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第 04 讲 数列的通项公式
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）掌握数列通项的几 高考对数列通项的考查相对稳定，考
种常见方法． 2023年 乙卷（文）第18题，12分 查内容、频率、题型、难度均变化不
2023年甲卷第17题，12分 大．数列通项问题以解答题的形式为
2023年II卷第18题，12分 主，偶尔出现在选择填空题当中，常
结合函数、不等式综合考查.
类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此
数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：n S
若 已 知 数 列 的 前 项 和 n与 的 关 系 ， 求 数 列 的 通 项 可 用 公 式
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即
和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式：
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方
法有如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数
（ 待 定 系 数 法 ） 得 ， 即构成以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可得
法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以
为首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如 型的递推式：
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为
首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的
通项整理可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加
法）便可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，
以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理
可得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时
乘以 得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在
转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常
数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转
化为类型Ⅲ（累加法），求出 之后得 ．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如 型的递推式：
在原递推式 两边取对数得 ，令 得： ，化归为
型，求出 之后得 （注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为 形式，
化归为 型求出 的表达式，再求 ；
还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归为
型求出 的表达式，再求 ．
类型Ⅷ 形如 型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数
得 ，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
题型一：观察法
例1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现
了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6
个球，······，则第十层有（ ）个球．
A．12 B．20 C．55 D．110
【答案】C
【解析】由题意知：，
，
，
，
所以 .
故选：C
例2．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力
将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由
高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是
一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的
顺序排成一列，构成数列 ，则 （ ）
A．17 B．37 C．107 D．128
【答案】C
【解析】∵ 能被3除余2且被7除余2，∴ 既是3的倍数，又是7的倍数，
即是21的倍数，且 ，∴ ，
即 ，∴ ．
故选：C．
例3．（2023·全国·高三专题练习）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，
通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为
1，图 中正六边形的个数记为 ，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为 ，其中图 中每个正
六边形的边长是图 中每个正六边形边长的 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．存在正数 ，使得 恒成立 D．
【答案】D
【解析】A选项，图1中正六边形的个数为1，图2中正六边形的个数为7，由题意得 为公比为7的等比数列，所以 ，故 ，A错误；
B选项，由题意知 ， ， ，B错误；
C选项， 为等比数列，公比为 ，首项为6，故 ，
因为 ，所以 单调递增，不存在正数 ，使得 恒成立，C错误；
D选项，分析可得，图n中的小正六边形的个数为 个，每个小正六边形的边长为 ，故每个小
正六边形的面积为 ，
则 ，D正确.
故选：D
变式1．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍
之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，
是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，
32，40，50，．．．，记此数列为 ，则 （ ）
A．650 B．1050 C．2550 D．5050
【答案】A
【解析】由条件观察可得： ，即 ，所以 是以2
为首项，2为公差的等差数列.
故 ，
故选：A
变式2．（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用
于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数
量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，
18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【解析】设该数列为 ，
当 为奇数时，所以 为奇数；
当 为偶数时，
所以 为偶数数；
所以 ，
故选:B.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）若数列 的前4项分别是 ，则该数列的一个通项公式
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为数列 的前4项分别是 ，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，
所以对照四个选项， 正确.
故选：D
变式4．（2023·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓
展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1， ， ， ， 构成数列 ，其前n项和为
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，则 ，
所以其前n项和为：
，
则 .
故选：B.
变式5．（2023·新疆喀什·高三统考期末）若数列 的前6项为 ，则数列 的通项
公式可以为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】通过观察数列 的前6项，可以发现有如下规律：
且奇数项为正，偶数项为负，故用 表示各项的正负；
各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，
而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，
故第n项的绝对值是 ，
所以数列 的通项可为 ，
故选：D
【解题方法总结】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有 或者 部分．②考虑各项的
变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方 、 与
有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
题型二：叠加法
例4．（2023·全国·高三对口高考）数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意得 ， ， ，
所以依此类推得 ，
所以 ．
又 也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是 ．
故选：C．
例5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）若 ， 则 （ ）
A．55 B．56 C．45 D．46
【答案】D
【解析】由 ，
得 ， ，
， ， ，
累加得，
，
当 时，上式成立，
则 ，
所以 .
故选：D
例6．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在数列 中， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为 ，故可得 ， ，…， ，及 累加可得
，
则 ，所以 ，
则 ．
故选：B．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的通项为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，则当 时， ，
将 个式子相加可得 ，
因为 ，则 ，当 时， 符合题意，
所以 .
故选：D.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知 是数列 的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，由累加法可得： ，所以 （ ），
又因为 ，
所以 （ ），
当 时， ，符合，
所以 （ ），
所以 ，
所以 ．
故选：A.
变式8．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列 满足： ， ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又 ，故 ，
所以 ，
所以 ，
故 ，
则 ，
所以 .故选：C．
【解题方法总结】
数列有形如 的递推公式，且 的和可求，则变形为 ，
利用叠加法求和
题型三：叠乘法
例7．（2023·河南·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【答案】C
【解析】 ，
，
即 ，
可得 ，
.
故选：C.
例8．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ， （ 为正整数），则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
例9．（2023·天津滨海新·高三校考期中）已知 ， 则 （ ）
A．506 B．1011 C．2022 D．4044【答案】D
【解析】 ，
，
， ，
， ，
显然，当 时， 满足 ，
∴ ，
.
故选：D.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则数列 的通项公式是
（ ）
A． B． C． D．n
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
即 ，
则 ， ， ，…， ，
由累乘法可得 ，所以 ，
又 ，符合上式，所以 .
故选：D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，则数
列 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ①②，
① ②得： ，
即： ，
所以 ，
所以
故选： ．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列 满足 ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
累乘可得： ，
可得： ．
故选：D﹒
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ( ， )，则数列
的通项 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】数列 满足 ， ，
整理得 ， ， ， ，所有的项相乘得： ，
整理得： ，
故选： ．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， 且 ，则它的前 项和
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ，
因此， .
故选：A.
【解题方法总结】
数列有形如 的递推公式，且 的积可求，则将递推公式变形为
，利用叠乘法求出通项公式
题型四：待定系数法
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知： ， 时， ，求 的通项公式．
【解析】设 所以
， ，
∴ ，解得： ，
又 ∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
，
∴ ∴
， ．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， ，且对于 时恒有 ，求数列
的通项公式．
【解析】因为 ，所以 ，又因为 ，所以数列 是常数列0，所以 ，所以 ．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： 求 .
【解析】因为
所以两边同时加上 得： ，
所以 ，当 时，
故 ，故 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
于是
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是首项为 .
(1)求 通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1） ，设 ，
即 ，即 ，解得 ，
，故 是首项为 ，公比为 的等比数列.
，故 .
（2） ，则.
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中，a=2， ，求 的通项．
1
【解析】因为 的特征函数为： ，
由 ，
∴
∴数列 是公比为 的等比数列，
∴ ．
变式16．（2023·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知数列 中， ，满足
，设 为数列 的前 项和．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若不等式 对任意正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ．
（2）因为 ，
所以
，
若 对于 恒成立，即 ，
可得 即 对于任意正整数 恒成立，所以 ，令 ，则 ，
所以 ，可得 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
变式17．（2023·四川乐山·统考三模）已知数列 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】由 得 ，又 ，
所以 ，即 是等比数列，
所以 ，即 ．
故答案为： ．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为
.
【答案】
【解析】因为 ，
设 ，即 ，
根据对应项系数相等则 ，解得 ，故 ，
所以 是 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
故答案为：
变式19．（2023·全国·高三对口高考）已知数列 中， ，且 （ ，且 ），则
数列 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，即
由所以 ，
于是数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
因此 ，即 ，
当 时， ,此式满足 ，所以数列 的通项公式为 .
故答案为： .
【解题方法总结】
形如 （ 为常数， 且 ）的递推式，可构造 ，转化为等比
数列求解．也可以与类比式 作差，由 ，构造 为等比数列，然
后利用叠加法求通项．
题型五：同除以指数
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
【解析】将 两边除以 ，
得 ，则 ，
故数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
则 ，
∴数列 的通项公式为 ．
例14．（2023·全国·高三专题练习）在数列{ }中， 求通项公式 ．
【解析】 可化为： ．
又
则数列 是首项为 ，公比是2的等比数列．
∴ ，则 ．
所以数列{ }通项公式为
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式．
【解析】由 ，可得
又 ，
则数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
则 ，故 ．
则数列 的通项公式为 .
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公
式．【解析】解法一：因为 ，
设 ，
所以 ，
则 ，解得 ，
即 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
解法二：因为 ，两边同时除以 得 ，
所以 ， ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，则 ，所以 .
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则数列 的通项公
式为 .
【答案】
【解析】解法一：设 ，整理得 ，可得 ，
即 ，且 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
解法二：(两边同除以 ) 两边同时除以 得： ，
整理得 ，且 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；解法三：(两边同除以 )两边同时除以 得： ，即 ，
当 时，则
，
故 ，
显然当 时， 符合上式，故 .
故答案为： .
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，求数列 的通项公
式．
【解析】 两边除以 ，得
，则 ，故
，
，
则数列 的通项公式为 ．
【解题方法总结】
形如 ， ）的递推式，当 时，两边同除以 转化为关于
的等差数列；当 时，两边人可以同除以 得 ，转化为 ．
题型六：取倒数法
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： 求通项 .
【解析】取倒数： ，故 是等差数列，首项为 ，公差为2，，
∴ .
例17．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， 求 ．
【解析】由已知关系式得 ,
所以数列 是以 为首项，公比为3得等比数列，故 ，
所以
例18．（2023·全国·高三专题练习）设 ，数列 满足 ， ，求数列 的
通项公式．
【解析】 ， ，两边取倒数得到 ，
令 ，则 ，
当 时， ， ， ，
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
， ， ．
当 时， ，则 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
，
，
，
，，
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的通项公式．
【解析】 ， ，则 ，
则 ，
，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列．
于是 ， ．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式．
【解析】 为等差数列，
首项 ，公差为 ，
.
变式25．（2023·全国·高三对口高考）数列 中， ， ，则 ．
【答案】
【解析】由 ， ，可得 ，
所以 ，即 (定值)，
故数列 以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，所以 ．
故答案为： ．
变式26．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：数列 的前n项和 .
【解析】（1）因为 ， ，故 ，
所以 ，整理得 ．
又 ， ， ，
所以 为定值，
故数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，得 .
（2）因为 ，
所以 ．
【解题方法总结】
对于 ，取倒数得 ．
当 时，数列 是等差数列；
当 时，令 ，则 ，可用待定系数法求解．
题型七：取对数法例19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则 ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 .
例20．（2023·全国·高三专题练习）设正项数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
【解析】对任意的 ， ，
因为 ，则 ，
所以， ，且 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以， ，解得 .
例21．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， ，证明：存在常数 ，使
得对于任意的 ，都有 ．
【解析】 恒成立， ，则 ，
则 ， ，
当 时， ，故 ，即 ，
取 ，满足 ；
当 且 时， 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，即 ，
故 ，
故 ，取 ，得到 恒成立.
综上所述：存在常数 ，使得对于任意的 ，都有 ．
【解题方法总结】
形如 的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型八：已知通项公式 与前 项的和 关系求通项问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，则
的通项公式是 ．
【答案】
【解析】 ， ，且 ，
， 是以 为首项， 为公比的等比数列．
， ．
时， ，
且 不满足上式，所以 ．
故答案为： .例23．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列 中， ，前n项和为 .若
，则数列 的前2023项和为 .
【答案】
【解析】在数列 中 ，又 ，且 ，
两式相除得 ， ，
∴数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则 ，∴ ，
当 ， ，
当 时， ，也满足上式，
∴数列 的通项公式为 ，
则 ，
数列 的前2023项和为 .
故答案为：
例24．（2023·河南南阳·高二统考期末）已知数列 的前 项和为 ，且 （ ），
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）当 时， ，
当 时， ，
故 ，故数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
故 ；
（2）由（1）得 ，
故 ，
则 ，
故
，则
变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 满足 ．
(1)写出数列的前3项 ；
(2)求数列 的通项公式．
【解析】（1）由 ，得 ．
由 ，得 ，
，得 ．
（2）当 时，有 ，即 ①
令 ，则 ，与①比较得， ，
是以 为首项，以2为公比的等比数列．
，故 ．
变式28．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ， ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)求数列 的前 项积．
【解析】（1）由 ，得 ．
所以 ，
即 ，整理得 ，
上式两边同时除以 ，得 ．
又 ，所以 ，即 ，
所以 是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知， ．
所以 ．所以 ．
变式29．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列 满足 ，其
中 是数列 的前n项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意 ，且当 时，总有 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）∵ ，∴
当 时， ，解得 .
当 时， ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∴数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴ .
（2）因为 ，所以
∴当 时， ，
∴
，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 .
变式30．（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；(2)已知 ， ，求数列 的前20项和.
【解析】（1）当 时，可得 ，
当 时， ，
，
上述两式作差可得 ，
因为 满足 ，所以 的通项公式为 .
（2） ， ，
所以 ，
.
所以数列 的前20项和为 .
变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， .证明：
是等比数列.
【解析】由 ，当n1时，可得 14；
当 时，aSS 5a5a 1，
n n n1 n n1
即 ，即 ，
记 ，令 ，求出不动点 ，
故 ，又 1 15 ≠0，
∴数列{a 1}是以 为首项，以 为公比的等比数列．
n
变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知 是各项都为正数的数列， 为其前n项和，且 ，，
(1)求数列 的通项 ；
(2)证明： .
【解析】（1）法一：
因为 ，
所以当 时， ，
所以 ， ，
两式相减可得 ，又 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，即 ，
故当 时， ，
经检验，当 时， 满足上式，
所以 .
法二：
因为 ，
所以当 时， ，
故 ，等号两边平方得 ，
设 ，则 ，又 ， ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
故 ，即 ，则 ，
故 ，则 ，解得 或 ，当 时， ，则 ，而 ，矛盾，舍去，
当 时，经检验，满足题意，故 .
（2）由法一易知 ，
由法二易得 ，
故由（1）得，
，
所以 ，
命题得证.
变式33．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列 的前 项和为 且当
时， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项
（其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意， ，在数列 中，当 时， 成等差数列，所以
，即 ，
所以 时， ，又由 知 时， 成立，
即对任意正整数 均有 ，
所以 ，从而 ，
即数列 的通项公式为： .
（2）由题意及（1）得， ，在数列 中， ，所以 .
假设数列 中存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列，则 ，
即 ，化简得 ，
因为 成等差数列，所以 ，所以 ，化简得 ，又 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，这与题设矛盾，
所以假设不成立，
所以在数列 中不存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列.
变式34．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ 是以 、公比为2的等比数列，
∴ .
（2）由（1）知， ，
当 时， .
当 时， ，①
∴ ，②
①-②得， ，
∴ ，当 时，也适合，
∴ .
变式35．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， 为数列 的前 项和，且满足 ，
．
(1)求 的通项公式；(2)证明： ．
【解析】（1）对任意的 ，
当 时， ，两式相减 ．
整理得 ，
当 时， ，
也满足 ，从而 ．
（2）证明：证法一：因为 ，
所以，
．
从而 ；
证法二：因为 ，
所以，
，证毕.
变式36．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1） ，
当 时， ，两式子作差可得
，
又 ，所以 ，可得数列 为公差为2 的等差数列，
当 时， ，
所以，数列 的通项公式为 .
（2） ，
，
所以，数列 的前 项和 .
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项的和 ．
【解析】（1） ，
两式相减得： ，
由于 ，则 ，
当 时， ，得 ，
，则 ，
所以 是首项和公差均为2的等差数列，故 ．
（2） ①
所以 ②由 得： ，
所以
．
变式38．（2023·全国·高三专题练习）记 为数列 的前 项和．已知 ．证明： 是
等差数列；
【解析】证明：因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，
所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
【解题方法总结】
对于给出关于 与 的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向
是转化 为 的形式，手段是使用类比作差法，使 = （ ， ），故得到数列 的相
关结论，这种方法适用于数列的前 项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将 转化为 （
， ），先考虑 与 的关系式，继而得到数列 的相关结论，然后使用代入法或者其他
方法求解 的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前 项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解 与 的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化 的形式为 的形式，
适用于 的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化 的形式为 的形式，适用于 的形式不够
独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对 的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步
骤后及时加注 的范围．
题型九：周期数列
例25．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，记数
列 的前 项和为 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ ， ，∴ ，故A错误；
， ，
∴数列 是以3为周期的周期数列，∴ ，故B错误；
∵ ， ，
∴ ，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
例26．（2023·广西防城港·高三统考阶段练习）已知数列 满足 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，则 ， ， ，……，
故 为周期为3的数列，
因为 ，所以 .
故选：D
例27．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知数列 满足： ， ，
， ，则 （ ）.
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】即
又
是以 为周期的周期数列.
故选：C
变式39．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知数列 满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
， ， ， ， ，
数列 是以 为周期的周期数列．
又 ，
．
故选：B．
变式40．（2023·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地
支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、
未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在
后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，
…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到
“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（ ）
A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
【答案】A
【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于 ，余数为0，故100年后天干为壬，
由于 ，余数为4，故100年后地支为午，
综上：100年后的2122年为壬午年.
故选：A
变式41．（2023·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C．4043 D．4044
【答案】A
【解析】由 得 ，
两式相加得 ，即 ，故 ，
所以 .
故选：A．
变式42．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由 得
，
所以数列 的周期为3，所以 ．
故选：B
【解题方法总结】
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型十：前n项积型
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,数列
的前 项积 .
(1)求数列 和 的通项公式;
(2)求数列 的前n项和.
【解析】（1）当 时, ,
∴ ,当 时, ,
化简得 ,
∵ ,∴ ,
∴数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,
∴ .
当 时, ,
当 时, ，当 时也满足，
所以 .
（2） ,
设 ①,
则 ②,
①-②得 ,
∴ .
例29．（2023·全国·高三专题练习）设 为数列 的前n项积．已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和．
【解析】（1）依题意， 是以1为首项，2为公差的等差数列，则 ，
即 ，当 时，有 ，两式相除得， ，
显然 ，即 ，因此当 时， ，即 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）设 的前 项和为 ，由（1）得， ，于是 ，因此 ，
则 ，
所以数列 前 项和为 .
例30．（2023·全国·高三专题练习）设 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
(1)求 ， ；
(2)求证：数列 为等差数列；
(3)求数列 的通项公式．
【解析】（1）由 ， 且 ，
当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ；
（2）对于 ①，
当 时， ②，
① ②得 ，
即 ， ，
又 ，
数列 是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得 ，
，当 时， ，
又 时， ，不符合 ，
.
变式43．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末） 为数列 的前n项积，且 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求 的通项公式．
【解析】（1）证明： 由已知条件知 ①,
于是 ． ②,
由①②得 ． ③ ，
又 ④，
由③④得 ，所以 ，
令 ，由 ，得 ， ，
所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得数列 是以4为首项，2为公比的等比数列．
，
法1： 时， ，
又 符合上式，所以 ；
法2：将 代回 得： ．
变式44．（2023·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考阶段练习）已知数列 的前n项之积为 ，且
．(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 的最大值．
【解析】（1）∵ ①，∴ ②，
由①②可得 ，由① 也满足上式，∴ ③，
∴ ④，由③④可得 ，
即 ，∴ ，∴ ．
（2）由（1）可知 ，则 ，
记 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 单调递减，
∴ 的最大值为 ．
变式45．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项积 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项为 ，求 的最小值.
【解析】（1） .
当 时， ；
当 时， ，也符合 .
故 的通项公式为 .
（2） ，
，
是以 为首项，2为公差的等差数列，，
当 时， 的最小值为 .
变式46．（2023·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前n项的积，且 ， 为数列 的前n
项的和，若 （ ， ）.
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式.
【解析】（1）证明： ， .
，
是等差数列.
（2）由（1）可得 ， .
时， ；
时， .
而 ， ， ， 均不满足上式.
（ ）.
变式47．（2023·全国·高三专题练习）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的通项公式．【解析】解析：（1）将 代入 ，得 ，
整理得 ．
当 时，得 ，所以数列 是以 为首项， 为公差等差数列．
所以 ．
（2）由（1）得 ，代入 ，可得 ．
当 时， ；
当 时，
所以 ．
【解题方法总结】
类比前 项和求通项过程：
（1） ，得
（2） 时，
题型十一：“和”型求通项
例31．（2023•河南月考）若数列 满足 为常数），则称数列 为等比和数列， 称
为公比和，已知数列 是以3为公比和的等比和数列，其中 ， ，则 ．
【解析】解：由 ， ，
，即 ，
， ， ，即 ，
， ， ， ．
，
由此可知 ．
故答案为： ．例32．（2023•南明区校级月考）若数列 满足 ，则 ．
【解析】解： ，
则
．
故答案为： ．
例33．（2023·青海西宁·二模（理））已知 为数列 的前 项和， ， ，则
（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
【答案】C
【解析】当 时， ，
当 时，由 得 ，
两式相减可得
，即 ，
所以 ，可得 ，
所以 .
故选：C.
变式48．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ， ，且其前 项和为 .若
，则正整数 （ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
【答案】B
【解析】由 得 ，
∴ 为等比数列，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
① 为奇数时， ， ；
② 为偶数时， ， ，
∵ ， 只能为奇数，∴ 为偶数时，无解，
综上所述， .
故选：B.变式49．（2023·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列 的前 项和为 ，若
，且 ， ，则 的值为
A．－8 B．6 C．－5 D．4
【答案】C
【解析】对于 ，
当 时有 ，即
，
，
两式相减得：
，
由 可得
即 从第二项起是等比数列，
所以 ，
即 ，
则 ，故 ，
由 可得 ，
故选C.
变式50．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足： ，求通项 .
【解析】因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
两式相减得： ，
构成以 为首项，2为公差的等差数列；
构成以 为首项，2为公差的等差数列，
，
，变式51．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足： ，求通项 .
【解析】由已知当 时，可得 ，
当 时， ，
与已知式联立，两式相减，
得 ，
，
，
，
即奇数项构成的数列 是每项都等于 的常数列，
偶数项构成的数列 是每项都等于 的常数列，
.
【解题方法总结】
满足 ，称为“和”数列，常见如下几种：
（1）“和”常数型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”换元型
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
例34．数列 满足 ，前16项和为540，则 ．
【答案】
【解析】解：因为数列 满足 ，
当 为奇数时， ，
所以 ， ， ， ，
则 ，
当 为偶数时， ，
所以 ， ， ， ， ， ， ，
故 ， ， ， ， ， ， ，
因为前16项和为540，
所以 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．例35．（2023•夏津县校级开学）数列 满足 ，前16项和为508，则 ．
【答案】3
【解析】解：由 ，
当 为奇数时，有 ，
可得 ，
，
累加可得 ；
当 为偶数时， ，
可得 ， ， ， ．
可得 ．
．
，
，即 ．
故答案为：3．
例36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，求此数列的通项公式.
【解析】在数列 中，由 ，得 ，当 时， ，
两式相除得： ，因此数列 构成以 为首项， 为公比的等比数列；
数列 构成以 为首项， 为公比的等比数列，于是 ，
所以数列 的通项公式是 .
变式52．（2023·山东·校联考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，且 ，求 的最小值．【解析】（1）由题意知当 时， ．
设 ，则 ，所以 ，即 ．
又 ．
所以 是首项为4，公比为2的等比数列．
所以 ．即 ．
（2）当 为偶数时， ，即
，
令 ．则可解得 ．即 ．
又因为
故 的最小值为95．
变式53．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列 满足 ，且
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求使得不等式 成立的n的最小值．
【解析】（1）因为
所以 ， ， ，所以 ．
又因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ．（2）由（1）可知 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
，
所以 是一个增数列，
因为 ， ，
所以满足题意的n的最小值是20．
变式54．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，且对任意的 ，都有
.
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前 项积为 ，求 和 .
【解析】（1）由题意可得： ，
是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以
是以1为首项，1为公差的等差数列 ；
（2）由上可得： ，
同理 .
【解题方法总结】
（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列题型十三：因式分解型求通项
例37．（2023•安徽月考）已知正项数列 满足： ， ， ．
（Ⅰ）判断数列 是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若 ，设 ． ，求数列 的前 项和 ．
【解析】解：（Ⅰ） ， ，
又 数列 为正项数列，
，
①当 时，数列 不是等比数列；
②当 时， ，此时数列 是首项为 ，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： ，
，
．
例38．（2023•怀化模拟）已知正项数列 满足 ， 设 ．
（1）求 ， ；
（2）判断数列 是否为等差数列，并说明理由；
（3） 的通项公式，并求其前 项和为 ．
【解析】解：（1） ， ， ，
可得 ，
则 ，
数列 为首项为1，公比为2的等比数列，
可得 ；
，
， ；
（2）数列 为等差数列，理由： ，
则数列 为首项为0，公差为1的等差数列；
（3） ，
前 项和为 ．例39．（2023•仓山区校级月考）已知正项数列 满足 且
（Ⅰ）证明数列 为等差数列；
（Ⅱ）若记 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】 证明：由 ，
变形得： ，
由于 为正项数列， ，
利用累乘法得： 从而得知：数列 是以2为首项，以2为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知： ，
从而 ．
变式55．已知正项数列 的前 项和 满足： ，数列 满足
，且 ．
（1）求 的值及数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
【解析】解：（1） ，
当 时， ， ，
解得 ．
又 ， ，
，
当 时， ，
当 时上式也成立，
．
（2） 数列 满足 ，且 ．．
，
当 为偶数时，数列 的前 项和为
．
当 为奇数时，数列 的前 项和为
．
当 时也成立，
．
变式56．（2023•四川模拟）已知数列 的各项均为正数，且满足 ．
（1）求 ， 及 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解析】解：（1）当 时， ，
；
当 时， ，
；
由已知可得 ，且 ，
．
（2）设 ，
，
是公比为4的等比数列，．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/10 10:14:40；用户：1【8316341968；邮箱：18316341968；学号：32362解679 题方法总结】
利用十字相乘进行因式分解
题型十四：其他几类特殊数列求通项
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】 ，① ．②
由 得 ．
又因为 ，所以 是公比为 ，首项为 的等比数列，从而 ，即
．
故答案为：
例41．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】设 ，令 得： ，解得： ；
，化简得， ，
所以 ，从而 ，
故 ，
又 ，所以 是首项和公差均为 的等差数列，
从而 ，故 ．
故答案为：例42．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】设 ，令 得： ，解得： ；
，化简得： ，
所以 ，从而 ，又 ，
所以 是首项为 ，公差为1的等差数列，故 ，
所以 ．
故答案为：
变式57．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， 设 ，求数列
的通项公式.
【解析】依题 ，
记 ，令 ，求出不动点 ；
由定理2知：
，
；
两式相除得到 ，
∴ 是以 为公比， 为首项的等比数列，
∴ ，从而 ．
变式58．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，且 ，求其通项公式 ．
【解析】因为 ，
所以特征方程为 ，解得 ,
令 ，代入原递推式得 ,
因为 ，所以 ，
故 ,
因此， ，从而 ,
又因为 ，所以 ．
变式59．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 ，且首项 ，求数列 的通
项公式．
【解析】令 ．先求出数列的不动点 ，解得 ．
将不动点 代入递推公式，得 ，
整理得 ， ，
∴ ．
令 ，则 ， ．
∴数列 是以 为首项，以1为公差的等差数列．
∴ 的通项公式为 ．
将 代入，得 ．∴ ．
变式60．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，求 的通项公
式．
【解析】 化为 ，即 ，
，可得 或 ，（所得两组数值代入上式等价），
不妨令 ， ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，则 ，
累加法可得： ，
又 符合上式，故 .
变式61．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足递推关系： ，且 ，
，求数列 的通项公式.
【解析】由于 且 ， ，故数列 发生函数为
于是数列 的通项为： ， .
变式62．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，求
【解析】法1：已知 ，所以 ，
则 是首项为 ，公比为3的等比数列，故 ，则 ，
得，
当n为奇数时， ， ， ， ， ，
累加可得， ，
所以 ，
当n为偶数时， ，
综上， ；
法2：由特征根方程 得， ， ，
所以 ，其中 ，解得 ， ，
.
变式63．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列 ， ，使得 成立．
【解析】（1）由已知， ，∴ ，
∴ ，
显然 与 ， 矛盾，∴ ，
∴ ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
显然 与 ， 矛盾，∴ ，
∴∴ ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，①，又∵由第（1）问， ，②，
∴② ①得， ，
∴存在 ， ，两个等比数列 ， ， 使得 成立．
变式64．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，求 的通项公式．
【解析】由题意，
，
所以 ，则 ，而 ，
故 是以 为首项，3为公比的等比数列．
于是 ．
变式65．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项
公式．
【解析】令 ，整理得 ，故 或 ，
由 可得 ，令 并将 代入，可得 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，整理得 .
【解题方法总结】
（1）二次型：形如
（2）三阶递推：形如 型，多在大题中，有引导型证明要求
（3）“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”
（4）数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程）
题型十五：双数列问题
例43．（2023·河北秦皇岛·三模）已知数列 和 满足
．(1)证明： 是等比数列， 是等差数列；
(2)求 的通项公式以及 的前 项和 ．
【解析】(1)证明：因为 ，
所以 ，即 ，
所以 是公比为 的等比数列．
将 方程左右两边分别相减，
得 ，化简得 ，
所以 是公差为2的等差数列．
(2)由（1）知 ，
，
上式两边相加并化简，得 ，
所以 ．
例44．（2023·全国·高三专题练习）两个数列 ､ 满足 ， ， ，
（其中 ），则 的通项公式为 ___________.
【答案】
【解析】解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 的特征方程为 ，
解得特征根 或 ，
所以可设数列 的通项公式为 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ；
故答案为：
例45．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 和 满足 ， ， ，.则 ＝_______.
【答案】
【解析】 ， ，且 ， ，则 ，
由 可得 ，代入 可得 ，
，且 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
在等式 两边同时除以 可得 ，
所以，数列 为等差数列，且首项为 ，公差为 ，
所以， ， ，
则 ，
因此， .
故答案为： .
变式66．（2023·全国·高三专题练习）数列 , 满足 ,且 , .
(1)证明: 为等比数列;
(2)求 , 的通项.
【解析】（1）证明：由 ，可得： ，
，代入 ，
可得： ，
化为： ，
，
为等比数列，首项为-14，公比为3.
（2）由（1）可得： ，
化为： ，数列 是等比数列，首项为16，公比为2.
，
可得： ，
.
变式67．（2023·吉林长春·模拟预测）已知数列 和 满足 ， ， ，
，则 ______， ______．
【答案】
【解析】由题设， ，则 ，而 ，
所以 是首项、公比均为2的等比数列，故 ，
，则 ，
令 ，则 ，
故 ，而 ，
所以 是常数列，且 ，则 .
故答案为： ， .
【解题方法总结】
消元法
题型十六：通过递推关系求通项
例46．（2023·全国·高三专题练习）某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，
第一次播放了1条以及余下的 条的 ，第2次播放了2条以及余下的 ，第3次播放了3条以及余下
的 ，以后每次按此规律插播广告，在第 次播放了余下的x条．
(1)设第 次播放后余下 条，这里 ， ，求 与 的递推关系式．
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
【解析】（1）依题意，第 次播放了 ，
因此 ，整理得 ．
（2）∵
，又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴
∴ ．
∵当 时， ， 与 互质， ，
∴ ，则
即 ．
例47．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同
时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记 ，
，经 次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为 ， ．
(1)试用 ， 表示 ， ．
(2)证明：数列 是等比数列，并求出 ， 的通项．
【解析】（1）由题意，经 次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为 ，
所以 ， ．
（2）由（1）知， ， ，
可得 ，
所以数列 是等比数列，
因为 ％，所以 ①，
又因为 ②．联立①②得 ， ．
例48．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲
抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第 （ ）次抛沙包
后沙包在甲手中的方法数为 ，在丙手中的方法数为 .
(1)求证：数列 为等比数列，并求出 的通项；
(2)求证：当n为偶数时， .
【解析】（1）由题意知：第n次抛沙包后的抛沙包方法数为 ，
第 次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为 ，若第n次抛沙包后沙包在甲手中，则第 次抛沙包后，
沙包不可能在甲手里，只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中，
故 ，且
故 ，
，
所以数列 为等比数列，
由 ，得 ，
，
，
，
……………，
以上各式相加，
可得 ；
（2）由题意知：第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为 ，
则 ，
∵当n为偶数时， ，
∴ .
变式68．（2023·全国·高三专题练习）如图， 的在个顶点坐标分别为 ， ， ，设 为线段BC的中点， 为线段 的中点， 为线段 的中点，对于每一个正整数 ， 为线段 的中
点，令 的坐标为 ， ．
(1)求 及 ；
(2)证明 ；
(3)若记 ，证明 是等比数列．
【解析】（1）因为 ，
所以 ， ， ，
， ，
，
因为 为线段 的中点，所以 ，
所以 ，
所以 为常数列，
所以 ；
（2）由（1） ，
所以 ；
（3） ，
又 ，所以 是公比为 ，首项为 的等比数列．
变式69．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，已知曲线 及曲线
．从 上的点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 ，再从点 作直线平行于
轴，交曲线 于点 ，点 的横坐标构成数列 ．
(1)试求 与 之间的关系，并证明： ；
(2)若 ，求 的通项公式．
【解析】（1） ，从而有 ， 在 上，故 ，
故 ，
由 及 ，知 ，下证： ，
，故 与 异号，
，故 ，故 ，即 ；
（2） ，则 ， ，
两式相除得 ， ，故 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
则 ，解得 ．
变式70．（2023·江西·校联考二模）小刚在闲暇之时设计了如下一个“数列” 满足： ，当 为
偶数时， ，当 为奇数时， 有 的几率为 ，有 的几率为 .
(1)求 的分布列和数学期望.
(2)求 的前n项和 的数学期望.
【解析】（1）由题意， ，
则 有 的几率为2，有 的几率为3；
则 有 的几率为1，有 的几率为4，有 的几率为5；
则 有 的几率为2，有 的几率为3，有 的几率为1，有 的几率为6，有 的几率为7；
则 有 的几率为1，有 的几率为2，有 的几率为3，有 的几率为4，有 的几率为5，有
的几率为8，有 的几率为9，；
所以 的分布列为：
1 2 3 4 5 8 9
数学期望为 .
（2）当 时， ；
当 时， ；
当 时，由题意可得
，则 ，
所以 ，
又 成立，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
即 ，
令 ，则 ，
即 ， ，
数列 是以4为首项，公差为10的等差数列，
则 ，即 ，
所以 ，
则 ，
令 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
经检验 时均成立，
所以 .
变式71．（2023·安徽黄山·统考二模）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及
B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端
产品分别占比 及 ，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术
更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而
采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别
为 及 ，不考虑其它因素的影响．
(1)用 表示 ，并求实数 ，使 是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至
少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据： ）
【解析】（1）由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比
分别为 ．
易知经过 次技术更新后 ，
则 ，即 ，
由题意，可设 ，
所以 ，
又 ，
从而当 时， 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）可知 ， ，
又 ，则 ，
所以经过 次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比 ．
由题意，令 ，得 ，
则 ，
故 ，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上．
【解题方法总结】
通过相邻两项的关系递推1．（2023•新课标Ⅰ）数列 满足 ，前16项和为540，则 ．1
【答案】7
【解析】由 ，
当 为奇数时，有 ，
可得 ，
，
累加可得
；
当 为偶数时， ，
可得 ， ， ， ．
可得 ．
．
，
，即 ．
故答案为：7．
2．（2023•乙卷）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．求 的通项公式；
【解析】在等差数列中， ， ．
，即 ，
得 ， ，
则 ．
3．（2023•甲卷）已知数列 中， ，设 为 前 项和， ．求 的通项公式；
【解析】当 时， ，解得 ，
当 时， ，
， ，当 时，可得 ，
，
当 或 时， ， 适合上式，
的通项公式为 ；
