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专题 21.9 期末复习之解答压轴题专项训练
【人教版】
考点1 二次根式解答期末真题压轴题
1．（2022春·广东广州·八年级华南师大附中校考期末）我们将(√a+√b)与(√a−√b)称为一对“对偶
式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如小明在解方程√24−x−√8−x=2时，采用了如下方法：
由于 ，
(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x) =(√24−x) 2 −(√8−x) 2 =(24−x)−(8−x)=16
又因为√24−x−√8−x=2①，所以√24−x+√8−x=8②，由①+②可得√24−x=5，
将√24−x=5两边平方解得x=−1，代入原方程检验可得x=−1是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
(1)若m=2−√3的对偶式为n，则m×n=________；（直接写出结果）
(2)方程√x+42+√x+10=16的解是________；（直接写出结果）
(3)解方程： ．
√4x2+6x−5+√4x2−2x−5=4x
2．（2022春·广东广州·八年级期末）阅读下列材料，然后回答问题：
2
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
√3+1
方法一： 2 2(√3−1) 2(√3−1) ；
= = =√3−1
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2 −1
方法二： 2 3−1 (√3) 2 −1 (√3+1)(√3−1) ．
= = = =√3−1
√3+1 √3+1 √3+1 √3+1
2
(1)化简： =______；
√5+√3
2
(2)观察上述规律并猜想；当n是正整数时， =______（用含n的式子表示，不用说明理由）．
√n+2+√n
(3)计算：( 1 1 1 1 ) ．
+ + +⋯+ ×(√2022+√2)
√4+√2 √6+√4 √8+√6 √2022+√2020
3．（2022秋·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期末）先阅读，后解答：（1）由根式的性质计算下列式子得：
① ＝3，②√ 2 2＝2，③√ 1 2＝1，④ ＝5，⑤ ＝0
√32 ( ) (− ) √(−5) 2 √0
3 3 3 3
由上述计算，请写出 的结果（a为任意实数）．
√a2
（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果：
① ＝_____；
√(3.14−π) 2
②化简： （x＜2）＝_____．
√x2−4x+4
（3）应用：若 ＋ ＝3，求满足条件的所有整数x的和_____．
√(x−5) 2 √(x−8) 2
4．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）阅读材料：像(√5+2)(√5−2)=1，√a×√a=a(a≥0)……这
种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根
式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如： 1 √3 √3；√2+1 (√2+1) 2 ．
= = = =3+2√2
2√3 2√3×√3 6 √2−1 (√2−1)(√2+1)
解答下列问题：
（1）√7的有理化因式是___________；√5+2的有理化因式是___________；
1
（2）观察下面的变形规律，请你猜想： =__________．
√n+1+√n
1 1 1
=√2−1， =√3−√2， =√4−√3…
√2+1 √3+√2 √4+√3
（3）利用上面的方法，请化简：
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+
1+√2 √2+√3 √3+√4 √2020+√2021
5．（2022秋·四川成都·八年级校考期末）阅读下列材料,然后回答问题:
2
在进行类似于二次根式 的运算时,通常有如下两种方法将其进一步化简:
√3+1
方法一: 2 2(√3−1) 2(√3−1)
= = =√3−1
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2 −12方法二: 2 (√3) 2 −12 (√3+1)(√3−1)
= = =√3−1
√3+1 √3+1 √3+1
2
(1)请用两种不同的方法化简: ;
√5+√3
2 2 2 2
(2)化简: + + +⋅⋅⋅+ .
√4+√2 √6+√4 √8+√6 √2012+√2010
6．（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期末）已知：2a+b+5＝4(√2a−2+√b−1)，先化简再
√a b √a b
求值 + +2− + −2.
b a b a
7．（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期末）已知实数a满足|300﹣a|+√a−401＝a，求a﹣
3002的值．
8．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）已知点A(5,a)与点B(5,-3)关于x 轴对称，b为1+√2的小数部
1
分，求（1）a+b的值．（2）化简.√4a+(√2+1)b−
√3
考点2 勾股定理解答期末真题压轴题
1．（2022秋·四川成都·八年级统考期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在直线
AB上，连接CD，在CD的右侧作CE⊥CD，CD=CE．
(1)如图1，点D在AB边上，探究线段BE和线段AD数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，点D在B右侧，若AC=BC=2√2，BD=1，请求出DE的长；
(3)如图3，∠DCE=∠DBE=90°，CD=CE=√30，BE=√6，请求出线段BC的长．
2．（2022秋·四川成都·八年级石室中学校考期末）如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，过点B
作BE⊥AC于点E，交AD于点F，且AD=6√5，BD=2√5，CD=3√5．BE
(1)求 的值；
AB
(2)求证：AF=BC；
(3)如图2，在（2）的条件下，在ED的延长线上取一点G，使BG=BE，请猜想DG与DE的数量关系，并
说明理由．
3．（2022秋·四川成都·八年级石室中学校考期末）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所
在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点P在线段AB上，且AC=√6+√2，PA=2，求PB的长度；
(2)在（1）的条件下，猜想PA、PB、PQ三者之间的数量关系并证明；
(3)如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2=PQ2．
4．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期末）已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线
上，以PC为直角边在PC右侧作等腰Rt△PCQ，∠PCQ=90°．探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点P在线段AB上，求证：PB⊥BQ；
(2)如图2，若点P在线段AB的延长线上，其它条件不变，画出图形，猜想PA2，PB2，PC2之间的数量关系，并证明；
PA 1 PC
(3)若动点P满足 = ，直接写出 的值为________．
PB 3 AC
5．（2022春·山东济南·八年级校考期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16
，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的
运动时间为t，连接AP．
(1)当t=3秒时，求AP的长度；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．
6．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点F在边BC上，过点B作
BE⊥AB于点B，交AF的延长线于点E，且BF=BE．
(1)求证： ∠CAF=∠BAF；
(2)如图2，过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FG⊥BA于点G．
①求证：BM=CF；
②若AC=6，AB=10，求AE的长．（结果可以保留根号不化简）
7．（2022春·江苏泰州·八年级校考期末）（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到的等式：
________
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不
同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
① 在直角△ABC中，∠C=90°，三边分别为a、b、c，a+b=7，ab=12，求c的值：
② 如图3,五边形ABCDE中，线段AC⊥BD，AC=BD=2，四边形ODAE为长方形，在直角△BOC
中，OB=x，OC= y，其周长为n，当n为何值时，长方形AODE的面积为定值，并说明理由．
8．（2022春·浙江台州·八年级校考期末）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．
小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例
如 的三边长分别是 ， 和2，因为 ，所以 是“类勾股三角形”．
△ABC √2 √6 (√2) 2+(√6) 2=2×22 △ABC
小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！
根据对话回答问题：
(1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”）
(2)已知△ABC的其中两边长分别为1，√7，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为___________；
(3)如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x3时，∠POM的大小是否发
生变化，若不变，请说明理由．
5．（2022春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考期末）如图，已知正方形ABCD，将它绕点A逆时针旋转α
（0°<α<90°）得正方形AEFG，EF交BC于H，AB=2．
(1)求证：AH平分∠BHE；
(2)当A、E、C在同一条直线上时，
①求证：A、B、F共线；
②求BH长．
(3)当D、B、F在同一直线上时直接写出∠FAB的度数．
6．（2022春·江苏扬州·八年级校考期末）如图1，在 ▱ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，交CB
的延长线于F，以BE、BF为邻边作 ▱EBFH．(1)证明：平行四边形EBFH是菱形；
(2)如图2，若∠ABC=60°，连接HA、HB、HC、AC，求证：△ACH是等边三角形．
(3)如图3，若∠ABC=90°．
①直接写出四边形EBHF的形状；
CM
②已知AB=10，AD=6，M是EF的中点，求 的值．
CF
7．（2022春·河北保定·八年级统考期末）已知等边三角形ABC的边长为12，D为射线BC上一动点（点D
不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接BF．
(1)如图，当点D在BC边上时，求证：△ACD≌△ABF，
(2)在点D的移动过程中，当BF=3时，求BD的长度
(3)设 与菱形 的面积分别为 ， ，直接写出S 的最大值．
△ABC ADEF S S 1
1 2 S
2
8．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB=5cm，BC=2cm，点M
，N分别在边AB，CD上，CN=1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′
上．(1)当点B′恰好落在边CD上时，
①证明：△B′MN是等腰三角形；
②求线段BM的长；
(2)点M从点A向点B运动的过程中，若边线段MB′与边CD交于点E，
①求此运动过程中，DE的最大值；
②请直接写出点E相应运动的路径长．
9．（2022春·浙江温州·八年级校联考期末）如图，等边△ABC中，AB=6，动点D，E分别是边BC，
AC上的两个点，且满足CD=CE+1，以CD，CE为邻边构造▱DCEF，记CE的长为m(m≤5)
(1)EF=______（含m的代数式表示）；
(2)当点F分别落在∠A，∠B的角平分线上时，求对应的m的值；
(3)作∠B的角平分线，交AC于H，当BH恰好平分 ▱DCEF的面积时，m=_____．（请直接写出答案）
考点4 一次函数解答期末真题压轴题
1．（2022春·广东广州·八年级统考期末）问题发现．(1)如图1，等腰直角△AOB置于平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,0)，(0,2)，D是AB上一点，
AD=OA，则点D的坐标为______．
(2)问题探究：如图2，若点A，B的坐标分别为(16,0)，(0,12)，其余条件与(1)相同，求经过O，D两点的
直线表达式．
(3)问题解决：国庆前夕，某景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图3
，△ABO是景区东门的广场一角，OA，OB两面墙互相垂直，景区管理部门设计将OA，OB墙面布置成
历史故事宣传墙，AB边上用建筑隔板搭出AD段将该角落与广场其他区域隔开，AD段布置成时事政治宣
传墙，剩余BD部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到防疫安全，还
需在靠近出入口的E处建一个体温检测点．已知AD=OA=16m，OB=12m，BC平分∠OBA，体温检测
点E在BC与OD的交点处．求点E分别到OB，OA墙面的距离．
2．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）同学们在第一次微课中听取了刘老师与杨老师关于面积等分线练
习的讲评，小浩同学对此产生兴趣，上网又查到了长方形的一些性质：长方形的对角线相等且互相平分，
对角线所在的直线是其一条面积等分线．请你利用以上性质，帮小浩解决下面问题：
(1)如图①，已知长方形ABCD，请画出它的一条面积等分线l（不经过对角线）
(2)四边形OABC位于如图②所示的平面直角坐标系中，顶点O位于原点，其余顶点坐标为A（4，6），B
（8，7），C（10，0），CE是四边形OABC的一条面积等分线，点E在y轴上，请求出点E的坐标．
(3)全民抗疫，西安加油！如图③，在平面直角坐标系中（长度单位为米），长方形OABC是西安某小区在
疫情期间为居民核酸检测围成的一个工作区域，顶点A，C在坐标轴上，O为坐标原点，记顶点B（20，
12），原有的一个出入口D在边OC上，且CD=4米，为使工作高效有序，现计划在边AB，OA，BC上依
次再设出入口E，G，H，沿DE，GH拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分，请问，是否存在满足上述条件的点E，H，G，如存在，请求出点E的坐标及GH的函数表达式，如不存在，请说明理由．
3．（2022春·广东广州·八年级统考期末）读一读
“数形结合”是一种重要的数学思想，其简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学
问题的一种数学思想．具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起
来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题．在中学数学的解题中，主要有三种类型：以
数化形、以形变数、形数互变．
研一研
【定义】在平面直角坐标系xoy中，如果点A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x
上，那么称该菱形为点A，C的“最佳菱形”．如图是点A，C的“最佳菱形”的一个示意图．
【运用】已知点M的坐标为（2，2），点P的坐标为（4，4）．
(1)下列各组点，能与点M，P形成“最佳菱形”的是______．
①E（3，4），F（4，3） ②G（2，3），H（3，2） ③I（2，4），J（4，2）
(2)如果四边形MNPQ是点M，P的“最佳菱形”．
①当点N的坐标为（6，0）时，求四边形MNPQ的面积；
②当四边形MNPQ的面积为16，且与直线y＝x＋b有公共点时，求b的取值范围．
5．（2022春·广东广州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B
在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．
（1）求直线AB的解析式；
1
（2）若点P是直线AB上的动点，当S OBP＝ S OAP时，求点P的坐标；
△ △
4
（3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是
x，x，且x＜x），MN＝4√2，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由．1 1
6．（2022秋·广东广州·八年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l :y=− x+ 交x
1 2 2
轴于点A，直线l :y=(m+1)x，其中m>0，过点A作AB⊥x轴交直线l 于点B．
2 2
（1）求B点的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）作直线l 关于y轴的对称直线l ，直线l 和l 相交于点C．
2 3 1 3
①求证：点C在直线y=mx+1上；
②已知P(−1,1−m)，请问：是否存在P点，使得A到直线PC的距离最大？若存在，请求这个最大距离，
并指出此时P点的位置；若不存在，请说明理由．
7．（2022秋·山东青岛·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B（b，
0），与y轴交于点A（0，a），且√a−b+2+|2a+b−8|=0．(1)求S AOB；
△
(2)若P（x，y）为直线AB上一点．
①求S APO的面积（用含x的式子表示）；
△
②求x与y的数量关系（用x表示y）；
(3)已知点Q（m，m−2），若△ABQ的面积为6，求m．
8．（2022秋·山东青岛·八年级山东省青岛第二十六中学校联考期末）如图，在直角坐标系中，直线l：y＝
4
x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C
3
的上方，设D（﹣2，m）
（1）求点O到直线AB的距离；
（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点
M，使|ME﹣MD|最大，请求出|ME﹣MD|的最大值以及M点的坐标；
4
（3）在（2）的条件下，将直线l：y＝ x+8左右平移，平移的距离为t（t＞0时，往右平移；t＜0时，往
3
左平移）平移后直线上点A，点B的对应点分别为点A′、点B′，当△A′B′D为等腰三角形时，求t的值．
9．（2022秋·山东青岛·八年级青岛市即墨区实验学校校考期末）同学们，我们在学习一次函数时，采用由特殊到一般的研究思路，首先研究特殊的一次函数y=kx（k为常数，k≠0），通过画出具体函数的图象，
观察图象，数形结合，归纳出这类特殊函数的图象特征（形状、位置、对称性）和性质（增减性），从中
初步习得了研究函数的思路、内容和方法，进而推广到研究一般的一次函数 y=kx+b（k，b为常数，
k≠0），获得了一次函数的图象特征（形状、位置、对称性）和性质（增减性），然后再综合运用相关的
知识解决实际问题．
请你运用学过的方法研究一类含有绝对值的新函数y=k|x|（k为常数，k≠0）的图象和性质．
【实际操作】
（1）直接在平面直角坐标系（图1）中画出函数y=2|x|的图象；
（2）直接在平面直角坐标系（图2）中画出函数y=-3|x|的图象．图一 图二
【归纳总结】
（3）结合上面画出的函数图象，请归纳出函数y=k|x|（k为常数，k≠0）的图象特征（形状、位置、对称
性），并且写出当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化?
【迁移应用】
（4）图3是某个含有绝对值的函数的图象，请求出该函数的表达式．10．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，一次函数y＝kx+4与x轴交于点A(4，0)，点C在直
线AB上且横坐标为3．
(1)求k的值和点C的坐标；
(2)点D为x轴上一点，BD=CD，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上的动点，问在直线AB上，是否存在点N(点N与点C不重合)，使
△AMN与△ACD全等？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一种情况的解答过程，若不存在，
请说明理由．
11．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图1，直线y=−2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A
（2，0）．交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式：
（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰
好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为−4，以AP为底作等腰△APM（点M在x
轴下方），过点A作直线l//PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，
若2∠PFO+∠AFE=180°，求△PMO的面积．
12．（2022春·广东佛山·八年级校考期末）已知直线l：y＝x﹣3m+15，l：y＝﹣2x+3m﹣9．
1 1 2 2
(1)当m＝3时，求直线l 与l 的交点坐标；
1 2
(2)若直线l 与l 的交点在第一象限，求m的取值范围；
1 2
(3)若等腰三角形的两边为（2）中的整数解，求该三角形的面积．
