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专题19.33 一次函数几何分类专题（最值问题）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（19-20八年级上·浙江湖州·期末）点P是直线y＝﹣x+ 上一动点，O为原点，则OP的最小值为
（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（21-22八年级下·福建福州·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线 上的动点，
， 是x轴上的两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
3．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知点 ，点M，N分别是直线 和直线
上的动点，连接 ， ． 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．4．（22-23九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知点 ，点B是直线 上的动点，点
C是y轴上的动点，则 的周长的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，点 是
轴上一动点，且 三点不共线，当 的周长最小时，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23八年级下·江西南昌·期末）如图，直线 与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分
别为线段 ， 的中点，P为 上一动点，当 的值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．7．（20-21八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点B的坐标为
，顶点A在y轴上，直线 与 交于点D，点E为 的中点，点P为直线 上一动点，当
的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知 ，直线 ：
与 轴相交所成的锐角为 ．若 是 轴上的动点， ， 是 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点P为直
线 上的动点，以 为边作等边 ，则 的最小值为（ ）A．4 B．2 C． D．
10．（20-21九年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA
上任意一点．在直线y＝ x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点
M、N，连结MN，则MN的最小值是（ ）
A．2.5 B．2.4 C．2.8 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线 分别与 轴、 轴相交于点 ， ．点
在平面内． ，点 ，则 长度的最大值是 ．
12．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线 与直线 交于点 ，且与轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ．（1） ；
（2）若点 与点 是 内部（包括边上）的点，则 的最大值为 ．
13．（22-23八年级下·北京密云·期中）如图，平面直角坐标系 中，正方形 的顶点A与原点
重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，正方形 边长为2，点E是 的中点，点P是
上一个动点，当 取得最小值时，此时最小值是 ；P点的坐标是 ．
14．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，一次函数 的图象与x轴交于点B，与正比例
函数 的图象交于点A，若点P是线段 上的一个动点，则线段 长的最小值为 ．
15．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段 绕点P逆
时针旋转 得到线段 ，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点 ，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接 、 ，则 的最小值是 ．
16．（22-23八年级下·四川自贡·期末）如图，矩形 两边与坐标轴正半轴重合， 是 边上的
一个动点， 是经过 ， 两点的直线 上的一个动点，则 的最小值是 ．
17．（2023·江苏南通·一模）已知点 为直线 上一点，将一直角三角板的直角顶点放
在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点， 为y轴上一点，连接 ， ，则四边形
面积的最小值为 ．
18．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于
A，B两点， 于点C，P是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点A逆时针旋转 ，得
到线段 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点
， ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是线段 上的一个动点．
（1）求 的值；
（2）求点 在运动过程中 的面积 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）求 面积的最大值．
20．（8分）（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系内， ， ，点
在 轴上， 轴，垂足为 ， 轴，垂足为 ，线段 交 轴于点 ．若 ，
．
（1）求点 的坐标；
（2）如果经过点 的直线 与线段 相交，求 的取值范围；
（3）若点 是 轴上的一个动点，当 取得最大值时，求 的长．21．（10分）（21-22八年级下·辽宁·期末）直线 与x轴交于点A，与y轴交于点 ．
直线 ，与直线 交于点C，与x轴交于点D．
（1）求点A和点D的坐标；
（2）若 ，过点 作x轴的垂线，分别交直线 ， 于M，N两点，则线段MN的长度是否
存在最大值或者最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由；
（3）若 ，求m的值．
22．（10分）（20-21八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与
y轴交于点A，与直线 交于点 ，B为直线 上一点．
（1）求a，b的值；
（2）当线段 最短时，求点B的坐标；
（3）在x轴上找一点C，使 的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值．23．（10分）（22-23七年级下·四川成都·期中）如图：直线 是一次函数 的图象，且
与x轴交于A点，直线 是一次函数 的图象，且与x轴交于B点．
（1）请用a、b表示出A、B、P各点的坐标；
（2）若点Q是 与y轴的交点且 ， ．求点P的坐标及直线 的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接 ，F是线段 上一个动点，连接 ，在F的运动过程中 是否
存在最小值和最大值，若存在，求出 长度变化范围，若不存在，请说明理由．24．（12分）（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，等边三角形 的顶点P和Q分别在矩形
的两边 上，（其中点P不与点B、C重合，点Q不与点C重合），点E在边 上，且
．
（1）若 ， ， ，则：
①x可以取到的最大值是 ；
②写出y与x的函数关系式，并说明理由；
（2）若四边形 的面积为 ， ，求 的长度；
参考答案：
1．C
【分析】首先判定当OP⊥AB的时候，OP最小，然后根据函数解析式求得OA、OB，再根据勾股定理求
得AB，进而即可得出OP.
解：设直线y=﹣x+ 与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此
时线段OP最小，如图所示：
当x=0时，y= ，∴点A（0， ），
∴OA= ；
当y=0时，求得x= ，
∴点B（ ，0），
∴OB= ，
∴AB= =2．
∴OP= =1．
故选：C.
【点拨】此题主要考查一次函数以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
2．B
【分析】首先作出点A关于 的对称点 ，从而得到 ，故此 ，由两点
之间线段最短可知 即为所求．
解：取在y轴上点 使 ，连接 ，
∴点 的坐标为 ，
∴点 与点A关于 对称，
∴ ，
∴ ，
由两点之间线段最短可知：当点 、P、B在一条直线上时， 有最小值，
在 中， ，
故选：B．【点拨】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
3．B
【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形 ，得点P关于 的对称点 ，连接
，则： ，当且仅当 三点共线时， ，即
的最小值为 的长，根据点到直线，垂线段最短，过点 作 垂直直线 于
点N，即 于点N，交直线 于点M，此时 最小，利用等积法求出 的长即可．
解：如图，在正方形 中， ，
∵直线 经过点 ， ，
∴直线 是正方形 的对称轴，
∵点 在 上，
∴可得点P关于 的对称点 ，
当 时， ，即直线 经过点 ，
过点 作 垂直直线 于点N，即 于点N，交直线 于点M，
∵ 和 关于关于 对称，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为 的长，
此时 ，
∵ ，
，
∴ ，
解得 ，
即 的最小值为 ．
故选：B
【点拨】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练
掌握相关性质和数形结合是解题的关键．
4．A
【分析】作点A关于直线 的对称点 ，作点A关于y轴的对称点 ，连接 ，交直线
于点B，交y轴于点C，此时 周长最小．
解：作点A关于直线 的对称点 ，作点A关于y轴的对称点 ，连接 ，交直线
于点B，交y轴于点C， 此时 周长最小．根据轴对称的性质可得： ， ，
∴ ，
令直线 于x轴相交于点M，与y轴相交于点N，连接
把 代入得： ，
把 代入得： ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点A和点 关于直线MN对称，点A和点 关于y轴对称，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∴ 周长最小值为 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是根据题意，
正确画出辅助线，根据轴对称的性质和勾股定理，求出最短路径．
5．C
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及了待定系数法求一次函数解析式的方法及利用轴对称求
线段和的最小值．
作H点关于y轴对称点 点，连接 ，交y轴于点 ，利用待定系数法求出 的解析式后，令
，则 ，即可得到 与y轴的交点M的坐标，此时 的周长为最小．
解：作H点关于y轴对称点 点，连接 ，交y轴于点 ，如图：此时 的周长最小，
∵ ，
∴ 点坐标为： ，
设 的解析式为 ，则可得：
，
解得： ，
∴ 的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴ 点坐标为 ，此时 的周长最小．
故选C．
6．A
【分析】先确定A、B、C、D的坐标，构造点D关于x轴的对称点 ，连接 交x轴与点P，此时
的值最小，确定直线 的解析式，再确定直线与x轴的交点坐标即可．
解：因为直线 与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段 ， 的中点，所以 ， ， ， ，
作点D关于x轴的对称点 ，
则
连接 交x轴与点P，此时 的值最小，
设直线 的解析式为 ，
所以 ，
解得 ，
所以直线解析式为 ，
当 时，
，
解得 ，
所以 ，
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数的解析式，中点坐标公式，线段和最小问题，熟练掌握待定系数法，利
用轴对称的性质求线段和最小是解题的关键．
7．A
【分析】连接 ，与直线 的交点即为P点，此时， 的周长最小，最小值为 ，根据
待定系数法求得直线 的解析式，即可求得P的坐标．
解：连接 ，与直线 的交点即为P点，此时， ，则 的周长最小，最小值为
，∵正方形 的顶点B的坐标为 ，顶点A在y轴上，
∴ ，
∴O、C关于直线 对称，则 ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ，
∵ ，点E为 的中点，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，解得
∴直线 的解析式为 ，
把 代入得 ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函
数图象上点的坐标特征，求得P的位置是解题的关键．
8．A
【分析】如图所示，直线 、 轴关于直线 对称，直线 、直线 关于 轴对称，点是点 关于直线 的对称点，作 于点 ，交 轴于点 ，交直线 于 ，作 直线
，垂足为 ，此时 最小（垂线段最短），在 中利用
勾股定理即可解决．
解：如图所示，直线 、 轴关于直线 对称，直线 、直线 关于 轴对称，点 是点
关于直线 的对称点，作 于点 ，交 轴于点 ，交直线 于 ，作 直线
，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 与 轴相交所成的锐角为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，
∵ ，直线 、 轴关于直线 对称，
在 中， ， ， ，
∴ ，即 ，
解得： 或 （负值不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查轴对称—最短问题、垂线段最短、等腰三角形的判定、勾股定理等知识．解题的关键是利用轴对称性质正确找到点 的位置．
9．B
【分析】如图所示，过点A作 轴于C，连接 ，先证明 是等边三角形，进而证明
，得到 ，过点P作 轴于H，取 中点T，连接 ，设
，则 ， ，证明 是等边三角形，得到 ，进
而推出 ，则点Q在直线 上运动，过点O作 交直线 于E，则
，由垂线段最短可知 的最小值为2．
解：如图所示，过点A作 轴于C，连接 ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
取 ，连接 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
过点P作 轴于H，取 中点T，连接 ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点Q在直线 上运动，
过点O作 交直线 于E，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为2，
故选B．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合，全等三角形的
性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形，从而确定点Q的运动轨迹是解题的关键．
10．B【分析】如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．证明四边形PMJN是矩形，推出MN=PJ，求
出PJ的最小值即可解决问题．
解：如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．
∵PO=PE，OM=ME，
∴PM⊥OE，∠OPM=∠EPM，
∵PF=PA，NF=NA，
∴PN⊥AF，∠APN=∠FPN，
∴∠MPN=∠EPM+∠FPN= （∠OPF+∠FPA）=90°，∠PMJ=∠PNJ=90°，
∴四边形PMJN是矩形，
∴MN=PJ，
∴当JP⊥OA时，PJ的值最小此时MN的值最小，
∵AF⊥OM，A（5，0），直线OM的解析式为y= x
∴设直线AF的解析式为y= x+b
∵直线AF过A（5，0），
∴ =0，
∴b= ，
∴y= ，
由 ，解得
∴∴PJ的最小值为 =2.4
即MN的最小值为2.4
故选：B．
【点拨】本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转
化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．5
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，一次函数的图象和性质，勾股定理；
取 的中点E，连接 ，根据直角三角形斜边中线的性质可得 ，则点P在
以点E为圆心， 为半径的圆上，然后求出点M、N的坐标，利用勾股定理求出 ，根据点C与点N
重合可知，当P与M重合时， 取最大值，最大值为 ．
解：如图，取 的中点E，连接 ，
∵点 在平面内， ，
∴在 中， ，
∴点P在以点E为圆心， 为半径的圆上，
在直线 中，当 时， ；
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴点C与点N重合，
∴当P与M重合时， 取最大值，最大值为 ，
故答案为：5．
12． 6 5
【分析】本题考查了两条直线相交的问题，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
（1）令 ，则可计算出点 的坐标，继而得到 长；
（2）令 ，则有： ， ， ， ，即当点 与点 分别
在两个一次函数上时， 最大，解出 、 求出 即可．
解：（1）令 ，则 ，解得 ，
，
；
故答案为：6；
（2）在函数 和 中，
令 ，则有：
， ，
解得： ， ，
当点 与点 分别在两个一次函数上时， 最大，
．
点 与点 是 内部（包括边上）的点，则 的最大值为5．
故答案为：5
13．
【分析】如图，连接 交 于 ，连接 ．因为 ，推出 ，此时 的值最小，求出直线 ， 的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．
解：如图，连接 交 于 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，此时 的值最小，
四边形 为正方形，点E是 的中点，
， ， ， ，
，
设直线 解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
则有 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
由 ，解得 ，
，
故答案为 ， ．
【点拨】本题考查轴对称，坐标与图形的性质，最短问题，正方形的性质，一次函数的性质等知识，
解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
14．
【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了两条直线相交问题，三角形的 面积公式，两点间距离
公式，求出交点坐标是解本题的关键．判断出 时， 最小，利用三角形的面积建立方程求解即
可得出结论．
解：由 ，
∴ ，
由一次函数 ，
令 ，解得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵当 时， 最小，
此时 ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
15．
【分析】设 ，过点 作 轴，证明 ，求得 的坐标，可得点 在直线
上，作 关于 的对称点 ，连接 交直线 轴于点 ，求得 的坐标，继而根
据 进行求解即可．
解：如图，设 ，过点 作 轴，则 ，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
，
∴点 在直线 上，
如图，作 关于 的对称点 ，连接 交直线 轴于点 ，∵ 与x轴的夹角是 ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴点Q在y轴上， ，
∴ ，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性
质，一次函数的应用，轴对称的性质等知识，熟练掌握利用轴对称求最短路径的方法是解题的关键．
16．8
【分析】先求解一次函数 与坐标轴的交点坐标，再利用P的位置进行讨论，结合勾股
定理可得答案．解：∵ ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 边上的一个动点，
如图，当 在第二象限时， ，则 ，
当 在第四象限时，如图， ， ，此时 ，
∴ 取得最小值时， 在线段 上，即 ；
此时当 时， 最小，P，Q重合时，P，Q之间距离为0，
设 ，
此时 ，如图，
∴ ；
故答案为：8
【点拨】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，垂线段最短的含义，勾股定理的应用，矩形的
定义，坐标与图形，二次根式的除法运算，清晰的分类讨论是解本题的关键．
17．6
【分析】取 的中点E，连接 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 ，
当 时， 最小，推出四边形 面积的最小，根据点 在直线 上，得到
，推出 ， ，根据 ，得到 ，根据 即可得到答案．
解：取 的中点E，连接 ，
∵ ，∴ ，
当 时， 最小， 就最小， 与 都最小， 就最小，
∵点 为直线 上一点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了一次函数，直角三角形，垂线段，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌
握一次函数图象上的点坐标适合解析式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等性质，
三角形面积计算公式．18． /
【分析】由点P的运动确定 的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段 ，当线段 与 垂直时，
线段 的值最小．
解：由已知可得 ，
∴三角形 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
又∵P是线段 上动点，将线段 绕点A逆时针旋转 ，
∵P在线段 上运动，所以 的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时分别确定 的起点与终点，
∴ 的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段 ，
∴当线段 与 垂直时，线段 的值最小，
在 中， ，
∴ ，
又∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线
段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
19．（1） ；（2） ；（3）最大值为【分析】（1）将点 坐标代入解析式可求 的值；
（2）由点 在直线 上可得点 坐标，由三角形面积公式可求 与 的函数关系式；
（3）根据（2）中 解析式，点 的横坐标取值范围即可求 面积的最大值．
（1）解： 直线 过点 ，
，
；
（2）解：∵点 的坐标为 ，
∴ ，
点 在直线 上，
点 ，
，
，
点 在线段 上的一个动点，
；
（3）解： 点 是线段 上的一个动点， ，且 ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ．
【点拨】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点
的坐标 ，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键．
20．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1） ， ， 轴，垂足为 ， 轴，垂足为 ，可求出 ， 的长， ， ，可证 ，由此即可求解；
（2）先计算出直线 的解析式，从而求出点 的坐标，已知点 的坐标，从而可以将直线
变形为 ，根据直线与线段 相交，由此即可求解；
（3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知， ， 的最大值为 ，
，过点 作 轴于 ，根据勾股定理即可求解．
（1）解：∵ 轴， 轴，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为： ．
（2）解：设经过点 ， 的直线的解析式为 ，且 ， ，
∴ ，解方程组得， ，
∴经过点 ， 的直线的解析式为 ，
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，则直线的解析式表示为 ，
若直线经过点 ，则 ，解方程得， ；若直线经过点 ，则 ，
∴ 的取值范围是 ．
（3）解：根据“三角形两边之差小于第三边”可知， ，
∴ 的最大值为 ，则点 为直线 与 轴的交点，由（1）可知， ，如图所示，
过点 作 轴于 ，根据勾股定理得， ，
设 ，则 ，解方程得， ，
∴ ，
∴当 取得最大值时， 的长为 ．
【点拨】本题主要考查一次函数，直角三角形的勾股定理，全等三角形的判定，掌握一次函数的运用
是解题的关键．
21．（1）A（2，0）； ；（2）当 时，MN的值最小为1；（3） 或 ．
【分析】（1）把点得坐标代入函数解析式列方程求解；
（2）利用两点之间的距离公式列出关系式，再依据不等式得性质求最值；
（3）利用三角形全等的性质求出点C的坐标，再代入函数解析式求出m．
解：（1）∵直线 与y轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，令 ， ，
∴ ，
∵直线 与x轴交于点D，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 时， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴MN随m的增大而增大．
∵ ，
∴当 时，MN有最小值，
当 时，MN的值最小为1；
（3）①当点C在x轴上方时，如图．
过D作 交 于点E，过C作 轴于F，过E作 轴于G．∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵点E在直线 上，
∴设 ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点C在直线 上，
∴ ，解得 ，
∴ ，将点 代入 中， ， ，
②当点C在x轴下方时，记为 ，如图．∵ ， ，
∴ ，
过C作 轴于点P，延长CP交 于点Q，连接CD，
∵ ， ， ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 或 ．
【点拨】本题考查了一次函数的基础知识，综合考核一次函数，全等三角形，两点间的距离等，是一
道综合性较强的题．
22．（1） ；（2） ；（3） ，最大值
【分析】（1）首先把点 代入直线 得出 的值， 再进一步代入直线 求得 的
值即可；
（2）当 直线 时, 线段 最短，进而得出 的坐标即可；
（3）由三角形的三边关系得， ,当 三点共线时, ，, 即
最大, 即为 ,进而解答即可.
解：（1）把点 代入直线 ，
解得： ，把 代入 ，
解得： ，
∴ ， ；
（2）当 垂直于直线 时，线段 最短，把直线 与y轴的交点 标记为E，
当 时， ，
∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
过点B作 于点M，
∴ ，
∴ ，
∴B ；
（3）在 轴上取点 ，由三角形的三边关系得， ,
当 三点共线时, ，, 即 最大, 即为 ,
所以点 在 上,
把 代入 中,
得 ,得 ,
∴ ,
∵ ,
过点 作 于点 ，
，
【点拨】本题考查了一次函数的综合题，关键是根据一次函数图象上点的坐标特征与垂线段最短的性
质解答，结合图形，选择适当的方法解决问题.
23．（1） ， ；（2） ，直线 的解析式为 ；
（3）
【分析】（1）分别令 ，求得两个函数对应的x的值，即可求出点A、B的坐标，联立两个函数的
解析式，即可求出点P的坐标；
（2）连接OP，则点Q的坐标为 ，则四边形 的面积＝ 的面积+ 的面积，根据
已知的两个条件可得关于a、b的方程，解方程求出a、b，可得点P、B的坐标，再利用待定系数法求解即
可；
（3）当 时， 的值最小，当点F与B重合时， 的值最大，然后分别利用等面积法和两
点间的距离公式求解即可得出答案．
解：（1）对于 ，
令 ，可得 ，
∴ ，
对于 ，
令 ，可得 ，∴ ，
由 ，解得， ，
∴ ；
（2）连接OP，则点Q的坐标为 ，
∵四边形 的面积＝ 的面积+ 的面积，
∴ ，
整理得， ①，
∵ ，
∴ ，即 ②，
把②代入①并整理得 ，
∴ （负值舍去）， ，
∴ ，B ，
设直线 的解析式为 ，
则有 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）如图，由题意，Q ，B ， ，
∴ 的面积 ，
∴ ， ，
∵点F在线段 上，
∴ 时， 的值最小，最小值 ，
当点F与B重合时， 的值最大，此时 ，
∴ ．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、直线与坐标轴的交点、
勾股定理、方程组的求解等知识，熟练掌握一次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
24．（1）① ；② ，理由见分析；（2）4
【分析】（1）由矩形 ，可得 ， ，由勾股定理得， ，即
，即当 最大时， 最大，可知当 与 重合时， 最大，即 最大， ，
， ，计算求解即可；②计算求解 ，则 ，由勾股定理得，，即 ，整理得， ；
（2）如图，延长 到 ，作 ，证明 ，则 ， ，
设 ，则 ， ， ， ， ，则
， ，
，即
，求出满足要求的解，然后计算作答即可．
（1）①解：∵矩形 ，
∴ ， ，
由勾股定理得， ，即 ，
∴当 最大时， 最大，
∵等边三角形 ，
∴ ， ，
∴当 与 重合时， 最大，即 最大，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得， ，
故答案为： ；
②解： ，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，由勾股定理得， ，即 ，整理得， ，
故答案为： ．
（2）解：如图，延长 到 ，作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得， 或 （舍去），
∴ ，
∴ 的长度为 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，一次函数的应用，含的直角三角形，勾股定理，
全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
