文档内容
专题18 机械振动
目录
题型一 简谐运动的基本特征及应用.............................................................................................1
类型1 简谐运动基本物理量的分析......................................................................................1
类型2 简谐运动的周期性与对称性......................................................................................5
类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析..........................................................................8
题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用.......................................................................15
题型三 单摆及其周期公式...........................................................................................................21
类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用........................................................................22
类型2 单摆的振动图像及运动学特征................................................................................27
题型四 受迫振动和共振...............................................................................................................31
类型1 受迫振动概念及规律的理解应用............................................................................32
类型2 共振曲线的应用........................................................................................................34
类型3 “驱动摆”的分析.......................................................................................................36
题型一 简谐运动的基本特征及应用
对简谐运动的理解
受力特点 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增
运动特点
大，v减小
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能
能量
守恒
做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，
周期性 变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化
周期为
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝
OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
对称性 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即t ＝t
PO OP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即t ＝t
OP PO
(4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速
度、加速度大小相等，方向相反
类型1 简谐运动基本物理量的分析
【例1】如图所示，质量为m的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一
起在光滑水平面上做简谐运动，周期为T，振动过程中m、M之间无相对运动，设弹簧的
劲度系数为k，物块和木板之间的动摩擦因数为μ，则下列说法正确的是（ ）A．若t时刻和（t＋Δt）时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则Δt一定等于
的整数倍
B．若Δt＝ ，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相同
C．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力
D．当整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间的摩擦力大小等于 kx
【例2】．一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k，一端固定，另一端与质量为m、
带电量为 的小球相连，静止在光滑绝缘的水平面上，当施加一水平向右的匀强电场E后
（如图所示），小球开始作简谐运动，关于小球运动有如下说法中正确的是（ ）
A．球的速度为零时，弹簧伸长
B．球做简谐运动的振幅为
C．运动过程中，小球的机械能守恒
D．运动过程中，小球动能的改变量、弹性势能的改变量、电势能的改变量的代数和为
零
【例3】．（2023春·北京大兴·高三统考期中）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，
在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10cm。小球经过O点开始计时并向右运动，经
过0.5s首次到达B点，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧振子的振幅是10cm
B．当振子运动到B时，位移大小是10cm
C．弹簧振子的周期是1s
D．振子由O运动到B的过程中速度减小
【例4】对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是（ ）①甲：倾角为 的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略不
计
②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提
起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动
③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（ ）之间来回运动
④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动
A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．都可以
类型2 简谐运动的周期性与对称性
【例1】弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达
M点用了0.3秒，又经过0.2秒第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间
可能是（ ）
A． 秒 B． 秒 C．1.4秒 D．1.6秒
【例2】．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）一质点做简谐运动，先后以
相同的速度依次通过A、 两点，历时1s；质点通过 点后再经过1s又第二次通过 点。
在这 内质点通过的总路程为12 ，则质点的振动周期和振幅分别是（ ）
A．3s， B．4s， C．4s， D．2s，
【例3】如图所示，倾角 的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面
的固定挡板，A、B两物体固定于轻弹簧两端，其中B的质量为 。对物体B施加一
沿斜面向下大小为20N的压力F，使B静止于P点。撤掉力F，当B运动至最高点时，A恰
好要离开挡板。重力加速度 ，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（
）
A．弹簧恢复原长时B的速度达到最大 B．物块B运动过程中最大加速度为
C．物块A的质量为2kg D．物块A受挡板支持力的最大值为30N
【例4】．如图所示。将质量为m的小球悬挂在一轻质弹簧下端，静止后小球所在的位置
为O点（图中未标出）。现将小球从O点向下拉至弹簧对小球的弹力大小为2mg（g为重力加速度），然后释放，已知小球在运动过程中弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。
则小球位于最高点时弹簧的弹力大小为（ ）
A．2mg B．0 C．mg D． mg
类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析
【例1】．动量p随位移x变化的图像称作相轨，它在理论物理、近代数学分析的发展中扮
演了重要的角色。如图甲所示，光滑水平面上有一弹簧振子。现以弹簧原长时物块的位置
为坐标原点O，取向右为正方向，建立 坐标系。当物块偏离O点的位移为x时，弹簧振
子的弹性势能为 ，其中k为弹簧的劲度系数。当弹簧振子的机械能为E时，该弹簧振
子的部分 图像如图乙中曲线所示，M和N分别为曲线与x轴和p轴的交点。下列说法
正确的是（ ）
A．曲线 是抛物线的一部分
B．曲线 对应物块从O点向最左侧运动的过程
C．该弹簧振子的振幅为
D．当物块运动到振幅的 处，其动量大小为其动量最大值的
【例2】．轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面
上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落h后落地，箱子落地后瞬间速度减为零
且不会反弹。此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未
碰到箱底，弹簧劲度系数为k，箱子和小球的质量均为m，重力加速度为g。忽略空气阻力，
弹簧的形变始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）A．箱子下落过程中，箱子机械能守恒
B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为3mg
C．箱子落地后，小球运动的最大速度为
D．箱子与地面碰撞损失的机械能为
【例3】．如图，一倾角为45°的光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一劲度系数为k
的轻质弹簧，自然状态下弹簧上端距斜面顶端距离为l。将质量为m的物块（可视为质
点）从斜面顶端由静止释放，经时间t弹簧的最大压缩量为 。已知弹簧弹性势能表
达式为 ，其中x是弹簧形变量，k为弹簧劲度系数，则下列说法正确的是（ ）
A．物块速度为零时的压缩量为
B．物块的最大动能为
C．物块运动过程中的最大加速度为
D．物块自开始压缩弹簧到分离前，做简谐振动
【例4】．如图甲，“笑脸弹簧小人”由头部、弹簧及底部组成，将弹簧小人静置于桌面
上，轻压头部后静止释放，小人不停上下振动，非常有趣．可将其抽象成如图乙所示的模
型，头部的质量为m，弹簧质量不计，劲度系数为k，底部的质量为 ．已知当弹簧形变
量为x时，其弹性势能 ，不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度大小为g，弹簧
始终在弹性限度内，下列说法中正确的是（ ）A．将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后由静止释放，底部不离开桌面，下压的最大
距离为
B．将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后由静止释放，底部不离开桌面，压力做功的
最大值为
C．若弹簧小人在振动过程中底部恰好不离开桌面，则弹簧的最大弹性势能为
D．若刚释放时头部的加速度大小为g，则小人在运动过程中头部的最大速度为
题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
0
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质
点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方
向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2．简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移
等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
【例1】如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：(1)振动的振幅；
(2)振动的频率；
(3)在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向；
(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内质点的运动情况。
(7)振动质点离开平衡位置的最大距离；
(8)写出此振动质点的运动表达式；
(9)振动质点在0～0.6 s的时间内通过的路程；
(10)振动质点在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时的振动方向；
(11)振动质点在0.6～0.8 s这段时间内速度和加速度是怎样变化的？
(12)振动质点在0.4～0.8 s这段时间内的动能变化是多少？
【例2】“五一”的大明湖波光粼粼，吸引了很多游客。湖面上一点O以0.1m振幅上下振
动，形成圆形水波（不考虑水波传播过程中的振幅衰减），如图所示，同一直线上A、O、
B三点，OA间距离为2.1m，OB间距离为1.5m。某时刻O点处在波峰位置，观察发现1.4s
后此波峰传到A点，此时O点正通过平衡位置向上运动，OA间还有一个波峰。将水波近
似为简谐波。
（1）求此水波的传播速度、周期和波长。
（2）以O点处在平衡位置向下振动为0时刻（此时各点已经起振），请画出B点的振动图
像。并判断此时刻之后8.1s时B点的位移。
【例3】一弹簧振子A的位移 随时间 变化的关系式为 ，位移 的单位为
m，时间 的单位为s，则（ ）
A．弹簧振子的振幅为0.2m
B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t=0.2s时，振子的运动速度为0
D．若另一弹簧振子B的位移 随时间变化的关系式为 ，则B的振幅
和周期分别是A的振幅和周期的2倍
【例4】一个在 轴方向做简谐运动的质点其部分振动图像如图所示，振动周期为 ，则该
质点在0到 时间内走过的路程为（ ）A． B． C． D．
【例5】．一个小球与轻弹簧连接套在光滑水平细杆上，在A、B间做简谐运动，O点为
AB的中点。以O点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标系，得到小球振动图像如图所
示。下列结论正确的是（ ）
A．小球振动的频率是2Hz B． 时，小球在A位置
C． 时，小球经过O点向右运动 D．小球的振动方程是
【例6】．如图甲所示质量为m的B木板放在水平面上，质量为2m的物块A通过一轻弹簧
与其连接。给A一竖直方向上的初速度，当A运动到最高点时，B与水平面间的作用力刚
好为零。从某时刻开始计时，A的位移随时间变化规律如图乙，已知重力加速度为g，空气
阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A．物块A做简谐运动，回复力由弹簧提供
B．物体B在 时刻对地面的压力大小为
C．物体A在运动过程中机械能守恒
D．物体A的振动方程为题型三 单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F ＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回
回
复力F 与位移x的方向相反。
回
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，
F ＝F －mgcos θ。
向 T
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F ＝＝0，F ＝mgcos θ。
向 T
②当摆球在最低点时，F ＝m，F 最大，F ＝mg＋m。
向 向 T
2．周期公式T＝2π的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用
【例1】图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感
器连接的计算机屏幕所显示的 图像，其中F的最大值 ，已知摆球质量
，重力加速度取 ， 取 ，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的
是（ ）
A．单摆周期为
B．单摆摆长为
C．F的最小值
D．若仅将摆球质量变为 ，单摆周期不变
【例2】如图，半径为R光滑圆弧面上有一个质量为m小球，把它从最低点移开一小段距
离，放手后，小球以最低点为平衡位置左右摆动，且可近似认为其运动为简谐振动。
（1）求小球做简谐振动的周期T；
（2）已知做简谐振动的物体，所受的回复力与其偏离平衡位置的位移存在正比例关系。求
小球做简谐振动时回复力与偏离平衡位置位移的比例系数k是多少。 （空气阻力可忽略，重力加速度为g，当偏离角度θ很小时，可认为sinθ≈tanθ≈θ，且可认为小球偏离平衡位置
的位移与小球到圆弧圆心的连线垂直）
【例3】．如图所示，已知该单摆的摆长为 ，摆球的质量为 ，摆动时最大偏角
为5°。已知 ， ， 。求：
（1）振动的周期；
（2）摆球的最大回复力；
（3）摆球运动的最大动能。
【例4】．随着祖国航天事业的蓬勃发展，在未来的某天，中国航天员也将登上月球。如
图，假设航天员在月球上做了一次单摆实验，将质量为m的摆球从平衡位置O点左侧的A
点由静止释放，已知摆长为L，摆线偏离竖直方向的最大夹角 ，月球半径为地
球半径的 ，月球质量为地球质量的 ，地球表面处的重力加速度为g，求：
（1）月球表面处的重力加速度的大小；
（2）摆球从静止释放到第一次经过平衡位置的时间内，摆球重力冲量的大小；
（3）摆球从静止释放到第二次经过平衡位置的时间内所走的路程。
【例5】．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。
时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低
位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线。已知摆长为 ，A、B之间的最大摆角为 （取 ， ）。求：
（1）当地的重力加速度大小；
（2）摆球在A点时回复力的大小；
（3）摆球运动过程中的最大动能。
类型2 单摆的振动图像及运动学特征
【例1】图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位
置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像：
（1）写出摆球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
（2）若当地的重力加速度为 ，取 ，求单摆的摆长。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）单摆在 两点之间做简谐运动， 点为平衡位置，
如图甲所示，单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），取重力加速度大小
，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的振幅为 B．单摆的摆动频率为
C． 时，摆球在 点 D．单摆的摆长为
【例3】如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g
取10m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin（2πt）cm
B．单摆的摆长约为2.0m
C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐减小
D．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大
【例4】．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的
位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间 变化的图像，如图乙所示，不计空
气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（ ）
A． 时，摆球所受回复力最大，方向向右
B． 时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右
C．从 到 的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．该单摆摆长约为2m
【例5】．如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取 ，下列说法正确的是
（ ）A．摆长为1.6m，起始时刻速度最大 B．摆长为2.5m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6m，A、C点的速度相同 D．摆长为2.5m，A、B点的速度相同
题型四 受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
振动
简谐运动 受迫振动 共振
项目
受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
由系统本身性质决 由驱动力的周期或频
振动周期或频率 定，即固有周期T 或 率决定，即T＝T 或 T ＝T 或f ＝f
0 驱 驱 0 驱 0
固有频率f f＝f
0 驱
振动物体的机械能不 由产生驱动力的物体 振动物体获得的能量
振动能量
变 提供 最大
弹簧振子或单摆 机械工作时底座发生 共振筛、声音的共鸣
常见例子
(θ≤5°) 的振动 等
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，f与f 越接近，振幅A越大；当f＝f 时，振幅A最大。
0 0
(2)做受迫振动的系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
类型1 受迫振动概念及规律的理解应用
【例1】．一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐
渐增大的过程中，该物体的振幅（ ）
A．一定逐渐增大 B．一定逐渐减小
C．可能先增大，后减小 D．可能先减小，后增大
【例2】如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动
一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。
圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫
振动，小球振动稳定时，下列说法正确的是( )A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
【例3】把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子
一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成 10次全振动
用时15 s．在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高，
增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是(
)
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．减小筛子质量 D．减小筛子质量
【例3】(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发
明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
类型2 共振曲线的应用
【例1】一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系图线）
如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．此单摆的固有周期约为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率减小
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
E．此单摆的振幅是8 cm
【例2】．同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振幅A随驱动力频率f变化的图
像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若驱动力的频率为f，乙单摆振动的频率大于f
0 0
B．若驱动力的频率为f，乙单摆振动的频率等于f
0 0
C．若驱动力的频率为3f，甲、乙单摆振动的振幅相同
0
D．若驱动力的频率为3f，甲、乙单摆振动的频率均为3f
0 0
【例3】正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω 匀速转动时，机器的振动并不强烈；切断
0
电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动；此后，飞轮
转速继续变慢，机器的振动也随之减弱。在机器停下来之后，若重新启动机器使飞轮转动
的角速度从0较慢地增大到ω，在这一过程中（ ）
0
A．机器不一定会发生强烈振动
B．机器一定会发生强烈振动
C．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度为ω
0D．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度肯定小于ω
0
类型3 “驱动摆”的分析
【例1】如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆
长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。
图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ）
A．a、b、c单摆的固有周期关系为T=T
