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专题22.23 二次函数与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】二次函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程根的关系
求二次函数 (a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求 中x
的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x轴的交
点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线
一元二次方程
与 x 轴 交 于 ，
有
△＞0 两 点 ， 且 两 个 不 相 等 的 实 数 根
，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
有
△＝0 两 个 相 等 的 实 数 根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0 在
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
实数范围内无解（或称无
离
实数根）
要点提醒：
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.【知识点2】抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线
(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题．
抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛 物 线 (a≠ 0) 与 一 次 函 数 (k≠ 0) 的 交 点 个 数 由 方 程 组
的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点提醒：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求
方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
【知识点3】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表
格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二
次方 的近似根．
要点提醒：
求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程 的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线 图象交点的横
坐标就是方程的根；(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，在同一坐标
系中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为方程 的根.
【知识点4】抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线 与x轴的两个交点为A( ，0)，B( ，0)，则 、 是一元
二次方程 的两个根．由根与系数的关系得 ， ．
∴
即 （△＞0）
【知识点5】抛物线与不等式的关系
二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 (a≠0)及 (a≠0)
之间的关系如下 ：
判别式
抛物线 与 不等式 的解
不等式 的解集
x轴的交点 集
△＞0
或
△＝0 无解
（或 ）
△＜0 全体实数 无解注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点提醒：
抛物线 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有值就是不等式
的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的 x 的所有值就是不等式
的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【考点一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)➽➼➻化为顶点式➽➼➻对称轴✭✭顶点坐标
【考点一】抛物线与坐标轴的交点坐标
【例1】二次函数 的图象与 轴的交点坐标是 ，与 轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意得出令 ，求出 的值，即可求出抛物线 与 轴交点的坐标，令
，然后求出 的值，即可以得到与 轴的交点坐标．
解：由图象与 轴相交则 ，代入得： ，
解方程得 ，
∴与 轴交点的坐标是 ，
由图象与 轴相交则 ，代入得： ，
∴与 轴交点坐标是 ；
故答案为 ； ．
【点拨】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题
关键．
【举一反三】
【变式1】已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求此抛物线的顶点坐标．【答案】（1） ， ， ；（2）
【分析】（1）当 时，解方程 即可得到A、B的坐标，将 代入即可得到点C的
坐标；
（2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标．
解：（1）当 时，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得：
∴
（2）∵
∴顶点坐标是：
【点拨】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐
标的求法是解题的关键．
【变式2】如图，抛物线 与 轴相交于点 ， ，求 的面积．
【答案】
【分析】先求出 ， ， 三点的坐标即可得出 ， 的长，进而可根据三角形的面积公式求出
三角形 的面积．解： ，
当y=0时,
即
解得： 或 ，故 ， ，
当 时， ，故 ，
则 ， ，
∴
【点拨】考查了抛物线与 轴、 轴的交点和三角形面积的求法，得到 ， 的长是解题的关键．
【考点二】图象法解一元二次方程的近似根✭✭求一元二次不等式的解集
【例2】二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题
（1）写出方程 的两个根；
（2）写出不等式 的解集
【答案】（1） ；（2）-20）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】（1）m=1
（2）二次函数 的图象与x轴有两个交点，理由见分析．
【分析】（1）把P（2，4）代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P（2，4） ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m=1，m=−3，
1 2
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点拨】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出 的值是解题关键．
△
【考点六】抛物线方程根的情况
【例6】当m取何值时，抛物线 与直线 ，（1）有公共点；（2）没有公共点．
【答案】（1） 时两线有公共点；（2） 时两线无公共点．
【分析】根据题意可得： ，即 ，然后根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
解：由题意可得： ，即 ，
，
（1）当 ，即 时，有公共点；（2）当 ，即 时，没有公共点．
【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根据题意转化
为一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式解答是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】已知函数y＝|x2﹣4|的大致图像如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）
（1）若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 _____．
（2）若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．
【答案】（1）4；（2）m＞4或m＝0．
【分析】（1）方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图
像与直线y＝m的图像有3个交点，由此即可解决问题．
（2）方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线
y＝m的图像有2个交点，由此即可解决问题．
（1）解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与
直线y＝m的图像有3个交点，
因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），
观察图像可知，两个函数图像有3个交点时，m＝4．
故答案为：4．
（2）解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与
直线y＝m的图像有2个交点，
因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），
观察图像可知，两个函数图像有2个交点时，m＞4或m＝0．
故答案为：m＞4或m＝0．
【点拨】此题考查二次函数与方程的综合题．将方程转化为求二次函数图像与直线的交点问题，利用
数形结合、分类讨论的思想方法是解此题的关键．【变式2】二次函数 的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）点B的坐标为 ；
（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为 ；
（3）方程 的两个根为 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，
【分析】（1）由图可得： 、 到直线 的距离相等，根据 的坐标，即可求出 点坐标；
（2）利用图象得出函数对称轴进而得出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围；
（3）根据方程 ，即图象与 轴交点，进而得出方程的两个根；
解：（1）由图可得： 、 到直线 的距离相等，
点坐标为：
故答案为： ；
（2） 随 的增大而减小的自变量 的取值范围是： ；
故答案为： ；
（3）方程 的两个根是： ， ；
故答案为： ， ；
【点拨】此题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点以及方程根与不等式等知识，正确利用数形结合
得出是解题关键．
【考点七】抛物线与截线长问题
【例7】抛物线 与x轴的交点分别为 ， ．（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若 ，求此抛物线的解析式．
【答案】（1）见分析；（2） ．
【分析】（1）证明Δ＞0即可；
（2）利用抛物线与x轴的交点问题，则x、x 为方程 的两根，利用根与系数的
1 2
关系得到x＋x＝- ＝8，x•x＝ ，再变形|x−x|＝2得到（x＋x）2−4x•x＝4，所以82−4•
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝4，然后解出m即可得到抛物线解析式．
解：（1）证明： ＝64m2−4m•（16m−1）＝4m，
∵m＞0， △
∴Δ＞0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，x、x 为方程 的两根，
1 2
∴x+x＝- ＝8，x•x＝ ，
1 2 1 2
∵|x−x|＝2，
1 2
∴（x+x）2−4 x •x＝4，
1 2 1 2
∴82−4• ＝4，
∴m＝1，
经检验： 符合题意；
∴抛物线的解析式为 ．
【点拨】本题考查了二次函数图象和系数的关系，抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c
（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
【举一反三】
【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0， ）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
（3）当y≤ 时，直接写出x的取值范围是 ．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）EF长为3；（3 或 ．
【分析】（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，即可求解；
（2）把点D的y坐标 代入y=-x2+2x+3，即可求解；
（3）直线EF下侧的图象符合要求．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，b＝2，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）把点D的y坐标y＝ ，代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝- 或 ，
则EF长 ；
（3）由题意得：
当y≤ 时，直接写出x的取值范围是： 或 ，
故答案为 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及
数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．【变式2】在平面直角坐标系 中，抛物线 的开口向上，且经过点 ．
（1）求 的值；
（2）若此抛物线经过点 ，且与x轴相交于点 ， ．
①求 的值（用含 的代数式表示）；
②当 的值最小时，求抛物线的解析式；
【答案】（1） ；（2）① ；②
【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）①用待定系数法即可求解；
②根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，根据 ，继而根据二
次函数的性质得出 的值，即可求解．
解：（1）将点 的坐标代入抛物线表达式得：
；
（2）①∵ ，
∴
又∵此抛物线经过点 ，
∴ ，
即 ；
②由①可得抛物线解析式为 ，
令 ，即
∵与x轴相交于点 ，∴ 是方程 的两根，
∴
∴
∴当 时， 有最小值．
∴抛物线解析式为 ．
【点拨】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，二次函数与 轴的截线长，一元二次
方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
