴BE=4．
②当 时．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
∵M为AC中点，AC=4．
∴CM=2．
∵在Rt 中， ， ．
∴MC= PM．∴PM=2CM=4．
∵点P是线段MN的中点．
∴MN=8
即 向左平移8．
故答案为：4或8．
【点拨】本题考查直角三角形性质，平移的相关知识，直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，以及
直角三角形中， 角所对直角边是斜边长度的一半是解决本题的关键．
24． y=- x+3 3或2或 .
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=5，EF=DE，进而求出BF的长，
即可得出E点的坐标，进而得出AE所在直线的解析式；
（2）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=CB=5，AB=DC=3，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折叠对称性：AF=AD=5，EF=DE，
在Rt ABF中，BF= =4，
△
∴CF=1，
设EC=x，则EF=3-x，
在Rt ECF中，12+x2=（3-x）2，
△
解得：x= ，
∴E点坐标为：（5， ），
∴设AE所在直线解析式为：y=ax+b，
则解得：
∴AE所在直线解析式为：y= x+3；
故答案为y= x+3；
（2）分三种情况讨论：
若AO=AF=BC=5，
∴BO=AO-AB=2，
∴m=2；
若OF=FA，则AB=OB=3，
∴m=3，
若AO=OF，
在Rt OBF中，AO2=OB2+BF2=m2+16，
∴（m△+3）2=m2+16，
解得：m= ，
综上所述，若 OAF是等腰三角形，m的值为3或2或 ．
△
故答案为3或2或 ．
【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了待定系数法，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，
正确的理解题意是解本题的关键．
25．（1）见分析；（2）
【分析】（1）过点C作 交 延长线于点D，由平移的性质可得 ， ，
根据“有两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可求证；
（2）设 ，则 ．在三角形 ，根据勾股定理即可求
解．
解：（1）证明：过点C作 交 延长线于点D，如图．∵ 向左平移得到 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ．
设 ，则 ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，即菱形 的边长为 ．
【点拨】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、勾股定理等知识点．熟记相关结
论是解题关键．
26．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据平移的性质得 ，根据 等量代换得 ，根据 即可
得；
（2）根据平移的性质得 ，即可得四边形 为平行四边形，则 ，
根据 ， 得 为等腰三角形， ， 可得 ，即可得．
解：（1）证明：∵ 沿 平移，得到 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ 沿 平移，得到 ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等腰三角形， ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键
是掌握这些知识点．
27．（1） ， ；（2）① A；②8；（3） 或
【分析】（1）由平移的方式（左减右加上加下减）即可确定点的坐标；
（2）①根据点的左边的特征及平行四边形的判定即可得出答案；②根据平行四边形的面积公式即可
得出答案；
（3）先分别表示 和 的面积，根据“ 的面积是 面积的4倍”列出方程求出
，再根据点F的位置即可确定点F的坐标．
解：（1） 将点 ，点 分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点
A，点B的对点C，D，
，
（2）① ， ， ，
， ，
四边形 一定是平行四边形
故选A；
②∵ ， ， ，∴ ，
∴
（3）由题意得， ，
的面积是 面积的4倍，
即
当点F在点B的左侧时，点F的坐标为 ；当点F在点B的右侧时，点F的坐标为
点F 的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了由平移确定点的坐标，平行四边形的判定及性质，三角形的面积，熟练掌握平移
的规则是解题的关键．
28．（1） ；（2）当 时，点 在 的垂直平分线上；；（3）存在，当 时，
使得 ；
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知 ，再根据直角三角形性质及勾股定理即可解答；
（2）根据线段的垂直平分线的性质可知 ，再根据路程与速度的关系列方程即可解答；
（3）连接 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，根据平移的性质及
平行四边形的性质可知 ，再根据路程速度的关系及面积关系列方程解方程即可．
（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ． ，
∴在 中， ，
∴ ；
（2）解：∵点 在 的垂直平分线上，
∴ ，∵ 沿 的方向匀速平移得到 ，速度为 ，设运动时间为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ． ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ；
∴当 时，点 在 的垂直平分线上；
（3）解：连接 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵根据平移的性质可知 ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，设运动时间为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴当 时，使得 ；
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，平移的性质，垂直平
分线的性质，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
29．（1） ；（2）CE=HF；（3）t=4
【分析】（1）利用平方、绝对值和算数的非负性即可得到答案；
（2）线确定E的坐标，再证明 ，进而利用平行四边形的判定与性质解答即可；
（3）先判断 ，再用 列出方程即可．
解：（1） （b﹣3）2+|c+2|＝0，
，
（2）CE=HF；
∵EF//y轴，
轴，
，且E为AB的中点，
，
，
在 中，
，
∴∠HAO=∠CEO，∴AH//CE，
l//y轴
则四边形HCEF是平行四边形，
（3）如图：
向下平移 个单位长度到点D，
∴D（1， ），
依据题意得： ，连接DM，
∴PM=2，
，
∴
过D作 轴于G，
，【点拨】本题考查几何变换综合题，考查坐标系中求三角形面积的方法、平移性质，掌握方程思想是
关键．
30．（1）存在， 或 ；（2） ；（3）见分析
【分析】（1）先求出平行四边形 的面积，设出点 的面积，得出 的面积为 即
可得出结论；
（2）设 ，则 ，利用图形面积的和得出 与 的面积和即可得出结论；
（3）分三种情况利用平行线的性质和三角形的外角的性质即可得出结论．
（1）解：如图1， ， ，
，
由平移得， ， ，
，
设点 ，
，
，
的面积和平行四边形 的面积相等，
，
，或 ；
（2）如图2，过点 作 于 ，交 于 ，
由平移知， ，
，
，
设 ，则 ，
，
；
（3）①当点 在线段 上时，如图3，
延长 交 的延长线于 ，
由平移知， ，
，
，
②当点 在 延长线上时，如图4，
同①得， ，
，
；③当点 在 延长线上时，如图5，
同②得， ．
【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了平移的性质，平行四边形的面积公式，三角形，梯形的面
积公式，平行线的性质，三角形外角的性质，待定系数法，解（1）的关键是求出平行四边形的面积，解
（2）的关键是利用面积和差得出面积，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题．
