文档内容
专题 21.2 根的判别式与含参问题
◆ 思想方法
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
◆ 典例分析
【典例1】若关于x的方程|x2−4x+3)=x+t恰有三个根，则t的值为（ ）
3 1 3 1
A．−1 B．−1或− C．−1或− D．− 或−
4 2 4 2
【思路点拨】
先化简绝对值方程为两个一元二次方程①x2−5x+3−t=0和②x2−3x+3+t=0，再分三种情况讨论：
（1）方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；（2）方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；
（3）两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根．针对每种情况分别利用根的判别
式列出方程或不等式求解并验证，即可得到答案．
【解题过程】
解：∵|x2−4x+3)=x+t，∴x2−4x+3=x+t或x2−4x+3=−x−t，
整理得x2−5x+3−t=0①或x2−3x+3+t=0②，
设方程①的判别式为Δ ，方程②的判别式为Δ ，
1 2
若原方程恰有三个根，则有三种可能：
{Δ =25−4(3−t)>0)
（1） 1 ，
Δ =9−4(3+t)=0
2
13
{ t>− )
4
∴ ，
3
t=−
4
3
∴t=− ，
4
3
此时，|x2−4x+3)=x−
，
4
3 3
∴x2−4x+3=x− 或x2−4x+3=−x+
，
4 4
5±❑√10 3
解得x= ，或x =x = ，
2 1 2 2
3
∴满足题意的t的值是t=− ；
4
{Δ =25−4(3−t)=0)
（2） 1 ，
Δ =9−4(3+t)>0
2
13
{ t=− )
4
∴ ，
3
t<−
4
13
∴t=− ，
4
13 13
当t=− 时， |x2−4x+3)=x− ，
4 4
13 13
∴x2−4x+3=x− 或x2−4x+3=−x+
，
4 4
5 3±❑√10
解得x =x = ，或x= ，
1 2 2 213
∵x− ≥0，
4
13
∴x≥ ，
4
3±❑√10 13
但x= < ，不满足题意，舍去；
2 4
{Δ =25−4(3−t)>0)
（3） 1 ，且两方程恰有一个相同的根，
Δ =9−4(3+t)>0
2
13
{ t>− )
4
∴ ，
3
t<−
4
13 3
∴− 0，三个解均不合题意，舍去；
3
综上所述，t的值为−1或− ．
4
故选B．
◆ 学霸必刷
1．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于x的方程mx2−(m+2)x+2=0有且只有一个根（相同的两个根视为一个根），则m的值为（ ）
A．m=0 B．m=2 C．m=1 D．m=0或m=2
【思路点拨】
本题考查了一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解，根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相
等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根，解一元一次一次方程即可得出结果．
【解题过程】
解：当m=0时，原方程为：2x+2=0，
解得：x=−1，此时有且只有一个根；
当m≠0时，原方程为：mx2−(m+2)x+2=0，即为一元二次方程，
∵一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0有且只有一个根，
∴ Δ=b2−4ac=0，
∴(m+2) 2−4×2m=0，即(m−2) 2=0，
∴m=2，
综上，m=0或m=2时，关于x的方程mx2−(m+2)x+2=0有且只有一个根，
故选：D．
2．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法正确的（
）
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+❑√5x+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax +b) 2 ．
0 0
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
【思路点拨】
本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵
活应用是解题关键．
根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中b2−4ac≥0有两个实数根、b2−4ac>0有两个不相等的
−b±❑√b2−4ac
实数根、b2−4ac<0无解，以及求根公式x= 和等式的性质逐个排除即可．
2a
【解题过程】解：①若a+b+c=0，则x=1是原方程的解，即方程至少有一个根，由一元二次方程的实数根与判别式的
关系与判别式的关系可知：b2−4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴Δ=b2−4ac=0−4ac>0，
∴−4ac>0，
又∵方程ax2+❑√5x+c=0的判别式为Δ=b2−4ac=5−4ac>0，
∴方程ax2+❑√5x+c=0有两个不相等的实数根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
∴c(ac+b+1)=0，
∴c=0或ac+b+1=0，
即有两种可能性，故③错误；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
0
则根据求根公式的：
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
x = 或x = ，
0 2a 0 2a
∴2ax +b=❑√b2−4ac或2ax +b=−❑√b2−4ac，
0 0
∴b2−4ac=(2ax +b) 2 ，
0
故④正确，
正确的为：①②④．
故选：B．
3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根，且其中
一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（
）
①方程x2−x−2=0是倍根方程；②(x−2)(mx+n)=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若p，q满足
pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程ax+bx+c=0是倍根方程，则必有
2b2=9ac．
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③
【思路点拨】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到
m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足pq=2，则
px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否
为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当x =2x ，或2x =x 时，进一步化简，得出关系式，进行判断
1 2 1 2
即可．
【解题过程】
解：①解方程x2−x−2=0
(x−2)(x+1)=0，
∴x−2=0或x+1=0，
解得，x =2，x =−1，得，x ≠2x ，
1 2 1 2
∴方程x2−x−2=0不是倍根方程；
故①不正确；
②若(x−2)(mx+n)=0是倍根方程，x =2，
1
因此x =1或x =4，
2 2
当x =1时，m+n=0，
2
当x =4时，4m+n=0，
2
∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0，
故②正确；
③∵pq=2，则：px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，
1
∴x =− ，x =−q，
1 p 2
2
∴x =−q=− =2x ，
2 p 1
因此是倍根方程，
故③正确；
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
④方程ax2+bx+c=0的根为：x = ，x = ，
1 2a 2 2a
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
若x =2x ，则 = ×2，
1 2
2a 2a
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
即 − ×2=0，
2a 2a
b+3❑√b2−4ac
∴ =0，
2a∴b+3❑√b2−4ac=0，
∴3❑√b2−4ac=−b，
∴9(b2−4ac)=b2，
∴2b2=9ac．
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
若2x =x 时，则， ×2= ，
1 2
2a 2a
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
则 ×2− =0，
2a 2a
−b+3❑√b2−4ac
∴ =0，
2a
∴−b+3❑√b2−4ac=0，
∴b=3❑√b2−4ac，
∴b2=9(b2−4ac)，
∴2b2=9ac．
故④正确，
∴正确的有：②③④．
故选：B．
4．（2024九年级·全国·竞赛）若关于x的一元二次方程ax2+(2a−1)x+a−13=0至少有一个整数根，且
a为正整数，则满足条件的a共有 个．
【思路点拨】
若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式Δ=b2−4ac≥0，建立关于a的不等式，求出根的判别
式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考
查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及
根与系数的关系是解本题的关键．
【解题过程】
解：∵关于x的一元二次方程ax2+(2a−1)x+a−13=0有整数根，
∴Δ=(2a−1) 2−4a(a−13)=48a+1≥0且a≠0，1
解得a≥− 且a≠0，
48
−(2a−1)±❑√48a+1 1 ❑√48a+1
∴方程的根为x= =−1+ ± ，
2a 2a 2a
2a−1 1 a−13 13
根据根与系数的关系可得x +x =− =−2+ ，x x = =1− ，且a为正整数，
1 2 a a 1 2 a a
∴1≤a≤13，
∵48a+1为完全平方数且a为正整数，
∴48a+1=49或48a+1=289或48a+1=625，
解得a=1或6或13，
即满足条件的a共有3个，
故答案为：3．
5．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于x的方程(m−3)x2+(m−11)x−8=0的根都是整数，且m
√7−m ❑√7−m
满足等式❑ = ，则所有满足条件的整数m的值之和是 ．
m−2 ❑√m−2
【思路点拨】
本题考查了分类思想，二次根式有意义的条件，整数解的意义，分类计算求解，结合有意义的条件，计算
确定m的值，后求和即可．
【解题过程】
√7−m ❑√7−m
解：∵❑ = ，
m−2 ❑√m−2
∴7−m≥0,m−2＞0，
解得2 ，
7
1−a
∴不等式组的解为 0时，原方程可
化为：x2−2x−8=m或x2−2x−8=−m，分别表示出两个方程的Δ，再分两种情况：当x2−2x−8=m
有两个解，x2−2x−8=−m有一个解时；当x2−2x−8=m有一个解，x2−2x−8=−m有两个解时，分
别进行计算即可得到答案．
【解题过程】
解：当m=0时，方程为x2−2x−8=0，
此时Δ=(−2) 2−4×1×(−8)=4+32=36>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
当m>0时，原方程可化为：x2−2x−8=m或x2−2x−8=−m，
当x2−2x−8=m时，整理得：x2−2x−(8+m)=0，
此时Δ=(−2) 2−4×[−(8+m))=4+4(8+m)=4m+36，
当x2−2x−8=−m时，整理得：x2−2x−(8−m)=0，
此时Δ=(−2) 2−4×[−(8−m))=4+4(8−m)=36−4m，
∵关于x的方程|x2−2x−8)=m有三个解，
∴当x2−2x−8=m有两个解，x2−2x−8=−m有一个解时，{4m+36>0)
得 ，
36−4m=0
解得：m=9，
当x2−2x−8=m有一个解，x2−2x−8=−m有两个解时，
{4m+36=0)
得 ，
36−4m>0
解得：m=−9，
∵ m>0，
∴m=−9不符合题意，
∴m=9，
∴若关于x的方程|x2−2x−8)=m有三个解，则实数m的值是9，
故答案为：9．
9．（23-24九年级上·重庆潼南·阶段练习）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均
数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是 若三位数abc是“勤
劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程
(a−5)x2+2ax+a−8=0有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ．
【思路点拨】
40 a+c 16
根据一元二次判别式得a≥ ，再由各位数字之和大于7小于10，b= ，可得a+c= （舍）或
13 2 3
a+c=6，分情况讨论a的取值，从而求得满足条件的所有“勤劳数”即可求解．
【解题过程】
9+9
解：十位数字的最大数为9，则9= ，
2
∴最大的“勤劳数”是999，
∵百位数字a使得关于x的一元二次方程(a−5)x2+2ax+a−8=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=(2a) 2−4×(a−5)×(a−8)=52a−160≥0，
40
解得a≥ ，
13
∵各位数字之和大于7小于10，
∴a+b+c=8或a+b+c=9，a+c
又∵b= ，
2
16
∴a+c= （舍）或a+c=6,
3
若a=4，则c=2，b=3，该数为432，
若a=5，则c=1，b=3，该数为531，
若a=6，则c=0，b=3，该数为630，
∴432+531+630=1593，
故答案为：1593．
10．（22-23九年级上·山东聊城·期末）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2−4x+4=0与
x2−4mx+4m2−4m−5=0的解都是整数？
【思路点拨】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系、解一元二次方程、解一元一次不等式，根据根的判
别式确定m的范围是解答本题的关键．
5
根据题意，得到m≠0，且两个方程判别式Δ≥0，由此得到− ≤m≤1，根据m是整数，得到m=−1，
4
m=1，分别计算两种情况下，两个方程解的情况，得到当m=1时，关于x的一元二次方程
mx2−4x+4=0与x2−4mx+4m2−4m−5=0的解都是整数，由此得到答案．
【解题过程】
解：根据题意得：
方程mx2−4x+4=0与x2−4mx+4m2−4m−5=0是关于x的一元二次方程，且都有解，
∴ m≠0，Δ≥0，
mx2−4x+4=0，
∴ Δ=16−16m≥0，
解得：m≤1；
x2−4mx+4m2−4m−5=0，
∴ Δ=16m2−16m2+16m+20≥0，
5
即4m+5≥0，解得：m≥− ，
4
5
∴ − ≤m≤1，
4
∵ m是整数，
∴ m=−1，m=0（舍去），m=1，当m=−1时，
两个方程分别为：x2+4x−4=0，x2+4x+3=0，
其中x2+4x−4=0的解为x=−2±2❑√2，不是整数，
∴ m≠−1，
当m=1时，
两个方程分别为：
x2−4x+4=0，
此方程的解为：x =x =2，
1 2
x2−4x−5=0。
此方程的解为：x =−1，x =5，
1 2
两个方程的解都是整数，
∴当m=1时，关于x的一元二次方程mx2−4x+4=0与x2−4mx+4m2−4m−5=0的解都是整数．
3k2−9k
11．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）已知关于x的方程x2−2x+ =3−2k有四个不同
x2−2x−2k
的实数根，求k的取值范围．
【思路点拨】
先分析当k=0时和k≠0时，方程的根的情况，排除不符合条件的情况；再用换元法，令x2−2x−2k= y，
将原方程转化为关于y的方程，根据题意原方程有4个不同的实数根则关于y的方程必须有两个不同的实
数根，根据根的判别式，求出k的取值范围，再将y的值代入关于x的方程，根据根的判别式即可进行解
答．
【解题过程】
解：①当k=0时，原方程为： x2−2x=3，
解得：x =3,x =−1，
1 2
只有两个实数根，不符合题意；
3k2−9k
②当k≠0时，x2−2x+ =3−2k，
x2−2x−2k
3k2−9k
令x2−2x−2k= y，则原方程为：y+ =3−4k，
y
两边同时乘以y得：y2+3k2−9k=3 y−4ky，y2+(4k−3)y+(3k2−9k)=0
整理得：y2−3 y+4ky+3k2−9k=0，即∵原方程有4个不同是实数根，
∴关于y的方程y2+(4k−3)y+(3k2−9k)=0有两个不同的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(4k−3) 2−4×(3k2−9k)=4k2+12k+9=(2k+3) 2>0
3
∴k≠− ，
2
解关于y的方程y2+(4k−3)y+(3k2−9k)=0得：
−4k+3±❑√(2k+3) 2
y= ，
2
y =−k+3，y =−3k，
1 2
∵x2−2x−2k≠0，
∴y≠3,y≠0，
当y=−k+3时，x2−2x−2k=−k+3，
整理得：x2−2x−k−3=0，
∵方程x2−2x−k−3=0有两个不同的实数根，
∴Δ=b2−4ac=4k+16>0，
解得：k>−4；
当y=−3k时，x2−2x−2k=−3k，
整理得：x2−2x+k=0，
∵方程x2−2x+k=0有两个不同的实数根，
∴Δ=b2−4ac=4−4k>0，
解得：k<1；
3 3
综上：k的取值范围为−4x )，且 1 为整数，求整数m所有可能的值．
1 2 1 2 x
1
【思路点拨】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识．（1）计算一元二次方程根的判别式Δ=1>0，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
x +3 3
（2）利用公式法求出方程的解为x=m+1或x=m，根据x >x 得到x =m+1，把 1 变形为1+ ，
1 2 1 x m+1
1
x +3
根据 1 为整数， m为整数即可得到m+1=±1或m+1=±3，即可求出m的值．
x
1
【解题过程】
（1）证明：∵a=1,b=−(2m+1),c=m2+m，
∴Δ=b2−4ac=[−(2m+1)) 2 −4(m2+m)=1>0，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：x2−(2m+1)x+m2+m=0，
∵Δ=b2−4ac=[−(2m+1)) 2 −4(m2+m)=1>0，
∴方程都有两个不相等的实数根，
−b±❑√b2−4ac 2m+1±1
∴x= = ，
2a 2
∴x=m+1或x=m，
∵x >x ，
1 2
∴x =m+1，
1
x +3 3 3
∴ 1 =1+ =1+ ，
x x m+1
1 1
x +3
1
∵ 为整数，
x
1
3
∴ 也为整数，
m+1
∵m为整数，
∴m+1=±1或m+1=±3，
∴整数m所有可能的值为−4，−2，0，2．
13．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若x 、x 是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若满
1 2( 1)
足|x −x )=|x ⋅x )，则称此类方程为“差积方程”．例如： x− (x−1)=0是差积方程．
1 2 1 2 2
（1）判断：方程x2−4x=0______“差积方程”（填“是”或“不是”）；
（2）已知关于x的方程x2−(m+2)x+2m=0，
①证明：不论m取何值，方程总有实数根；
②若该方程是“差积方程”，求m的值．
【思路点拨】
本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，理解新定义是解题的关键．
（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
（2）①利用一元二次方程根的判别式列式计算即可求解；
②先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵x2−4x=0，
∴x(x−4)=0，
解得：x =0，x =4，
1 2
∵|0−4)≠|0×4)，
∴方程x2−4x=0不是差积方程；
故答案为：不是；
（2）解：①∵x2−(m+2)x+2m=0，
∴Δ=[−(m+2)) 2 −4×1×2m=(m−2) 2≥0，
∴关于x的方程x2−(m+2)x+2m=0不论m取何值，方程总有实数根；
②∵x2−(m+2)x+2m=0，
∴(x−2)(x−m)=0，
解得：x =2，x =m，
1 2
∵x2−(m+2)x+2m=0是差积方程，
∴|2−m)=|2m)，
即2−m=2m或2−m=−2m．
2
解得：m= 或−2．
314．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程：x2−(2k+1)x+4 ( k− 1) =0．
2
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
【思路点拨】
本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等，
（1）运用根的判别式、平方数的非负性进行判断求证即可；
（2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，①当b=c时，即方程两根相等；②当a=b=4或者a=c=4时，
即x=4是原方程的一个根；分析计算求出△ABC的三边长，计算得出△ABC的周长即可；
熟练掌握解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：在关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+4 ( k− 1) =0中，a=1，b=−(2k+1)，c=4 ( k− 1) ，
2 2
∴Δ=b2−4ac=(2k+1) 2−4×4 ( k− 1)
2
=4k2+4k+1−16k+8
=4k2−12k+9
=(2k−3) 2，
∵(2k−3) 2≥0
∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）解：∵等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，
①当b=c时，即方程两根相等，
∴Δ=(2k−3) 2=0，
3
解得：k= ，
2
∴方程可化为：x2−4x+4=0，
解得：x=2，
∴b=c=2，
∴△ABC三边为长分别为4，2，2，
∵2+2=4，∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
②当a=b=4或者a=c=4时，即x=4是原方程的一个根，
把x=4代入x2−(2k+1)x+4 ( k− 1) =0得：16−4(2k+1)+4 ( k− 1) =0，
2 2
5
解得：k= ，
2
∴原方程可化为：x2−6x+8=0，
解得：x=4或x=2，
即△ABC的两腰长为4，底边长为2，
∴△ABC的周长=4+4+2=10．
15．（22-23八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4m(m>0)的图象经过点
B(p,2m)，与y轴交于点D．
（1）若关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x−k2−2k=1有两个相等实数根，求点B的坐标；
（2）已知点A(m,0)，若直线y=kx+4m与x轴交于点C(n,0)，n+2p=4m，原点O到直线CD的距离
8
为 ❑√5，求△ABC的面积．
5
【思路点拨】
（1）根据方程有两个相等实数根得出Δ=0，求出k，m，进而求出一次函数解析式，即可求出点B的坐
标；
（2）将B(p,2m)，C(n,0)分别代入y=kx+4m后，可求n=2p，结合n+2p=4m，求出p=m，n=2m
，然后根据等面积法可求出m=2，然后根据面积公式即可求解．
【解题过程】
（1）解：关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x−k2−2k=1，
整理得x2−2(m−1)x−(k+1) 2=0，
∵方程有两个相等实数根，
∴Δ=4(m−1) 2+4(k+1) 2=0，
∴m−1=0，k+1=0，
∴m=1，k=−1，
∴一次函数为y=−x+4，
∵点B的纵坐标为2m=2，∴点B的横坐标为2，
∴点B的坐标为(2,2)
（2）解：将B(p,2m)，C(n,0)分别代入y=kx+4m，得
{kp+4m=2m)
，
kn+4m=0
化简得n=2p，
又n+2p=4m，
∴p=m，n=2m，
∴B(m,2m)，C(2m,0)，
又A(m,0)，
∴AC=m，AB⊥OC，OB=❑√m2+(2m) 2=❑√5m，OC=2m=AB，
8
又原点O到直线CD的距离为 ❑√5，
5
1 8❑√5 1
∴S = ❑√5m⋅ = ×2m×2m，
△OBC 2 5 2
∴m=2，
1 1
∴S = AC⋅AB= ×2×4=4．
△ABC 2 2
16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0．
那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
（1）已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系；
（2）已知关于x的方程m(x2+1)−3x2+nx=0是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的
值．
【思路点拨】
本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键．
（1）根据ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根得到Δ=b2−4ac=0，根据ax2+bx+c=0(a≠0)是
“凤凰”方程得到a+b+c=0，则b=−a−c，代入b2−4ac=0整理得(a−c) 2=0，即可得到结论；
m
（2）根据“凤凰”方程的定义列式求出n=3−2m，然后求出Δ=9，可得x =1，x = ，再根据两个
1 2 m−3
实数根都是整数可得整数m的值．【解题过程】
（1）解：∵ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=0，
∵ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程．
∴a+b+c=0，
∴b=−a−c，
∴(−a−c) 2−4ac=0，
即a2+2ac+c2−4ac=0，
∴(a−c) 2=0，
∴a−c=0，
即a=c；
（2）解：方程整理得：(m−3)x2+nx+m=0，
∵此方程是“凤凰”方程，
∴m−3+n+m=2m+n−3=0，
∴n=3−2m，
∵Δ=n2−4m(m−3)=n2−4m2+12m=(3−2m) 2−4m2+12m=9，
−n±❑√9 −n±3 −(3−2m)±3 2m−3±3
∴x= = = = ，
2(m−3) 2m−6 2m−6 2m−6
m m−3+3 m−3 3 3
∴x =1，x = = = + =1+ ，
1 2 m−3 m−3 m−3 m−3 m−3
∵两个实数根都是整数，
∴m−3=±3或m−3=±1，
∴m=0或m=6或m=2或m=4，
∴整数m的值为0或2或4或6．
17．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称
之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”．
（1）求函数y=❑√3x+2的图象上所有“整根点”的坐标；
（2）若一元二次方程x2−2(k+1)x+k2=0(k<5)为“整根方程”，求整数k的值；（3）若一元二次方程(k2−3k+2)x2+(2k2−4k+1)x+k2−k=0有两个不相等的实数根且为“整根方
程”，求k的值．
【思路点拨】
（1）由x是整数，当x≠0时，❑√3x+2是一个无理数，可得x=0，从而可得答案；
1 1
（2）先利用根的判别式得到k≥− ，结合题意可得− ≤k<5，k=0或1，2，3，4，再利用求根公式进
2 2
行分析判断即可；
k 1−k
（3）把原方程化为[(k−1)x+k)[(k−2)x+(k−1))=0，可得x = ，x = ，则
1 1−k 2 k−2
x 2x +1
k= 1 = 2 ，整理，可得x x +2x +1=0，即x (x +2)=−1，结合x 、x 都是整数，
x +1 x +1 1 2 2 2 1 1 2
1 2
{ x =1 ) {x =−1)
2 或 2 ，再分情况求解即可．
x +2=−1 x +2=1
1 1
【解题过程】
（1）解：∵x是整数，当x≠0时，❑√3x+2是一个无理数，
∴x≠0时，❑√3x+2不是整数，
∴x=0，y=2，
即函数y=❑√3x+2的图象上的“整根点”的只有1个，坐标为(0,2)．
（2）∵x2−2(k+1)x+k2=0(k<5)有实数根，
∴Δ=b2−4ac=[−2(k+1)) 2 −4k2=8k+4≥0，
1
解得：k≥− ，
2
∵k<5，
1
∴− ≤k<5，
2
∵k为整数，
∴k=0或1，2，3，4，
∵原方程有两个整数根，∴Δ=❑√8k+4=2❑√2k+1为整数，
2(k+1)±2❑√2k+1
而x= =k+1±❑√2k+1也为整数，
2
∴当k=0时，x =2，x =0符合题意，
1 2
当k=1，或2，或3时2❑√2k+1不是整数，不符合题意；
当k=4时，x =4+1+3=8，x =4+1−3=2，符合题意；
1 2
综上：k=0或k=4．
（3）∵(k2−3k+2)x2+(2k2−4k+1)x+k2−k=0，
则[(k−1)x+k)[(k−2)x+(k−1))=0，
∴(k−1)x+k=0或(k−2)x+k−1=0
k 1−k
∴x = ，x = ，
1 1−k 2 k−2
x 2x +1
∴k= 1 = 2 ，
x +1 x +1
1 2
整理，可得x x +2x +1=0，
1 2 2
∴x (x +2)=−1，
2 1
∵x 、x 都是整数，
1 2
{ x =1 ) {x =−1)
∴ 2 或 2 ，
x +2=−1 x +2=1
1 1
{x =−3) {x =−1)
∴ 1 或 1 ，
x =1 x =−1
2 2
{x =−3)
①当 1 时，
x =1
2
k−1
∴ =1，
2−k
3
∴k= ；
2{x =−1)
②当 1 时，
x =−1
2
k
∴ =−1，
1−k
∴此时方程无解；
3
综上，可得k= ．
2
18．（23-24八年级上·上海静安·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根均
为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任意一个“快乐方程”的判别式Δ=b2−4ac一定为
4ac−b2
完全平方数．现规定F(a，b，c)= 为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”
4a
4×1×(−4)−(−3) 2 25
x2−3x−4=0，的两根均为整数，其“快乐数”F(1，−3，−4)= =− ，若有
4×1 4
另一个“快乐方程”px2+qx+r=0(p≠0)的“快乐数”F(p，q，r)，且满足
|r⋅F(a，b，c)−c⋅F(p，q，r))=0，则称F(a，b，c)与F(p，q，r)互为“开心数”．
（1）“快乐方程”x2−2x−3=0的“快乐数”为 ；
（2）若关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0（m为整数，且1
